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2024-2025学年山东省青岛五十八中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.如图，已知，，，用，表示为( )
A. B.
C. D.
3.某校团委为弘扬民族精神，深化爱国主义教育，举办年“一二九”文艺汇演，其中对于高三班的大合唱“保卫黄河”，位评委的打分情况如下：，，，，，，，，，，，，则这组数据的( )
A. 极差为 B. 众数为
C. 分位数为 D. 第三四分位数为
4.由斜二测画法得到的一个水平放置的三角形的直观图是等腰三角形，底角为，腰长为，如图，那么它在原平面图形中，顶点到轴的距离是( )
A.
B.
C.
D.
5.从，，，这个数中，任取个数求和，那么“这个数的和大于”为事件，“这个数的和为偶数”为事件，则和包含的样本点数分别为( )
A. ； B. ； C. ； D. ；
6.在中，内角，，的对边分别为，，，则“为等腰直角三角形”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点经过次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为( )
A. B. C. D.
8.已知三棱锥的棱长均为，点在内，且，则点的轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，，则下列说法中正确的是( )
A. 若，则 B.
C. 若，则 D.
10.设，为两个随机事件，若，，则下列结论中正确的是( )
A. 若，相互独立，则
B. 若，则，相互独立
C. 若与相互独立，则
D. 若与相互独立，则
11.如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于，的动点，已知圆锥的底面积为，侧面积为，则下列说法正确的是( )
A. 圆锥的体积为
B. 三棱锥的体积的最大值为
C. 一只蚂蚁沿圆锥的侧面从点爬到点处的最短路径的长度为
D. 若二面角的大小为，二面角的大小为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，若为的中点，，，则______．
13.如图所示，，，，为空间四点，在中，，，等边三角形以所在直线为轴旋转，当平面平面时， ．
14.某同学在学习和探索三角形相关知识时，发现了一个有趣的性质：将锐角三角形三条边所对的外接圆的三条圆弧劣弧沿着三角形的边进行翻折，则三条圆弧交于该三角形内部一点，且此交点为该三角形的垂心即三角形三条高线的交点如图，已知锐角外接圆的半径为，且三条圆弧沿三边翻折后交于点若，则 ______；若：：：：，则的值为______．
四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间单位：时，并按照，，，，，将样本数据分成组，制成如图所示的频率分布直方图．
补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数；
利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于小时的概率．
16.本小题分
已知锐角中，角，，的对边分别为，，，向量，，且与共线．
求角的值；
若，求的取值范围．
17.本小题分
如图，棱长为的正方体，点在上异于，．
若平面分别交，，，于点，，，，四边形为平行四边形，求证：平面；
若，求异面直线与的夹角的余弦值．
18.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，为中点，，求的面积；
在内，将满足的点称为的布洛卡点若为的布洛卡点，且，求的周长．
参考答案
1.
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4.
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8.
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10.
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13.
14.
15.第五组的频率为，
所以该组对应的小矩形高度为，
故补全频率分布直方图如下：
设样本数据的中位数为，平均数为．
因为样本数据在的频率为，
样本数据在的频率为，
则，所以，解得，
，
由样本估计总体，该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数分别为和．
由频率分布直方图可估计该校学生每周综合体育活动时间不低于小时的频率为．
记事件“抽取的第名学生每周综合体育活动时间不低于小时”，
“抽取的第名学生每周综合体育活动时间不低于小时”，
由题意，相互独立．
利用频率估计概率，．
记事件“抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于小时”，
则
．
所以抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于小时的概率为．
16.解：由于与共线，
，
，，又为锐角三角形，故．
由正弦定理可得，，
由于为锐角三角形，则，且，
解得，
，
而，即，
的取值范围为．
17.证明：棱长为的正方体，点在上异于，，如图，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面，
又平面，平面平面，
，
又平面，平面，
平面．
连接，，，，且，交于，连接，，，如图，
，，，，平面，
平面，又平面，
，又四边形为正方形，
为的中点，，
又为中点，，且，
异面直线与的夹角为或其补角，
在等腰三角形中，，
由余弦定理训，
即异面直线与的夹角的余弦值为．
18.由，
得．
由正弦定理，得，
整理得，
由余弦定理，得，
又，
所以．
由题知，
所以，
则，
所以，
由得，，又，
所以，
联立，得，
故的面积为．
如图，设，因为，所以，
由知，，所以，
在中，设，
由正弦定理得，
所以，
在中，由上可知，，
由正弦定理，得，
所以，
所以，
则，
整理，得，
所以，，解得，，
又，所以，
则，因此为等边三角形，
在中，，，，
所以，
所以，
故的周长为．
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