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2024-2025学年安徽省智学联考高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.某项比赛共有个评委评分，若去掉一个最高分与一个最低分，则与原始数据相比，一定不变的是( )
A. 极差 B. 分位数 C. 平均数 D. 众数
3.已知，，若，则( )
A. B. C. D.
4.若，为空间中两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，则下列结论不正确的是( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，则
5.在，点为线段的中点，点在线段上，且，若、为实数则( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为：，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
7.在一组样本数据中，，，，出现的频数分别为，，，，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
8.在中，内角，，的对边分别是，，，，，，则线段长度的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设，，是样本空间中三个概率大于的随机事件，则下列选项正确的是( )
A. 互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
B. 事件，相互独立与，互斥不能同时成立
C. 若成立，则事件与相互独立
D. 若成立，则事件，，一定两两独立
10.已知，内角，，分别对应边，，则下列命题中正确的是( )
A. 若，则为钝角三角形
B. 若，，，则的面积为
C. 在锐角中，不等式恒成立
D. 若，，且有两解，则的取值范围是
11.已知正方体的棱长为，，，分别为棱，，上的点，且，，，若点为正方体内部含边界点，满足：为实数，则下列说法正确的是( )
A. 点的轨迹为菱形及其内部
B. 当，时，的长度为
C. 当时，点的轨迹长度为
D. 最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若向量，分别表示复数，，则______．
13.在平行六面体中，，，为的中点，则 ______．
14.在，的面积为，，，的外接圆为圆，为圆上的点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点求证：
平面；
平面平面．
16.本小题分
正在重构养老模式，如北京天坛医院落地全球首个脑机接口临床病房，杭州某养老院引入“情感陪伴系统”等，某网站为此进行了调查现从参与者中随机选出人作为样本，并将这人按年龄分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示：
根据频率分布直方图求实数的值及样本数据的平均数；
若将频率视为概率，现在要从和两组中用分层抽样的方法抽取人，分别用，，，，，来表示，再从这人中随机抽取人进行电话采访，
试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
设为事件“抽取的人中至多有人的年龄在这一组”，求事件发生的概率．
17.本小题分
如图所示，四边形是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，直线与平面所成的角为，．
当时，求点到平面的距离；
若，点是线段上一动点，平面与平面夹角的正弦值为，求的长．
18.本小题分
如图，在中，角，，所对的边分别为，，，过内一点的直线与直线交于，记与夹角为．
已知，
若为的垂心，求的值；
为的重心，，，求；
请用向量方法探究与的边和角之间的等量关系是否成立？
19.本小题分
已知两个非零向量，，在空间任取一点，作，，则叫做向量，的夹角，记作，定义与的“向量积”为：是一个向量，它与向量，都垂直，它的模，如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，点为线段上一动点，．
求的长；
若为上一点，且满足，求的值；
求的取值范围．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：
以点为原点建立空间直角坐标系：
有，，，．
由为棱的中点，．
平面，因此，
又，，，平面，因此平面，
因此向量为平面的一个法向量，而，
因此，又平面，因此平面．
证明：设平面的一个法向量为，
则，因此，
不妨令，可得为平面的一个法向量．
设平面的法向量，，，
则，因此，
令，可得为平面的一个法向量．
因为，因此．
因此平面平面．
16.，解得，
样本数据的平均数为；
与两组的频率之比为：，
现从和两组中用分层抽样的方法抽取人，
则组抽取人，记为，，组抽取人，记为，，，，
所有可能的情况为，，，，，，，，
，，，，，，，，共种，
事件发生的概率．
17.平面，平面，
，
又，，，平面，
平面，平面，
，
又是圆柱的底面直径，则，
，
平面，
又平面，平面，
平面，
点到平面的距离等于点到平面的距离，过点作于点，
平面，平面，
，
，，平面，
平面，
平面，
就是直线在平面内的射影，
就是直线与平面所成的角，
，
，
，，
，
点到平面的距离为．
由已知，以为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，
过点且与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：
由，得，，，，
，，，，
设，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，则，，
，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令则，
，
平面与平面夹角的正弦值为，
平面与平面夹角的余弦值为，
，，
整理得，解得或舍．
，
．
18.由，
结合正弦定理角化边可得：，
所以，
由为三角形内角，所以，
又为的垂心，所以，
所以，
所以；
因为，由可知，
由为的重心，得，
则，
在中，由正弦定理，得，
由，得平分，又，
所以
；
直线与的边相交于点，如图，
由，得，即，
又，
，
，
因此，
所以．
19.因为底面为矩形，底面，
所以，，
又底面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
又平面，
所以，
所以为直线与所成的角，
即，
设，
则，，
在中，
又，
所以，
解得负值已舍去，
所以．
依题意，，
又，
所以，，
又，
所以，
又，、平面，
所以平面，
在平面内过点作，垂足为，
由平面，平面，
所以，
又，、平面，
所以平面，
在平面内过点作交于点，在上取点，使得，连接，
所以且，
所以四边形为平行四边形，
所以，
又，
即，
所以．
由知，，
建立以方向为轴正方向，以方向为轴正方向，以方向为轴正方向的空间直角坐标系，
则，
令，，
可得，
又，
得，
从而有，
所以，
则，
所以，，
所以，
即的取值范围为．
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