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第二十三章 旋转
章末复习
核心考点整合
考点1 旋转的定义及性质
1.母题教材P59思考下列现象中是旋转的是( )
A.雪橇在雪地上滑行 B.抽屉来回运动
C.电梯的上下移动 D.汽车方向盘的转动
2.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC,点B的对应点为E,点A的对应点D落在线段AB上,DE与BC相交于点F,连接BE.则下列结论一定正确的是( )
A.∠ABC=∠BDF B.BC=DE C.∠ADC=∠FDC D.BE=BD
3.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为(8，4),连接OB,将OB绕点O逆时针旋转90°,得到OB',则点B'的坐标为____________.
考点2 中心对称及其性质
4.下列图案中，点O为正方形的中心，阴影部分的两个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点O对称的是( )
5.如图,△AOD与△BOC关于点O成中心对称，连接AB，CD，以下结论错误的是 ( )
A.OA=OB B.△AOD≌△COB C.AD=BC
考点3 中心对称图形
6.中国代表队在第33届巴黎奥运会中取得了40金27银24铜的傲人成绩，并在多个项目上获得了突破，以下奥运比赛项目图标中，不是中心对称图形的是( )
7.如图，在一块平行四边形的菜地中，有一口圆形的水井，现在张大爷要在菜地上修一条笔直的小路，将菜地面积二等分，用以播种不同的蔬菜，且要使水井在小路上，以便对两块地进行浇灌，请你帮助张大爷画出小路修建的位置.
考点4 关于原点对称的点的坐标
8.点A(-3,m)与点B(n,2)关于原点对称，则n"的值为____________.
考点5 图案设计
9.如图，可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案有__________；可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案有__________；既可以通过平移变换，又可以通过旋转变换得到的图案有__________.
10.如图,5×5的方格中,小正方形边长为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫做格点.请按下列要求画出一个符合题意的四边形，且顶点在格点上.
(1)在图①中作出的图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为8；
(2)在图②中作出的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，且面积为10；
(3)在图③中作出的图形既不是中心对称图形又不是轴对称图形，且面积为10；
(4)在图④中作出的图形既是中心对称图形又是轴对称图形，且各边长都是无理数，面积为10.
思想方法整合
思想1 数形结合思想
11.如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴与y轴上，点B的坐标为(a,b),连接OB.
(1)当a=6,b=3时,若一次函数y=kx+4的图象平分矩形OABC的面积，求k的值；
(2)若P为矩形OABC内部一点,且△POA的面积与△POC的面积相等,求证:点P在OB上.
思想2 转化思想
12.阅读下面的材料，并解决问题：
(1)如图①，等边三角形ABC内有一点P，若点P到顶点A,B,C的距离分别为3,4,5,求 ∠APB的度数.
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP'处,连接PP',如图①,此时△ACP'≌△ABP,这样就可以利用旋转变换,求出∠APB=___________;
(2)【基本运用】
如图②,在△ABC中,∠CAB=90°,AB=AC,E,F为BC上的点,且∠EAF=45°,求证：
(3)【能力提升】
如图③,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,点O为Rt△ABC内一点,连接AO,BO,CO,且∠AOC=∠COB=∠BOA=120°,直接写出OA+OB+OC的值.
参考答案
1.D 2.C 3.(-4,8) 4.C 5.A 6.D
7.【解】如图，小路应修建在直线AB上.
点方法 平行四边形和圆都是中心对称图形，根据中心对称图形的性质，小路的位置应在平行四边形的对称中心A和圆的对称中心B的连线所在直线上.
8. 9.①④;③;②
10.【解】(1)如图①所示.(答案不唯一)
(2)如图②所示.(答案不唯一)
(3)如图③所示.(答案不唯一)
(4)如图④所示.(答案不唯一)
11.(1)【解】如图,连接AC,交OB于点Q,则点Q为矩形ABCO的对称中心.
∵一次函数y=kx+4的图象平分矩形OABC的面积,
∴一次函数y=kx+4的图象经过点Q.
∵B(6,3),O(0,0),∴Q(3,1.5).
把点Q(3,1.5)的坐标代入y=kx+4,得1.5=3k+4,解得
(2)【证明】设P(m,n),则点P到x轴的距离为n,到y轴的距离为m.
∵点B的坐标为(a,b),∴AO=a,CO=b.
∵△POA的面积与△POC的面积相等,即.
由题易得，直线OB的解析式为
把x=m代入得∴点P(m,n)在OB上.
12.(1)150°
(2)【证明】如图①,把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE',连接FE'.
由旋转的性质得AE'=AE,CE'=
∵∠EAF=45°,∴∠E'AF=∠EAE'-∠EAF=90°-45°=45°.∴∠EAF=∠E'AF.
在△EAF和△E'AF中,∴△EAF≌△E'AF(SAS).∴E'F=EF.
∵∠CAB=90°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=45°.∴∠ACE'=45°.
∴∠E'CF=45°+45°=90°.
由勾股定理得即
(3)【解】OA+OB+OC的值为
【点拨】如图②,将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A'O'B处,连接OO'.
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=1,∠ABC=30°,∴AB=2AC=2.
由旋转得,∴∠A'BC=90°,△BOO'是等边三角形.
∴BO=OO',∠BOO'=∠BOO=60°.
∵∠COB=120°,∴∠COB+∠BOO'=∠BO'A'+∠BO'O=120°+60°=180°.
∴C,O,O',A'四点共线.
在Rt△A'BC中,
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