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2024-2025学年云南省玉溪一中高一（下）期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，，在复平面内，复数和所对应的两点之间的距离是( )
A. B. C. D.
2.已知是边长为的正边上的动点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知函数，若，且，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
4.若圆锥的底面半径为，体积为，则该圆锥的侧面展开图的面积是( )
A. B. C. D.
5.在一组样本数据中，，，，出现的频数分别为，，，，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.小华为测量，视为质点两地之间的距离，选取，与，在同一水平面上两点进行测量，已知在的正东方向上，米，在的北偏东方向上，在的南偏西方向上，米，则，两地之间的距离是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
7.锐角中，角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则下列命题正确的是( )
A. 是以为周期的函数
B. 当时，函数的最大值为，最小值为
C. 直线是曲线图象的一条对称轴
D. 函数在上没有零点
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设复数在复平面内对应的点为，为虚数单位，则下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 若，则点的集合所构成的图形的面积为
C.
D. 若是实系数方程的一个根，则
10.下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 连续型随机变量服从正态分布，若，则
C. 若事件，满足：，，且，则事件，相互独立
D. 已知一组成对数据，，，的经验回归方程为，则
11.设，为直线，，为平面，则下列结论正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，若，则______．
13.下表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果．
种子个数
发芽种子个数
发芽种子频率
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为______精确到．
14.已知是内的一点，角、、所对的边长分别为、、，而且，若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，且．
Ⅰ求的值和函数的最小正周期；
Ⅱ求不等式的解集；
Ⅲ在中，，，为边上的中线，设，，请直接写出的值和的长．
16.本小题分
如图，已知三棱台中，平面平面、是以为直角顶点的等腰直角三角形，且，．
证明：平面；
若的中点为，求直线与平面所成角的大小．
17.本小题分
某校数学建模社团招聘社长职位分笔试与面试两个环节，在笔试中有两轮答题：第一轮从类的个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得分，否则得分；第二轮从类的个问题中任选两题作答，每答对题得分，答错得分若两轮总分不低于分则进入面试环节小红和小明参加此次招聘活动，已知小红对，类每个问题的答对的概率均为在类的个问题中，小明只能答对个问题，在类的个问题中，小明每个问题答对的概率都为他们回答任一问题正确与否互不影响．
求小明在第一轮得分的概率；
求小红两轮总分得分的概率；
试判断小红和小明谁更有机会进入面试环节？
18.本小题分
在中，，，分别是角，，的对边，若：．
求角的大小．
若是的中点，，求面积的最大值；
若在所在平面内，满足，且，求实数的值．
19.本小题分
如图，正四棱柱中，底面边长为，侧棱长为，为棱上一动点，平面截正四棱柱所得截面交棱于点．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求四棱锥的体积；
Ⅲ写出当的长为何值时，四边形的周长最小，并求此时平面与平面的夹角的正切值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.Ⅰ
，
因为，所以，即，
所以，
所以函数的最小正周期为．
Ⅱ由，得，，
所以，，
所以不等式的解集为，．
Ⅲ因为，所以，
由题意知，，
所以，
所以，即，
设，，，
在中，由余弦定理得，，
即，
在中，由余弦定理得，，
即，
得，，
在，由余弦定理得，，
所以，
整理得，
所以，即，
解得或舍负，
所以，解得负值已舍，
故BC．
16.证明：在三棱台中，，，
在等腰梯形中，，
在中，由余弦定理得，
可得，即，
而平面平面，平面平面，平面，
所以平面；
解：过作，垂足为，
因为平面，
又因为平面，所以，
又因为，，，平面，所以平面，
平面，得，
又因为，，平面，所以平面，
可得为与平面所在角，
由等面积法可得，
即，
解得，
由于点是直角斜边的中点，
所以，
所以，
因为为锐角，所以，
所以与平面所成角为．
17.对类的个问题进行编号：，，，，，第一轮从类的个问题中任选两题作答，
则有共种，
设小明只能答对个问题的编号为：，，，，
则小明在第一轮得分，有共种，
则小明在第一轮得分的概率为：；
设“两轮总分得分”为事件，
“第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分”为事件，
“如果第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分”．
则，
；
；
由知，小明在第一轮得分的概率为，
则小明在第一轮得分的概率为：，
依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于分
所以如果第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；
；
如果第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
；；
如果第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，
小红和小明晋级复赛的概率分别为：
，；
如果第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，
小红晋级复赛的概率分别为：
；
所以小红晋级复赛的概率为：；
小明晋级复赛的概率为：；
因为，
所以小明更有机会进入面试环节．
18.由于，
可得，
则，
又，
所以，
又，
可得；
因为是的中点，
所以，
则
，
可得，
又，
可得，当且仅当时取等号，
所以，
可得面积的最大值为；
由，
可知为的外心，
设的外接圆为单位圆，以为原点，为的正半轴，
因为，，，
则，，，，
所以，
由，
可得，
则化简得，可得或，
可得或，
又，
当时，所以，代入上式可得，
当时，所以，代入上式可得，
所以．
19.Ⅰ证明：如图，连接，，
故平面为平面截正四棱柱所得的截面，
因为平面平面，平面平面，
平面平面，
所以；
Ⅱ如图，
四棱锥的体积．
三棱锥．
三棱锥．
所以．
Ⅲ如图，
当时，四边形的周长最短，
此时，分别为棱，的中点，
即，，
连接，交于点，过点作，分别交，的延长线于点，，连接，，
由条件可得，
所以为中点，即，
所以，所以，
因为，
所以．
所以点，，共线，
同理可得点，，共线，
所以为平面与平面的交线，
因为为棱中点，故，
同理可得．
所以
因为为的中点，，所以为中点，
所以，
因为，，，
所以，
所以，
所以为平面与平面的夹角，
在中，，，
故，
所以平面与平面的夹角的正切值为．
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