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2024-2025学年四川省甘孜州高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.学校为促进学生课外兴趣发展，积极开展各类校园社团活动，某同学计划从美术、街舞等五个社团中选择三个参加，若美术和街舞中最少选择一个，则不同的选择方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
2.若随机变量，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，则( )
A. B. C. D.
4.在等差数列中，若，，则公差( )
A. B. C. D.
5.以下四个命题中，其中真命题为( )
A. 在回归分析中，可用相关指数的值判断模型的拟合效果，越大，模型的拟合效果越好
B. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数就越大
C. 若数据，，，的方差为，则，，，的方差为
D. 对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，判断“与有关系”的把握程度越大
6.“”是“函数只有一个零点”的( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为，乙的中靶概率为，设“甲中靶”，“乙中靶”，则( )
A. 与，与，与，与都相互独立
B. 与是对立事件
C.
D.
8.已知等差数列的前项和为，且，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等比数列，，，则( )
A. 数列是等比数列 B. 数列的前项和是
C. 数列是等差数列 D. 数列的前项和是
10.下列说法正确的是( )
A. 从容量为的总体中抽取一个容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和按比例分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为，，则
B. 若，则事件与事件相互独立
C. 一个人连续射击次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件
D. 若，，且事件与事件相互独立，则
11.已知函数在处取得极小值，则下列结论正确的是( )
A. 或 B. 函数有且仅有一个零点
C. 函数恰有两个极值点 D. 函数在有最小值，无最大值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量，则 ______．
13.甲、乙、丙、丁、戊五人完成，，，，五项任务所获得的效益如下表：现每项任务选派一人完成，其中甲不承担任务，丁不承担任务的指派方法数有______种；效益之和的最大值是______．
甲
乙
丙
丁
戊
14.在中，若，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求的值；
求的值参考数据：
16.本小题分
为了了解高中学生课后自主学习数学时间分钟每天和他们的数学成绩分的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据如下表：
编号
若该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求关于的回归直线方程参考数据：
基于上述调查，某校提倡学生课后自主学习经过一学期的实施后，抽样调查了位学生按照参与课后自主学习与成绩进步情况得到如下列联表：
成绩没有进步 成绩有进步 合计
参与课后自主学习
未参与课后自主学习
合计
依据的独立性检验，分析“课后自主学习与成绩进步”是否有关．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
，其中．
17.本小题分
以“智在必得”为主题的人工智能知识挑战赛预赛由道正误判断题组成，每位选手从中随机抽取道，若能全部回答正确，则通过预赛已知选手甲会做其中的道题．
设表示选手甲抽到会做题目的道数，求随机变量的分布列和方差；
假设选手甲会做的题全部答对；不会做的题随机判断，答对的概率为若各题作答结果互不影响，求他通过预赛的概率．
18.本小题分
已知函数，，函数．
求的最小值；
若．
求零点的个数；
证明：的所有零点之和为定值．
19.本小题分
已知数列的前项和为，且．
求数列通项公式；
数列满足，求数列的前项和；
设，求证：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列．
参考答案
1.
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10.
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12.
13.
14.
15.解：，
令，
则，
令，
则，
故；
令，
则，
可得，．
16.由题意易得，，
又，
，
所以，，
所以；
由题意有，
所以在犯错概率不超过的前提下，认为“课后自主学习与成绩进步”有关．
17.由题易知的所有可能取值为，，，
则，，，
所以的分布列为：
故随机变量的期望，
所以的方差；
设事件“选手甲抽到道会做的题目，，，”，
事件“选手甲通过预赛”，
则，且，，两两互斥，并且，
由知，，又，
所以，
同理，，
由全概率公式得，选手甲通过预赛的概率．
18.函数定义域为，则，
当时，；当时，，函数在上递减，在上递增，
所以当时，函数取得最小值；
函数的定义域为，则，
令，求导得，
因为，所以当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
，
又，则存在，使得，
，
令，求导得，
函数在上递增，，即，，
因此存在，使得，
当或时，，当时，，
函数在，上单调递增，在上单调递减，
而，则是的一个零点，且，
又，，
因此函数在，上各有一个零点，所以零点的个数为；
证明：，
而，由，得，
令，
，
则函数为上的奇函数，函数的图象关于原点对称，
因此的所有零点和为，所以所有零点和为，是定值．
19.根据数列的前项和为，且，
当时，，解得，
当，由，可得，
作差得，化简得，
可知数列为等比数列，所以．
可知，
则，
则，
作差得，化简得．
已知，可知在函数上，
设等差数列，是一个首项为，公差为的等差数列，
则在函数上，
可知是指数函数，是一次函数，
易知指数函数与一次函数至多只有两个交点，所以不存在三个点即在上，又在上，
即数列中任意不同的三项都不能构成等差数列．
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