资源简介

13.3.1　三角形的内角
A层基础夯实
知识点1　三角形的内角和以及应用
1.如图,在△ABC中,∠A的度数是 ()
A.60° B.40° C.30° D.20°
2.在△ABC中,∠B=∠A-10°,∠C=∠B+20°,则△ABC的各内角度数分别为 .
3.如图,小明想测量某塔的高度,他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,即∠DAB=30°,再往塔的方向前进20 m至B处,测得仰角为60°,即∠DBC=60°,那么∠ADB的度数为 .
知识点2　直角三角形的判定和性质
4.在△ABC中,∠A=20°,∠B=70°,则△ABC的形状是 ()
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
5.给定下列条件,不能判定三角形是直角三角形的是 ()
A.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
B.∠A+∠B=∠C
C.∠A=∠B=∠C
D.∠A=2∠B=3∠C
知识点3　三角形的内角和与平行线相结合
6.(2024·长沙中考)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠B=50°,AD∥BC.则∠1的度数为 ()
A.50° B.60° C.70° D.80°
7.已知∠ACB=∠E=90°,∠B=30°,∠D=45°,∠BCD=15°.请判断AB与CE之间的位置关系,并说明理由.
知识点4　三角形的内角和与重要线段相结合
8.如图,已知AF平分∠BAC,过F作FD⊥BC,垂足为点D,若∠B=60°,∠BAC=96°,则∠F= .
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,BE平分∠ABC,分别交CD,AC于点F,E.
(1)若∠CEF=62°,求∠A的度数;
(2)证明:∠CFE=∠CEF.
B层能力进阶
10. (2024·齐齐哈尔中考)将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置,若∠1=50°,则∠2的度数是 ()
A.30° B.40° C.50° D.60°
11.在探究证明“三角形的内角和是180°”时,综合实践小组的同学作了如下四种辅助线,其中不能证明“三角形内角和是180°”的是 ()
12.(易错警示题·概念不清)在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC= .
13.如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线,且AE,BF相交于点O,已知∠C=80°.
(1)求∠AOB的度数.
(2)若∠ABC=40°,求∠DAE的度数.
C层创新挑战(选做)
14.(几何直观、推理能力)
已知AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B.
(1)如图1,求证:∠A+∠C=90°;
(2)如图2,过点B作BD⊥MA,交MA的延长线于点D,求证:∠ABD=∠C;
(3)如图3,在(2)的条件下,点E,F在DM上,连接BE,BF,CF,且BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠AFC=∠BCF,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数.13.3.1　三角形的内角
A层基础夯实
知识点1　三角形的内角和以及应用
1.如图,在△ABC中,∠A的度数是 (A)
A.60° B.40° C.30° D.20°
2.在△ABC中,∠B=∠A-10°,∠C=∠B+20°,则△ABC的各内角度数分别为　60°,50°,70°　.
3.如图,小明想测量某塔的高度,他在A处仰望塔顶,测得仰角为30°,即∠DAB=30°,再往塔的方向前进20 m至B处,测得仰角为60°,即∠DBC=60°,那么∠ADB的度数为　30°　.
知识点2　直角三角形的判定和性质
4.在△ABC中,∠A=20°,∠B=70°,则△ABC的形状是 (B)
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.锐角三角形 D.等边三角形
5.给定下列条件,不能判定三角形是直角三角形的是 (D)
A.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3
B.∠A+∠B=∠C
C.∠A=∠B=∠C
D.∠A=2∠B=3∠C
知识点3　三角形的内角和与平行线相结合
6.(2024·长沙中考)如图,在△ABC中,∠BAC=60°,∠B=50°,AD∥BC.则∠1的度数为 (C)
A.50° B.60° C.70° D.80°
7.已知∠ACB=∠E=90°,∠B=30°,∠D=45°,∠BCD=15°.请判断AB与CE之间的位置关系,并说明理由.
【解析】AB∥CE.理由如下:
∵∠E=90°,∠D=45°,
∴∠DCE=180°-∠E-∠D=45°,
∵∠BCD=15°,
∴∠BCE=∠DCE-∠BCD=30°,
∵∠B=30°,
∴∠BCE=∠B,
∴AB∥CE.
知识点4　三角形的内角和与重要线段相结合
8.如图,已知AF平分∠BAC,过F作FD⊥BC,垂足为点D,若∠B=60°,∠BAC=96°,则∠F=　18°　.
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,BE平分∠ABC,分别交CD,AC于点F,E.
(1)若∠CEF=62°,求∠A的度数;
(2)证明:∠CFE=∠CEF.
【解析】(1)∵∠ACB=90°,∠CEF=62°,
∴∠CBE=28°.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABC=2∠CBE=2×28°=56°,
∴∠A=180°-∠ACB-∠ABC=180°-90°-56°=34°.
(2)如图,
∵∠ACB=90°,
∴∠1+∠3=90°.
∵CD⊥AB,
∴∠2+∠4=90°.
又∵BE平分∠ABC,
∴∠1=∠2,
∴∠3=∠4.
∵∠4=∠5,
∴∠3=∠5,
即∠CFE=∠CEF.
B层能力进阶
10. (2024·齐齐哈尔中考)将一个含30°角的三角尺和直尺如图放置,若∠1=50°,则∠2的度数是 (B)
A.30° B.40° C.50° D.60°
11.在探究证明“三角形的内角和是180°”时,综合实践小组的同学作了如下四种辅助线,其中不能证明“三角形内角和是180°”的是 (C)
12.(易错警示题·概念不清)在△ABC中,AD为边BC上的高,∠ABC=30°,∠CAD=20°,则∠BAC=　80°或40°　.
13.如图,在△ABC中,AD是边BC上的高,AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线,且AE,BF相交于点O,已知∠C=80°.
(1)求∠AOB的度数.
(2)若∠ABC=40°,求∠DAE的度数.
【解析】(1)∵AE,BF分别是∠BAC,∠ABC的平分线,
∴∠OAB=∠BAC,∠OBA=∠ABC,
∴∠OAB+∠OBA=.
∵在△ABC中,∠C=80°,
∴∠BAC+∠ABC=180°-∠C=100°,
∴∠AOB=180°-∠OAB-∠OBA=180°-=130°.
(2)∵AD是边BC上的高,
∴∠ADC=90°,
∴∠DAC=90°-∠C=90°-80°=10°.
∵∠C=80°,∠ABC=40°,
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=60°.
∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠CAE=∠BAC=30°,
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=30°-10°=20°.
C层创新挑战(选做)
14.(几何直观、推理能力)
已知AM∥CN,点B为平面内一点,AB⊥BC于B.
(1)如图1,求证:∠A+∠C=90°;
(2)如图2,过点B作BD⊥MA,交MA的延长线于点D,求证:∠ABD=∠C;
(3)如图3,在(2)的条件下,点E,F在DM上,连接BE,BF,CF,且BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠AFC=∠BCF,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度数.
【解析】(1)∵AM∥CN,∴∠C=∠BDA,
∵AB⊥BC,
∴∠B=90°,
∴∠A+∠BDA=90°,
∴∠A+∠C=90°.
(2)过B作BH∥DM,
∵BD⊥MA,
∴∠ABD+∠ABH=90°.
又∵AB⊥BC,
∴∠ABH+∠CBH=90°,
∴∠ABD=∠CBH.
∵BH∥DM,AM∥CN,
∴BH∥NC,∴∠CBH=∠C,
∴∠ABD=∠C.
(3)设∠DBE=α,则∠BFC=3α,
∵BE平分∠ABD,
∴∠ABD=∠BCN=2α.
∵AB⊥BC,
∴∠DBC=∠ABD+∠ABC=2α+90°.
∵BF平分∠DBC,
∴∠FBC=∠DBC=α+45°.
∵∠BFC+∠FBC+∠BCF=180°,
即3α+α+45°+∠BCF=180°,
∴∠BCF=135°-4α,
∴∠AFC=∠BCF=135°-4α.
∵AM∥CN,
∴∠AFC+∠NCF=180°,
即∠AFC+∠BCF+∠BCN=180°,
135°-4α+135°-4α+2α=180°,
解得α=15°,∴∠ABE=15°,
∴∠EBC=∠ABE+∠ABC
=15°+90°
=105°.

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