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2024-2025学年宁夏吴忠中学高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设是虚数单位，集合中的元素由复数的实部和虚部组成，集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
3.已知事件与相互独立，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知圆锥的底面半径为，高为，则该圆锥的表面积为( )
A. B. C. D.
5.先后两次抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，得到的点数分别为，，设平面向量，，则“”的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知，，表示不同的直线，，表示不同的平面，下面四个命题错误的有( )
A. 若，，则 B. 若，，，，则
C. 若，，则 D. ，，则
7.在正方体中，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是( )
A. B. C. D.
8.已知点是内部的一点，且满足，则的值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在一个密闭的盒子中放有大小和形状都相同，编号分别为，，，的张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为”，事件“摸出的两张卡牌的编号之和为”，则( )
A. 事件与事件为互斥事件 B.
C. 事件与事件相互独立 D.
10.下列说法中正确的为( )
A. 已知，，且与夹角为锐角，则
B. 若，且，则外接圆半径
C. 若，则是钝角三角形
D. 中，若，则
11.对非零向量，定义变换，得到一个新的向量，关于该变化，下列说法正确的是( )
A.
B. 若，则
C. 设，，为线段的中点，则
D. 设，为坐标原点，且点，，构成等腰三角形，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.五个数，，，，的平均数是，则这五个数的标准差是______．
13.已知满足，若在方向上的投影向量为，则______．
14.如图，直三棱柱中，，，，点在棱上，且，当的面积取最小值时，三棱锥的外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，，四边形是正方形，是的中点．
证明：平面．
证明：平面平面．
16.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，满足．
Ⅰ求角；
Ⅱ若，求的值；
Ⅲ若，，求的值．
17.本小题分
某市为了解人们对火灾危害的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次消防知识竞赛，满分为分分及以上为认知程度高，结果认知程度高的有人，将这人按年龄分成组，其中第一组为，第二组为，第三组为，第四组为，第五组为，得到如图所示的频率分布直方图．
求图中的值；
利用频率分布直方图，估计这名市民年龄的平均数和第百分位数；
现从第三、四、五组中采用分层抽样的方法选取人担任本市的消防安全宣传使者，再从中随机抽取人作为组长，求组长中至少有一人的年龄在第四组内的概率．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，侧面底面，底面为矩形，，为的中点，．
求证：；
若上存在点，使得平面，求的值；
若与平面所成角的正弦值为，求四棱锥的的体积．
19.本小题分
已知向量，，函数．
若，且，求的值；
已知，，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.证明：记，连接．
因为四边形是正方形，所以是的中点．
因为是的中点，所以．
因为平面，平面，所以平面．
连接．
因为四边形是正方形，所以是的中点．
因为，所以．
因为四边形是正方形，所以．
因为，平面，且，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
16.解：Ⅰ中，，
由正弦定理得；
又，
所以，
所以；
又，所以，
所以；
又，
所以；
Ⅱ若，，
所以，
所以，
，
所以
；
Ⅲ若，，
由，得，
所以；
所以，
解得．
17.根据题意可得，解得；
设这人的平均年龄为：
岁，
因为前几组的频率依次为，，，，
所以第百分位数在之间，且为；
若现从第三、四、五组中采用分层抽样的方法选取人担任本市的消防安全宣传使者，
则从第三、四、五组中需依次选取人，
再从中随机抽取人作为组长，求组长中至少有一人的年龄在第四组内的概率为．
18.证明：在四棱锥中，连接，
因为，所以，
又因为侧面底面，侧面底面，侧面，
所以平面，又平面，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又平面，平面，则，
因为，，平面，所以平面，
又因为平面，
所以．
取中点为，连，，
因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，，，平面，
所以平面平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面，，平面，平面平面，
所以，
又为中点，则为中点，
此时；
由可知，所以为等腰直角三角形，
又，所以，设，则，
记点到面的距离为，
因为，平面，平面，所以平面，
因为，所以，
设与平面所成角为，
所以，
即，
整理得，
则或，
解得或，
即或
所以或．
19.解：，
，因为，所以，
而，所以，
所以，
所以；
由题意得，
假设的图象上存在点使得，
因为，，
因为，
所以，
令，
因为，
所以，
当且仅当时取等，
所以存唯一解，此时，点，
综上，符合条件的点坐标为．
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