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2024-2025学年内蒙古巴彦淖尔市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，满足，，且向量，的夹角为，则向量在向量上的投影向量是( )
A. B. C. D.
3.已知某圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则该圆锥的侧面积是( )
A. B. C. D.
4.若虚数是关于的一元二次方程的一个根，则( )
A. B. C. D.
5.下列结论正确的是( )
A. 若事件与事件互斥，则
B. 若事件与事件互斥，则
C. 若事件与事件对立，则
D. 若事件与事件对立，则
6.已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出以下结论：若，，，则；若，，，则；若，，则；若，，则其中正确结论的个数是( )
A. B. C. D.
7.已知点在点的正西方向，为了测量，两点之间的距离，在观测点处测得在的北偏西方向，在的北偏东方向，且，两点之间的距离为米，则，两点之间的距离为( )
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
8.甲、乙、丙三人每人投篮一次，投中的总次数记为已知甲、乙、丙投篮命中的概率分别为，且甲、乙、丙投篮的结果相互独立，则的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列结论正确的是( )
A. 的实部是 B. 的虚部为
C. D. 在复平面内所对应的点位于第四象限
10.一分钟跳绳是某省中考体育选考项目之一小明在平时训练时通常会将自己的训练成绩记录下来，以此评估自己的训练成果小明记录了他在月份的次训练成绩和月份的次训练成绩通过计算，他发现月份的训练成绩的平均值为，方差为；月份的训练成绩的平均值为，方差为下列结论正确的是( )
A. 小明这两个月的次训练成绩的平均数为
B. 小明这两个月的次训练成绩的平均数为
C. 小明这两个月的次训练成绩的方差为
D. 小明这两个月的次训练成绩的方差为
11.如图，在正四棱锥中，，分别是，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 设平面，则
B. 三棱锥与正四棱锥的体积之比为：
C. 若，则正四棱锥内切球与外接球的半径之比为：
D. 正四棱锥被平面分成的上、下两部分的体积之比为：
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数据，，，，，，的极差是______．
13.在正方体中，是的中点，则直线与所成角的余弦值为______．
14.在中，，是线段的中点，过点的直线分别与线段，交于点，，若，，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求的值；
若向量，且，求向量，的夹角．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是正方形，．
证明：平面平面．
求平面与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
某中学组织了一次文学常识知识竞赛满分：分，从参赛学生中随机抽取名学生的成绩并进行整理，按，，，，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值；
估计该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第百分位数；
现从被抽取的竞赛成绩在内的学生中按分层随机抽样的方法抽取人进行座谈了解，再从这人中随机抽取人作发言，求抽取的人恰好在同一组的概率．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别是，，，且．
证明：；
求的取值范围；
若，求外接圆面积的最小值．
19.本小题分
定义：两个多面体，的重合度，其中是多面体，的重合部分的体积，，分别是多面体，的体积如图，在三棱柱中，，分别是棱，上的点不包含端点，且，延长，，分别交，的延长线于点，．
已知，且三棱柱的体积为．
求三棱柱与三棱锥重合部分的体积；
求三棱柱与三棱锥的重合度．
若三棱柱与三棱锥的重合度，求的值．
参考答案
1.
2.
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8.
9.
10.
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13.
14.
15.由题意可知，，．
又因为，
所以，解得：或．
因为，，
所以，．
又因为，，
所以，解得：，
则．
所以，．
设向量，的夹角为，；
因为，得；
所以向量，的夹角为．
16.证明：设，
因此，即底面正方形边长是，等边三角形的边长是，
由，即，因此，显然，
又，，平面，因此平面，
又平面，因此平面平面．
作垂足为，作，垂足为，连接，
平面平面，，平面，平面平面，
于是平面，由平面，因此，
又，，平面，因此平面，
又平面，因此，又，
因此为平面与平面所成角，
由，
因此
17.根据频率和乘组距为可知：，解得；
，，，，对应的频率依次为：
，，，，，
第百分位数累计频率为，在之间，
，
因此估计该中学学生这次文学常识知识竞赛成绩的第百分位数为：；
，频率之比为：，
抽人，抽人，
设抽中，两人，抽中，，三人，
，，，，，，，，，，共种，
人恰好在同一组的有：，，，，共种，
因此人恰好在同一组的概率为：．
18.证明：因为，
所以，
由正弦定理得：，
由余弦定理得：，
所以，
即，所以；
因为，
所以由余弦定理得：，
又因为，所以，
所以的取值范围是：；
由得，所以，
设的外接圆半径为，
所以由正弦定理得：，
所以外接圆面积的最小值为．
19.设的面积为，三棱柱的高为，则三棱柱的体积．
作，交于点，连接，
因为平面，平面，因此平面，
因为，且，因此，
又平面，平面，因此平面，
又，因此平面平面，
因为，因此为棱的中点，
则三棱柱的体积，三棱锥的体积．
故三棱柱与三棱锥重合部分的体积．
因为，因此，因此∽，
因此，因此．
因为，平面，平面，因此平面．
因为平面平面，且平面，
因此，因此，
则∽，故，
从而三棱锥的体积，
故三棱柱与三棱锥的重合度．
设，则，从而，
故三棱柱的体积，
三棱锥的体积，
故三棱柱与三棱锥重合部分的体积．
因为，因此，因此∽，
因此，因此．
因为，平面，平面，因此平面．
因为平面平面，且平面，
因此，因此，
则∽，故，
从而三棱锥的体积，
故三棱柱与三棱锥的重合度．
因为，因此，因此，
因此，解得或或．
因为，因此．
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