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(共33张PPT)
2.1 不等式的基本性质
心中有山河
与相等关系相比，不等关系在现实世界中更为普遍．我们知道，不等式就是描述不等关系的一种重要的数学表示形式，我们将通过实数大小的比较，来研究不等式的基本性质．
心中有山河
实数的大小
2.1.1
心中有山河
情境导入
两个周长相等的矩形，如图所示，它们的面积哪个更大呢？
图(1)所示为正方形，面积为3cm×3cm=9cm2；
图(2)所示为长方形，面积为4cm×2cm=8cm2．
由于9 8=1＞0，所以它们的面积不相等，且图(1)所示正方形的面积大于图(2)所示矩形的面积．
一般地，对于任意实数a，b，如果a-b>0 ，那么称a大于b（或b小于a）．
（1）
（2）
心中有山河
探索新知
因为实数与数轴上的点是一一对应的，对于任意实数a、b都可以在数轴上找到对应的点A和B，如图所示．
显然，当点A在点B的右边时， a>b ；
当点A在点B的左边时， a当点A与点B重合时， a=b ．
探索新知
心中有山河
关于实数a，b的大小关系，可以通过以下运算来表示：
a > b a-b > 0，
a < b a-b < 0，
a = b a-b = 0 ．
要比较两个实数（或代数式）的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小．这种比较大小的方法称为作差比较法．
读一读
“ ”表示“等价于”，即可以互相推出 ．
探索新知
探索新知
心中有山河
典型例题
例1 比较 与 的大小．
解 因为
所以 ．
心中有山河
例2 比较(x+1)(x+2)与3x-1的大小．
典型例题
解 因为(x+1)(x+2)-(3x-1)=(x +3x+2)-(3x-1) =x +3>0，
所以 (x+1)(x+2)>3x-1．
心中有山河
例3 比较 2x -x 与x +2x-3的大小．
典型例题
心中有山河
设a，b均为实数，试比较a +b -ab与ab的大小．
心中有山河
不等式入门性质
巩固练习
1．比较下列各组实数的大小．
（1） 与 ； （2） 与 ； （2） 与0.83.
2．若a>b ，比较2a-1 与2b-1 的大小．
3．比较x -1与2x +3 的大小．
练习
4．比较 x -x 与x-2 的大小．
心中有山河
不等式的性质
2.1.2
心中有山河
情境导入
比较两个实数大小的作差比较法为研究不等关系奠定了基础．那么，如何用这个方法研究不等式的性质呢？
心中有山河
不等式进阶性质
在义务教育阶段，我们学习过一些不等式的性质，如：
性质1 如果a>b，那么a+c>b+c．
探索新知
心中有山河
可以用作差比较法证明性质1．
由 a > b，得 a-b>0，于是
(a+c)-(b+c)= a+c-b-c =a-b >0 ．
所以
a + c >b + c ．
性质1的证明
探索新知
心中有山河
性质1的证明
也可以借助数轴来看性质1，如图所示．
性质1的证明
探索新知
心中有山河
性质1表明，不等式两边同时加上（或减去）同一个数（或代数式），不等号的方向不变．因此性质1也称为不等式的加法法则．
利用不等式的加法法则，容易证明：
如果 ，那么 ．
这表明，不等式的任何一项可以从不等式的一边移到另一边，但同时要改变符号．这条结论也称为移项法则．
探索新知
心中有山河
性质2 如果a>b，c>0 ，那么ac>bc；
如果a>b，c<0，那么ac< bc．
探索新知
性质2表明，不等式两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
性质2也称为不等式的乘法法则．
试一试
用作差比较法证明性质2．
心中有山河
探索新知
证明 由a>b， b>c ，得
a-b>0，b-c>0；
所以
a-c=a-b+b c=(a-b)+(b-c)>0，
由此得 a>c．
性质3 如果a>b，b>c，那么a>c．
性质3表明不等式具有传递性．
心中有山河
探索新知
我们也可以借助数轴来看不等式的传递性．
心中有山河
探索新知
性质4也称为同向不等式的可加性．
性质4 如果a>b，c>d，那么a+c>b+d．
证明 由a＞b， c＞d ，由性质1，得
a+c>b+c， b+c > b+d.
由性质3，得
a+c>b+d.
心中有山河
例4 用符号“>”或“<”填空，并说明利用了不等式的哪（几）条基本性质．
典型例题
心中有山河
例4 用符号“>”或“<”填空，并说明利用了不等式的哪（几）条基本性质．
典型例题
解
读一读
本题也可以根据不等式的性质1和性质3，由a+4>b+4>b+2得到 ．
心中有山河
解
例4 用符号“>”或“<”填空，并说明利用了不等式的哪（几）条基本性质．
典型例题
， ；
心中有山河
解
例4 用符号“>”或“<”填空，并说明利用了不等式的哪（几）条基本性质．
典型例题
（4）如果a>b，那么3a-2 3b-3 ．
心中有山河
典型例题
例5 若 ， ，试证明 ．
解 因为a>b，c>0 ，由不等式的性质2得
ac>bc.
同理，由c>d，b>0 ，得
bc>bd.
因此，由不等式的性质3可得ac>bd ．
读一读
本题也是不等式的性质之一：两边都是正数的同向不等式，两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向．
心中有山河
典型例题
例6 如果代数式 与代数式 的差不大于2，
求x的取值范围．
解 由题可知 ，
化简得 ，
因此 ，
故 .
所以x的取值范围是 ．
心中有山河
如果a>b，c>d，是否有“a-c> b-d ”成立呢？如果成立，请说明理由；否则，请举出反例．
心中有山河
练习
巩固练习
1．已知a＞b，用符号“＞”或“＜”填空：
（1）a+1 b+1；
（2）-5a -5b；
（3）3a+3 3b+2．
心中有山河
练习
巩固练习
3．如果代数式 与代数式 的差不小于3，求x的取值范围．
心中有山河
归纳总结
心中有山河
布置作业
心中有山河
感谢聆听
再见
心中有山河