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2024-2025学年云南省玉溪一中高一（下）期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数 1 = 2 + ， 2 = 1 + 2 ，在复平面内，复数 1和 2所对应的两点之间的距离是( )
A. 10 B. 10 C. 5 D. 5
2.已知 是边长为 2 的正△ 边 上的动点，则 的取值范围是( )
A. [ 3, 4] B. [ 3, 2] C. [0,2] D. [2,4]
3.已知函数 ( ) = | |，若 0 < < ，且 ( ) = ( )，则下列选项正确的是( )
A. > 1 B. < 1 C. + > 2 D. + < 2
4 .若圆锥的底面半径为 1，体积为3，则该圆锥的侧面展开图的面积是( )
A. B. 2 C. 3 D. 2
5.在一组样本数据中，0，1，2，3 出现的频数分别为 1， 2， 3， 4，则下面四种情形中，对应样本的标
准差最小的一组是( )
A. 1 = 4 = 2， 2 = 3 = 3 B. 1 = 4 = 4， 2 = 3 = 1
C. 1 = 4 = 1， 2 = 3 = 4 D. 1 = 4 = 3， 2 = 3 = 2
6.小华为测量 ， (视为质点)两地之间的距离，选取 ， (与 ， 在同一水平面上)两点进行测量，已知
在 的正东方向上， = 2 = 40 米， 在 的北偏东 60°方向上， 在 的南偏西 30°方向上， = 30
米，则 ， 两地之间的距离是( )
A. 40 米 B. 10 13米 C. 10 19米 D. 60 米
7.锐角△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 2 = ( + )，则 的取值范围是( )
A. (0, 22 ) B. (
1 , 2 ) C. ( 1 , 3 32 2 2 2 ) D. (0, 2 )
8.已知函数 ( ) = | | + 2 ，则下列命题正确的是( )
A. ( )是以 为周期的函数
B.当 ∈ [0, ] 5时，函数 ( )的最大值为4，最小值为 1
C. 直线 = 2是曲线 = ( )图象的一条对称轴
D.函数 ( )在[0, ]上没有零点
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数 在复平面内对应的点为 ， 为虚数单位，则下列说法正确的是( )
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A.若| | = 1，则 =± 1 或 =±
B.若 1 ≤ | | ≤ 2，则点 的集合所构成的图形的面积为
C. + 2 + 3 + … + 2025 =
D.若 1 + 是实系数方程 2 + + = 0 的一个根，则 + = 0
10.下列说法正确的是( )
A.若 (3, 13 )，则 (3 + 1) = 2
B.连续型随机变量 服从正态分布 (1,4)，若 ( ≤ 0) = 0.2，则 (0 ≤ ≤ 2) = 0.6

C.若事件 ， 满足：0 < ( ) < 1，0 < ( ) < 1，且 ( | ) + ( ) = 1，则事件 ， 相互独立

D.已知一组成对数据( 1, )，(11,38)，(13,34)，(18,24)的经验回归方程为 = 2 + 59.5，则 = 60
11.设 ， 为直线， ， 为平面，则下列结论正确的是( )
A.若 ⊥ ， // ，则 ⊥ B.若 // ， // ，则 //
C.若 ⊥ ， // ，则 ⊥ D.若 // ， ⊥ ，则 ⊥
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知向量 = ( , 1)， = (2,4)， ∈ ，若 // ，则 =______．
13.下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数 100 400 900 1500 2500 4000
发芽种子个数 92 352 818 1336 2251 3601

发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为______(精确到 0.1)．
14.已知 是△ 内的一点，角 、 、 所对的边长分别为 、 、 ，而且 2 + 3 + 5 = 0，若 △ = 5，
则 △ = ．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = ( ) + cos(2 + 24 )，且 ( 4 ) = 2 ．
(Ⅰ)求 的值和函数 ( )的最小正周期；
(Ⅱ) 3求不等式 ( ) > 2 的解集；
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(Ⅲ)在△ 中， = 1， = 3， 为 边上的中线，设∠ = ( 3 2， 4 ) = 2 ，请直接写出 的值
和 的长．
16.(本小题 15 分)
如图，已知三棱台 1 1 1中，平面 1 1 ⊥平面 1 1、△ 是以 为直角顶点的等腰直角三角
形，且 = 2 1 = 4， 1 = 1 1 = 1．
(1)证明： 1 ⊥平面 1 1 ；
(2)若 的中点为 ，求直线 1与平面 所成角的大小．
17.(本小题 15 分)
某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从 类的 5 个问题中
任选两题作答，若两题都答对，则得 40 分，否则得 0 分；第二轮从 类的 5 个问题中任选两题作答，每答
对 1 题得 30 分，答错得 0 分.若两轮总分不低于 60 分则进入面试环节.小红和小明参加此次招聘活动，已
知小红对 ， 类每个问题的答对的概率均为 0.5.在 类的 5 个问题中，小明只能答对 4 个问题，在 类的 5
个问题中，小明每个问题答对的概率都为 0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响．
(1)求小明在第一轮得 40 分的概率；
(2)求小红两轮总分得 60 分的概率；
(3)试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？
18.(本小题 17 分)
在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 的对边，若：2 = + ．
(1)求角 的大小．
(2)若 是 的中点， = 3，求△ 面积的最大值；
(3) 若 在△ 所在平面内，满足| | = | | = | |，且 +
= ，求实数 的值．
19.(本小题 17 分)
如图，正四棱柱 1 1 1 1中，底面边长为 1，侧棱长为 2， 为棱 1上一动点，平面 1截正四
棱柱所得截面交棱 1于点 ．
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(Ⅰ)求证： 1 // ；
(Ⅱ)求四棱锥 1 1 的体积；
(Ⅲ)写出当 的长为何值时，四边形 1 的周长最小，并求此时平面 1与平面 的夹角的正切值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13.0.9
14.25
15.(Ⅰ) ( ) = ( ) + cos(2 + 4 )

= + 2 4 2 4
= 22 2 +
2
2 2 ，
因为 ( ) = 2，所以 24 2 2 × 1 +
2
2 × 0 =
2，即
2 = 2 2，
所以 ( ) = 22 2 +
2
2 2 = sin(2 +
，
4 )
2
所以函数 ( )的最小正周期为 = 2 = ．
(Ⅱ) 2 由 ( ) = sin(2 + 3，得 2 + < 2 + < 2 + ， ∈ ，4 ) > 2 3 4 3
5
所以 + 24 < < + 24， ∈ ，
( ) > 3 ( + , + 5 所以不等式 的解集为2 24 24 )， ∈ ．
(Ⅲ)因为 ( 3 ) = 2，所以 sin( 3 4 2 2 +

4 ) =
2，
2

由题意知，0 < < 2，
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3
所以4 < 2 + 4 < ，
3 3
所以 + =2 4 = 4，即 3，
设 = ， = ，∠ = ，
在△ 中，由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 ∠ ，
即 1 = 2 + ( 2 2 ) 2 2 ①，
在△ 中，由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 ∠ ，
即 3 = 2 + ( 22 ) 2

2 cos( )②，
2
① +②得，4 = 2 + 2
2，
在△ ，由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 ∠ ，

所以( )2 = 1 + 22 2 1 cos

3，
整理得
2
2 ，
4 = + 1
所以 2( 2 + 1) = 4 2 2，即( 1)(2 + 1) = 0，
解得 = 1 1或 = 2 (舍负)，
所以 2 = 4，解得 = 2(负值已舍)，
故 BC= 2．
16.(1)证明：在三棱台 1 1 1中， / / 1 1， = 2 1 = 2 1 1 = 2 1 = 4，
1
2( 1 )在等腰梯形 1 1中，cos∠ = 11 =
1，
1 2
在△ 1中，由余弦定理得 2 21 = + 1 2 × 1cos∠ 1 = 16 + 4 2 × 4 × 2 ×
1
2 = 2 3，
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可得 2 = 21 + 21 = 16，即 1 ⊥ 1，
而平面 1 1 ⊥平面 1 1，平面 1 1 ∩平面 1 1 = 1， 1 平面 1 1，
所以 1 ⊥平面 1 1；
(2)解：过 1作 1 ⊥ ，垂足为 ，
因为 1 ⊥平面 1 1，
又因为 平面 1 1，所以 1 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 1，所以 ⊥平面 1 1，
1 平面 1 1，得 ⊥ 1 ，
又因为 ∩ = ， ， 平面 1 1，所以 1 ⊥平面 ，
可得∠ 1 为 1与平面 所在角，
1 1
由等面积法可得 △ 1 = 2 1 = 2 1 1 ，
1 × 4 = 1即2 1 2 × 2 3 × 2，
解得 1 = 3，
由于点 是直角△ 1 斜边 的中点，
所以 1 =
1
2 = 2，
sin∠ = 3所以 11 = 2 ，1
因为∠ 1 为锐角，所以∠ 1 =

3，

所以 1与平面 所成角为3．
17.(1)对 类的 5 个问题进行编号： ， ， ， ， ，第一轮从 类的 5 个问题中任选两题作答，
则有{ , , , , , , , , , }共 10 种，
设小明只能答对 4 个问题的编号为： ， ， ， ，
则小明在第一轮得 40 分，有{ , , , , , , }共 6 种，
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6 3
则小明在第一轮得 40 分的概率为：10 = 5；
(2)设“两轮总分得 60 分”为事件 ，
“第一轮答错一题得 0 分，第二轮答对两题得 60 分”为事件 ，
“如果第一轮答错两题得 0 分，第二轮答对两题得 60 分”．
则 = + ，
( ) = [0.5 × (1 0.5) + (1 0.5) × 0.5] × 0.5 × 0.5 = 0.125；
( ) = [(1 0.5) × (1 0.5)] × 0.5 × 0.5 = 0.0625
( ) = ( ) + ( ) = 0.125 + 0.0625 = 316；
(3)由(1) 3知，小明在第一轮得 40 分的概率为5，
则小明在第一轮得 0 分的概率为：1 3 25 = 5，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于 60 分
所以如果第一轮答对两题得 40 分，第二轮答对一题得 30 分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
1 = 0.5 × 0.5 × [0.5 × (1 0.5) + (1 0.5) × 0.5] = 0.125；
32 = 5 × (0.4 × 0.6 + 0.6 × 0.4) = 0.288；
如果第一轮答对两题得 40 分，第二轮答对两题得 60 分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
3 = 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.0625； 4 =
3
5 × 0.4 × 0.4 = 0.096；
如果第一轮答错一题得 0 分，第二轮答对两题得 60 分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
5 = [0.5 × (1 0.5) + (1 0.5) × 0.5] × 0.5 × 0.5 = 0.125， 6 =
2
5 × 0.4 × 0.4 = 0.064；
如果第一轮答错两题得 0 分，第二轮答对两题得 60 分时，
小红晋级复赛的概率分别为：
7 = [(1 0.5) × (1 0.5)] × 0.5 × 0.5 = 0.0625；
所以小红晋级复赛的概率为： 1 + 3 + 5 + 7 = 0.375；
小明晋级复赛的概率为： 2 + 4 + 6 = 0.448；
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因为 0.448 > 0.375，
所以小明更有机会进入面试环节．
18.(1)由于 2 = + ，
可得 2 = + ，
则 2 = sin( + ) = ，
又 ≠ 0，
1
所以 = 2，
又 ∈ (0, )，
可得 = 3；
(2)因为 是 的中点，
所以 2 = + ，
则 4
2 2 2
= + + 2
= | 2

| + | |2 + 2| | | |cos 3
= | |2 + | |2 + | | | |，
2
可得 4 = | |2 + | |2 + | | | | ≥ 2| | | | + | | | | = 3| | | |，
又 = 3，
可得| | | | ≤ 4，当且仅当| | = | | = 2 时取等号，
1
所以 △ = | 2 | |
|sin ≤ 13 2 × 4 ×
3
2 = 3，
可得△ 面积的最大值为 3；
(3)由| | = | | = | |，
可知 为△ 的外心，
设△ 的外接圆为单位圆，以 为原点， 为 的正半轴，
因为∠ = 2 ，∠ = 2 ，∠ = 2 ，
则 (0,0)， (1,0)， ( 2 , 2 )， ( 2 , 2 )，
所以 = ( 2 1, 2 ), = ( 2 1, 2 ), = ( 1,0)，

由 + = ，

可得 2 +

2 = 0，
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则化简得 2 + 2 = 0，可得 = 0 或 = 0，
= 可得 2或 =

2，

又 ( 2 1) + ( 2 1) = ，
当 = 2时，所以 = 6，代入上式可得 = 3，
当 = 2时，所以 = 6，代入上式可得 = 3，
所以 = 3．
19.(Ⅰ)证明：如图 1，连接 1 ， ，
故平面 1 为平面 1截正四棱柱 1 1 1 1所得的截面，
因为平面 1 1//平面 1 1，平面 1 1 ∩平面 1 = 1 ，
平面 1 1 ∩平面 1 = ，
所以 1 // ；
(Ⅱ)如图 2，
四棱锥 1 1 的体积 1 1 = 1 1 + 1 1 ．
1 1 1 1
三棱锥 1 1 = 1 1 = 3 △ 1 1 1 = 3 × 2 × 2 × 1 × 1 = 3．
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= = 1 = 1 1三棱锥 1 1 1 1 3 △ 1 1 1 3 × 2 × 2 × 1 × 1 =
1
3．
所以 2 1 1 = 3．
(Ⅲ)如图 3，
当 = 1 时，四边形 1 的周长最短，
此时 ， 分别为棱 1， 1的中点，
即 = 1 ， = 1 ，
连接 ，交 于点 ，过点 作 // ，分别交 ， 的延长线于点 ， ，连接 ， ，
由条件可得 = ，
所以 为 中点，即 = ，
所以△ △ 1 1，所以∠ = ∠ 1 1，
因为∠ 1 + ∠ = 180°，
所以∠ 1 + ∠ 1 1 = 180°．
所以点 ， ， 1共线，
同理可得点 ， ， 1共线，
所以 为平面 1与平面 的交线，
因为 为棱 1中点，故 1 = 2 1 = 2 2，
同理可得 1 = 2 2．
所以 1 = 1 .
因为 为 的中点， // ，所以 为 中点，
所以 1 ⊥ ，
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因为 = 2 ， = 2 ， = ，
所以 = ，
所以 ⊥ ，
所以∠ 1 为平面 1与平面 的夹角，
在 △ 中， = 2， 1 = 2，
故 tan∠ = 11 = 2，
所以平面 1与平面 的夹角的正切值为 2．
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