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第十七章 因式分解
在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出的.某单人跳水选手完成了一个难度系数为p的动作，如果有7名裁判进行评分，按照评分规则，去掉2个最高分和2个最低分后，会剩下3个分数a，b，c，选手的得
分有两种计算方法：
pa+pb+pc ①
和
p(a+b+c). ②
我们知道上述两式是相等的.从整式运算的角度看，从②式到①式就是上一章我们学习的整式的乘法运算；从①式到②式，相当于把一个多项式写成两个整式的乘积.
利用整式的乘法运算，可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式.反过来，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这就是本章要学习的内容.
在本章的学习中，要注意与整式的乘法紧密联系，运用对比方法进行观察和思考，以加深对本章知识的理解和认识，提升运算能力.
17.1 用提公因式法分解因式
第1课时 用提公因式法分解因式（1）
1．了解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系．（重点）
2．了解公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解．（难点）
在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数分解成几个因数的乘积.如33分解成3×11，42分解成2×3×7.类似于整数的分解，有时也需要将整式分解成几个因式的乘积的形式.
在章引言里，我们知道
pa+pb+pc = p(a+b+c).
一个多项式
两个整式的乘积
（1） = __________；
（2） = _____________；
（3） = __________.
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
想：整式的乘法
像这样，把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式.
下列整式乘法与因式分解之间有什么关系？
（1）m(a + b + c) = ma + mb + mc，
ma + mb + mc = m(a + b + c)；
（2）(a－7)2 = a2 －14a + 49，
a2－14a + 49 = (a－7)2；
（3）(x + 3)(x－3) = x2 －9，
x2－9 = (x + 3)(x－3).
整式乘法
因式分解
m(a + b + c) = ma + mb + mc
(a－7)2 = a2 －14a + 49
(x + 3)(x－3) = x2 －9
ma + mb + mc = m(a + b + c)
a2－14a + 49 = (a－7)2
x2－9 = (x + 3)(x－3)
互为
逆变形
1.在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 .
①
②
③
④
⑥
⑤
×
√
×
×
×
√
③⑥
下列多项式有什么共同特点？
相同因式 p
相同因式 x
它们的各项都有一个公共的因式 (p 或 x) ，我们把它叫作这个多项式各项的公因式.
pa + pb + pc
p
x2 + x
x
p
p
x
2.找出下列多项式的公因式.
①
②
③
④
⑤
3
试一试，将它们写成几个因式的乘积.
pa + pb + pc
x2 + x
= p(a + b + c)
= x(x + 1)
怎么得到的？
(pa + pb + pc)÷p
(x2 + x)÷x
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.
例1　分解因式：　
(1) ；
(2) .
解：(1)
=
分析：(1) 公因式为____
(2)公因式为____
(2)
将 提出后，
括号内的
第三项为 1
例2 计算：
(1)39×37－13×91；
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.
(2)原式＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.
＝13×20＝260；
解：(1)原式＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)
方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
1.下列从左到右的变形中是因式分解的有(　　)
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
2.下列多项式的分解因式，正确的是（　　）
A．2x+1=x（2+）
B．a2y-ay+y=y（a2-a+2）
C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z）
D．a2b+5ab-b=b（a2+5a）
B
3.分解因式：　
(1) ; (2) ;
(3) .
解：(1)
(2)
(3)
4.简便计算：
(1) 1.992+1.99×0.01 ;
(2) 20132+2013-20142;
(3)(-2)101+(-2)100.
(2) 原式=2013×(2013+1)-20142
=2013×2014-20142
=2014×(2013-2014)=-2014．
解：(1) 原式=1.99×(1.99+0.01)=3.98；
(3)原式=(-2)100 ×(-2+1) =2100 ×(-1)=-2100.
定义
因式
分解
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式
多项式各项都有公共的因式
公因式
提公因式法
将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式

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