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2025-2026学年七年级上册数学单元考点培优湘教版（2024）
第3章 一次方程（组） 3.3 一元一次方程的解法
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若、表示非零常数，整式的值随的取值而发生变化，如下表，则关于的一元一次方程的解为（　　）
0 1 3 ……
1 3 5 9 ……
A． B． C． D．
2．把方程去分母后，正确的结果是（　　）
A． B．
C． D．
3．在解方程时，去括号正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列解方程中变形正确的有（　　）
①变形为；②变形为；③变形为；④变形为；⑤变形为．
A．①②④ B．②③④ C．①③⑤ D．②④⑤
5．小马虎做作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，被污染的方程是2（x－3）－■＝x＋1，怎么办呢？他想了想，便翻看书后的答案，方程的解是x＝9，请问这个被污染的常数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．如果关于的不等式组有且只有个整数解，且关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有整数的和为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．方程 =﹣ x+3的解为（　　）
A．x=4 B．x= C．x=﹣4 D．x=
8．如果关于的方程有非负整数解，且关于y的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数的和为（　　）．
A．－7 B．－8 C． D．
9．把方程 去分母正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．已知一元一次方程 ，则下列解方程的过程正确的是（　　）
A．去分母，得
B．去分母，得
C．去分母，去括号，得
D．去分母，去括号，得
二、填空题
11．小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了6，因而求得方程的解为，由此可知a的值为　 　，原方程的正确解为　 　．
12．方程 的解是 ，则关于x的方程 的解为　 　．
13．定义运算法则：例如：3 2=32+3×2=15.若2 x=10，则x的值为　 　.
14．如图所示的框图表示解方程3﹣5x=4﹣2x的流程，其中“系数化为1”这一步骤的依据是　 　
15．写出一个关于x的一元一次方程，使它的解为x=5：　 　．
16．已知关于x的方程，该方程的解为，则关于y的方程的解为　 　．
三、计算题
17．解下列一元一次方程：
（1）3x-2=1+2x
（2）
四、解答题
18． 老师在黑板上山了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的：
…...①
…...②
…...③
…...④
…...⑤
老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误.请你指出他错在第 ▲ 步，错误的原因是 ▲ .然后，请你自己细心地解此方程.
19．定义：如果两个一元一次方程的解之和为0，我们就称这两个方程为“友好方程”．例如：方程和为“友好方程”．
（1）请判断方程与方程是否为“友好方程”，并说明理由；
（2）若关于x的方程与方程是“友好方程”，求a的值．
20．小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此求得的解为，试求a的值，并符合题意求出方程的解．
21．当k为何值时，关于x的方程7k+6x=2的解比关于x的方程2(x-8）+5=1-x的解大6？
22．已知关于x的方程ax=b有两个不同的解x1，和x2，求证这个方程必有无数多个解．
23．如图是某校田径运动场的平面图，最中间是长方形，长为米，两端为两个半圆，半径为米，每条跑道的宽为米，共四个跑道．若每个跑道按内侧边线的总长度计算路程，请解答下列问题：
（1）第2道比第1道长　 　米（结果保留）；
（2）第3道的总长度为　 　米（结果用含、的代数式表示，保留，并化简）
（3）若 ，且要求第1道的总长度为米，
① 求的值（结果精确到个位，取）
② 在①的条件下，操场中心（阴影部分）铺设地砖，跑道及两端的半圆铺设人工草， 若铺地砖元，人工草元，则学校共需付多少这两项铺设费用？
参考答案及试题解析
1．C
2．B
3．D
4．D
5．B
【解答】解：设被污染的数字为y．
将x=9代入得：2×6﹣y=10．
解得：y=2．
故答案为：B．
【分析】设被污染的数字为y，将x=9代入，得到关于y的方程，从而可求得y的值．
6．B
7．A
【解答】解：去分母得：x=﹣2x+12，
解得：x=4，
故选A
【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解．
8．C
9．A
【解答】首先确定最简公分母为6，方程两边同时乘以6，得18x+2（2x-1）=18-3（x+1）．
故选：A．
【分析】先确定最简公分母，再在方程两边同时乘以6（方程左边的3x和右边的3不能漏乘），分子是多项式的要加括号。即可得出答案。
10．C
【解答】原式等号左右同乘2去分母，得 ，所以A，B不符合题意；原式去分母去括号后应是 ，所以D不符合题意，
故答案为：C.
【分析】先找公分母，再去分母，然后去括号即可。
11．；
12．x=3
【解答】解： 方程 的解是 ，
关于x的方程 为：
故答案为：x=3
【分析】先求出再求出最后计算求解即可。
13．3
【解答】解：由题意，22+2x=10，解得x=3，
故答案为3.
【分析】根据新定义的运算法则得到22+2x=10，再解方程即可.
14．等式的性质
【解答】“系数化为1”这一步骤的依据是等式的性质，
故答案为：等式的性质
【分析】等式的性质，等号两边同时乘以未知数系数的倒数，等号不变.
15．x+1=6
【解答】
解：根据题意得：x+1=6．
故答案为：x+1=6．
【分析】按要求写出关于x的一元一次方程，求解即可。
16．
17．（1）解：移项，得3x-2x=1+2
合并同类项，得x=3
（2）解：去分母，得3(x-1)-6x=2(2-x)
去括号，得3x-3-6x=4-2x
移项，得3x-6x+2x=4+3
合并同类项，得-x=7
系数化为1，得x=-7
【分析】（1）根据解一元一次方程的解法：移项——合并同类项，解之即可得出答案.
（2）根据解一元一次方程的解法：去分母——去括号——移项——合并同类项——系数化为1，解之即可得出答案.
18．解：①；去分母时，1没有乘以各分母的最小公倍数12
【分析】本题考查解带有分数系数的一元一次方程，明确此类方程的解题步骤是关键。先去分母，再移项，合并同类项，系数化1，求解即可。
19．（1）解：方程的解为，方程的解为，
因为，
所以它们为“友好方程”；
（2）解：方程的解为，因为关于x的方程与方程是“友好方程”，
所以关于x的方程的解为，
所以把代入方程，
解得．
【分析】（1）先解方程得到两个方程的解，然后根据“友好方程”的定义判断解题；
（2）先求出方程的解，然后根据“友好方程”的定义代入的解，即可求出a的值解题．
（1）解：方程的解为，
方程的解为，
因为，
所以它们为“友好方程”；
（2）解：方程的解为，
因为关于x的方程与方程是“友好方程”，
所以关于x的方程的解为，
所以把代入方程，
解得．
20．解：∵去分母时，方程左边的1没有乘以10，
∴，
∵此时解得，
∴，
解得：，
∴原方程为：，
去分母可得：，
去括号可得：，
移项、化简可得：，
解得：，
∴，原方程的解为：.
【分析】先根据错误的计算方法求出a的值，再将a的值代入方程可得，再去分母，然后去括号，接着移项、合并同类项，最后系数化为1即可。
21．解：
【解答】解：解方程，得，
解方程，得，
∵关于x的方程的解比关于x的方程的解大6
∴，
解得：．
【分析】先解每个一元一次方程，根据两个方程解的关系建立k的方程，求解即可。
22．证明：因为x1、x2都是方程ax=b的解，所以
从而 即
又因为 ，所以必有a=0，因此
由于a=0且b=0，因此方程ax=b有无数多解
又解 ，方程 有唯一解 ，现在方程ax=b有两个不同的解，所以必有a=0从而
由于a=0，b=0，因此任一个数都是 的解
【分析】在 ，方程 有唯一解 ，
在a=0且b=0时，方程ax=b有无穷多解，x可为任意数
在a=0且 ，方程 无解.
根据一元一次方程的解得意义，可将和代入方程得：a=a=b，则a（-）=0，由题意关于x的方程ax=b有两个不同的解，即≠，所以必有a=0=b，因此方程ax=b有无数多解。
23．（1）
（2）
（3）解：①由题意得：，
∵，结果精确到个位，取
∴2×50+2×3.1r=200
解得：．
②由题意得：
铺地砖费用（元）；
铺人工草费用元；
∴.4（元）；
所以学校共需付这两项铺设费用为.4元
【解答】：解：（1）依题意，最中间是长方形，长为米，两端为两个半圆，半径为米，每条跑道的宽为米，
∴第1道的总长度为：米，
第2道的总长度为：米，
故(米)，
故答案为：.
（2）由题意得：第3道的总长度为：米，
故答案为：

【分析】（1）根据题意表示出第2跑道和第1跑道的长，两者相减即可；两侧的两个半圆可以按一个整圆来计算周长；
（2）根据题意计算第3跑道的长：两个长方形的长+一个半径为(r+1.2×2)的圆，如此即可求出第3跑道长；
（3）①根据=200，代入a=50，π=3.1，解方程即可；
②先计算出长方形的面积，于是可得铺地砖的花费；再计算周围跑道的面积：两个长为a宽为1.2×4的长方形跑道面积+半径为（r+1.2×4）的圆面积.之后可得跑道铺人工草的花费，两个花费求和即可.
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