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17.2 用公式法分解因式
第2课时 运用完全平方公式分解因式
1.理解完全平方式的概念．
2.探索并掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法，体会
转化思想．（重难点）
1.因式分解：
2.我们已经学过哪些因式分解的方法
把一个多项式转化为几个整式的积的形式.
(1)提公因式法
(2)平方差公式a -b =(a+b)(a-b)
多项式与有什么特点？你能将它们分解因式吗？
a2+2ab+b2
a2－2ab+b2
观察这两个式子：
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项，第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
三项
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
是第一项和第三项底数的积的±2倍
我们把和这样的式子叫作完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式.
完全平方式的特点：
1.必须是三项式（或可以看成三项的）；
2.有两个同号的数或式的平方；
3.中间有两底数之积的±2倍.
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a ;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+.
是
（2）因为它只有两项；
不是
（3）4b 与-1的符号不统一；
不是
分析：
不是
是
（4）因为ab不是a与b的积的2倍.
把整式乘法的完全平方公式
(a＋b) ＝a +2ab+b ，
(a－b) ＝a 2ab+b
的等号两边互换，就得到
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
a +2ab+b ＝(a＋b) ，
a -2ab+b ＝(a -b) .
例1 分解因式：
(1)x2 ＋ 4x + 4; (2)16x2 - 24x ＋ 9.
分析：在(1)中，4= 2 2 , 4x = 2 x 2, 所以 x2 ＋ 4x ＋ 4是一个完全平方式，即
x2 ＋ 4x ＋ 4 = x 2 ＋ 2 x 2 ＋ 22.
在(2)中，16x2 = (4x) 2 , 9 = 32 ，24x = 2 4x 3，所以 16x2 - 24x ＋ 9是一个完全平方式.
a2 ＋2 a b＋ b2
(1) x2 ＋ 4x ＋ 4
= x2 ＋ 2 x 2 ＋ 22
=(x ＋ 2) 2;
(2) 16x2 - 24x ＋ 9
= (4x) 2 － 2 4x 3 ＋ 32
= (4x － 3) 2.
解：
例2 分解因式：
(1)(a+b)2-12(a+b)+36; (2)-x2+4xy-4y2.
分析：在(1)中，将a+b看成一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m2-12m+36;
对于（2），可通过添括号将原式写成 -(x2-4xy+4y2),括号内的式子为完全平方式.
(1) (a+b)2-12(a+b)+36
= (a+b)2-2 (a+b) 6+62
= (a+b-6)2;
(2) － x2 ＋ 4xy － 4y2
= － (x2 － 4xy ＋ 4y2 )
= －[x2 － 2 x 2y ＋ (2 y) 2]
= － (x － 2y) 2.
解：
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差公式，完全平方式等）的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫作公式法.
例3 把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99 ；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)
(2)原式＝(34＋16)2
本题利用完全平方公式分解因式，可以简化计算，
=1.
＝2 500.
1.已知x2＋16x＋k是两数(和)差的平方式，则常数k等于(　　)
A．64 B．48 C．32 D．16
A
2.已知4x2＋mx＋36是两数(和)差的平方式，则m的值为(　　)
A．8 B．±8
C．24 D．±24
D
3.把多项式x2－6x＋9分解因式，结果正确的是(　　)
A．(x－3)2 B．(x－9)2
C．(x＋3)(x－3) D．(x＋9)(x－9)
A
4.如图是一个正方形，分成四部分，其面积分别是a2，ab，ab，b2，其中a＞0，b＞0，则原正方形的边长是(　　)
A．a2＋b2
B．a＋b
C．a－b
D．a2－b2
B
5.把下列多项式因式分解.
（1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1.
(2)原式=[2(2a+b)] － 2·2(2a+b)·1+(1)
=(4a+2b － 1)2.
解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2
=(x－6)2;
(2)原式=20142-2×2014×2013+20132
6.计算：(1)38.92－2×38.9×48.9＋48.92；
(2)20142-2014×4026+20132.
解：(1)原式＝(38.9－48.9)2
＝100.
公式
公式法
两数(和)差的平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2
一提：公因式；
二套：公式；
三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止.
步骤

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