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阶段性测试题
图形的旋转及其应用
[时间:45分钟 分值:100分]
一、选择题(每题5分，共30分)
1.将如图的校徽按顺时针方向旋转90°后得到的图形是( )
2.如图，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是( )
A.点M B.点N C.点P D.点Q
3.如图,△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BD，CE，则图中可以看成是旋转关系的三角形是( )
A.△ABC和△ADE B.△ABC和△ABD C.△ABD和△ACE D.△ACE和△ADE
4.以原点O为旋转中心，将点P(4，5)按逆时针方向旋转90°，得到的点Q所在象限为( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5.如图,将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE,点B,C的对应点分别为点D,E,连接CE,点D恰好落在线段CE上,若CD=3,BC=1,则AD的长为( )
A. C.2
6.如图，在平面直角坐标系中，将等边三角形OAB绕点B逆时针旋转150°，得到△,点O对应点O ,点A对应点A ;再将△O A B绕点O 逆时针旋转150°,得到△,点A 对应点A ,点B对应点B ;再将△绕点A 逆时针旋转150°,得到△O A B ;再将△绕点B 逆时针旋转150°,得到△,…,按此规律进行下去,若点A的坐标为(2,0),则点的坐标是( )
二、填空题(每题5分，共20分)
7.分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示，将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合，则这个旋转角的最小度数是________________°.
8.如图，图中网格由边长为1的小正方形组成，点A为网格线的交点.将线段OA绕原点O顺时针旋转90°后,端点A的坐标变为_______________。
9.为了亮化某景区，在两条笔直且互相平行的景观道MN，QP上分别放置A，B两盏激光灯，如图所示.A灯发出的光束自AM逆时针旋转至AN便立即回转，B灯发出的光束自BP逆时针旋转至BQ便立即回转，两灯不间断照射，A灯每秒转动30°，B灯每秒转动10°，B灯先转动2s，A灯才开始转动.当B灯光束第一次与QP垂直之前，两灯的光束互相垂直时，A灯旋转的时间是___________s.
10.如图，已知正方形ABCD,AB=10,E为BC边上的一点,连接AE,将AE绕点E顺时针旋转90°,得到EF.连接DF,以DF为边作正方形DFMN,设正方形DFMN的面积为S,则S的最小值为_____________.
三、解答题(共50分)
11.(10分)如图,在△ABC中,BA=BC,∠ABC=α.作AD⊥BC于点D,将线段BD绕点B顺时针旋转α后得到线段BE，连接CE.求证：BE⊥CE.
12.(12分)如图,在平面直角坐标系中,点A(3,3),B(4,0),C(0,-1).
(1)作出△ABC关于原点对称的△A B C ;
(2)作出△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到的△A B C;
(3)点B的对应点B 的坐标为.
13.(12分)如图,点E为正方形ABCD外一点,∠AEB=90°,将△ABE绕点A沿逆时针方向旋转90°得到△ADF,DF的延长线交BE于点H.
(1)试判断四边形AFHE的形状，并说明理由；
(2)已知BH=7,BC=13,则DH的长为.
14.(16分)如图①,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,D为△ABC内一点,将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接CE,BD的延长线与CE交于点F.
(1)求证:BD=CE,BD⊥CE;
(2)如图②,连接AF,DC,已知∠BDC=135°,判断AF与DC的位置关系，并说明理由.
参考答案
一、1.D 2.A 3.C 4.B
5.A【点拨】由旋转得AC=AE,∠CAE=90°,DE=BC=1,
∴△ACE是等腰直角三角形,CE=CD+DE=3+1=4.∴∠E=45°.
如图,过点A作AH⊥CE于点H,则
∴HD=HE-DE=2-1=1,∠E=∠EAH.∴AH=EH=2.
6.A【点拨】经旋转后发现△O A B 与△O A B完全重合,∴点A。的坐标与点A 的坐标相同.
∵2025÷8=253……1,∴点A 和点A 重合.
∵A(2,0),∴OA=2.
如图,作BC⊥x轴于点C,
∴易得∠ABC=30°,OC=1.
∴点A ,B,C三点共线,即A C⊥x轴,
二、7.90 8.(2,-2)
9.5.5或6.25【点拨】设A灯旋转时间为ts.B灯光束第一次与QP垂直需要90÷10=9(s),∴t<9-2,即t<7.如图.①当0≤t≤6时,由题意得∠MAM=(30t)°,∠AFB=∠PBP'=(10t+20)°,∠MAM'-∠AFB=90°.∴30t-(10t+20)=90,解得t=5.5;②当610.50【点拨】如图,连接CF,过点F作FH⊥BC,交BC的延长线于点H.
∵四边形ABCD为正方形,将AE绕点E顺时针旋转90°,得到EF,
∴AB=BC,∠1+∠2=90°,∠3+∠2=90°,∠B=90°=∠H,AE=EF.∴∠1=∠3.
∴△ABE≌△EHF(AAS).∴BE=HF,AB=EH.∴BC=EH.
∴BC-CE=EH-CE,即BE=HC.∴HC=HF.∴△CHF为等腰直角三角形.
∴∠HCF=45°.∴∠DCF=45°.
∴当DF⊥CF时,DF最短,即此时正方形DFMN的面积最小.
∴此时△CDF为等腰直角三角形.
∴S的最小值为50.
三、11.【证明】∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°.
∵线段BD绕点B顺时针旋转α后得到线段BE，∴BD=BE,∠DBE=α.
又∵∠ABC=α,∴∠ABC=∠DBE.
又∵BA=BC,∴△ABD≌△CBE.∴∠ADB=∠CEB=90°.∴BE⊥CE.
12.【解】(1)△A B C 如图①所示.
(2)△A B C如图②所示.
(3)(-1,3)
13.【解】(1)四边形AFHE是正方形.理由如下:
∵将△ABE绕点A沿逆时针方向旋转90°得到△ADF,
∴△ABE≌△ADF,∠FAE=90°.∴∠AEB=∠AFD=90°,AE=AF.
∴∠AFH=90°.∴四边形AFHE是矩形.
又∵AE=AF,∴四边形AFHE是正方形.
(2)17【点拨】设AE=x,则由(1)可知,EH=FH=AE=x.
由题意易知AB=BC=13,DF=BE.
在Rt△AEB中,即解得x=5(负值已舍去)，
所以FH=5,DF=BE=5+7=12,所以DH=DF+FH=17.
14.(1)【证明】如图①,设AC与BF相交于点O.
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,∴AD=AE,∠DAE=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠BAC=∠DAE.∴∠BAC-∠DAO=∠DAE-∠DAO,即∠BAD=∠CAE.
又∵AB=AC,∴△ABD≌△ACE(SAS).∴BD=CE,∠ABD=∠ACE.
又∵∠AOB=∠COF,∴∠BFC=∠BAC=90°.∴BD⊥CE.
(2)【解】AF∥DC.理由如下:
如图②,作AG⊥BF于点G,AH⊥CE于点H,
由(1)知△ABD≌△ACE,BD⊥CE,∴S△ABD=S△ACE,∠BFE=90°.
又∵BD=CE,∴AG=AH.
又∵AG⊥BF,AH⊥CE,∴FA平分∠BFE.
又∵∠BFE=90°,∴∠AFD=45°.
∵∠BDC=135°,∴∠FDC=45°.∴∠AFD=∠FDC.∴AF∥DC.
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