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2024-2025学年陕西省汉中中学高一（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.已知角终边与单位圆交于点，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，不共线，与共线，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.已知为正方体，、分别为、的中点，则二面角的大小为( )
A.
B.
C.
D.
5.已知单位向量，满足，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象对应的函数为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知球是棱长为 的正方体的内切球，则平面截球的截面面积为( )
A.
B.
C.
D.
8.为了培养学生的数学建模能力，某校成立“不忘初心”学习兴趣小组今欲测量学校附近洵江河岸的一座“使命塔”的高度，如图所示，可以选取与该塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得“使命塔”塔顶的仰角为，则“使命塔”高
( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图，在四面体中，点，，，分别是棱，，，的中点，截面是正方形，则下列结论正确的为( )
A. 截面
B. 异面直线与所成的角为
C.
D. 平面
10.已知向量，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则或
D. 若，则向量在向量上的投影向量的坐标为
11.若函数的部分图象如图所示，则( )
A.
B.
C. 在上单调递减
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，则______．
13.若， ______．
14.如图，点、分别是直角三角形的边、上的点，斜边与扇形的弧相切，已知，，则阴影部分绕直线旋转一周所形成的几何体的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，且．
求的值；
求的值．
16.本小题分
如图，在边长为的正方体中，点在上
当是中点时，证明：平面；
当和重合时，求三棱锥的表面积．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面是菱形，底面，、分别是、的中点，，，．
求证：平面；
求证：平面平面．
18.本小题分
在中，，，分别是三内角，，的对边，且．
求角的值；
若，设角的大小为，的周长为，求的最大值．
19.本小题分
我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系称为“广义坐标系”如图，分别为，正方向上的单位向量若向量，则把实数对叫作向量的“广义坐标”，记已知向量的“广义坐标”分别为，．
求的“广义坐标”；
求向量与的夹角的余弦值；
以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，若向量在平面直角坐标系中的坐标为，求向量的“广义坐标”．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，所以，
因为，所以，
所以
；
因为，，
所以，
所以，
．
16.如图，连结交于点，因为是中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面．
当与重合时，三棱锥即三棱锥，
则在边长为的正方体中，
是边长为的正三角形，
所以三棱锥表面积为：
．
17.证明：底面是菱形，连接，，
，
是正三角形，底面，平面，
，又是的中点，，
而，，平面，
平面；
连接，由菱形，得，由是的中点，
得，则，
底面，底面，
得，
又，，平面，
平面，又平面，
平面平面．
18.由，得．
化简：，．
由正弦定理 得，，
，故的最大值为．
19.根据题意，向量的“广义坐标”分别为，．
则，
故，
故的“广义坐标”为；
根据题意，分别为，正方向上的单位向量，数轴，的夹角成，
则，
则有，
故，
，故，
，故，
故；
根据题意，分别为，正方向上的单位向量，数轴，的夹角成，
则在平面直角坐标系中，，
设，向量在平面直角坐标系中的坐标为，
所以，
所以，解得，
故向量的“广义坐标”为．
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