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2024-2025学年云南省丽江第一高级中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.设复数满足，则( )
A. B. C. D.
4.我国南北朝时期的数学家、天文学家祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”“势”即是高，“幂”即是面积意思是：如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积相等，那么这两个几何体的体积相等．如图所示，扇形的半径为，圆心角为，若扇形绕直线旋转一周，图中阴影部分旋转后所得几何体与某不规则几何体满足：“幂势同”，则该不规则几何体的体积为( )
A. B. C. D.
5.已知圆过抛物线的焦点，且圆心在此抛物线的准线上．若圆的圆心不在轴上，且与直线相切，则圆的半径为( )
A. B. C. D.
6.如图，正方形与矩形所在平面互相垂直，，，在上，且平面，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
8.已知函数，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知由样本数据组成的一个样本，得到经验回归方程为且，去除两个异常数据和后，得到的新的经验回归直线的斜率为，则( )
A. 相关变量，具有正相关关系
B. 去除异常数据后，新的平均数
C. 去除异常数据后的经验回归方程为
D. 去除异常数据后，随值增加，的值增加速度变小
10.设是公比为的等比数列的前项和，且，，成等差数列，则下列说法正确的有( )
A. B. ，，成等差数列
C. ，，成等比数列 D. ，，成等差数列
11.已知函数，其中为常数，且，将函数的图象向左平移个单位所得的图象对应的函数为偶函数，则以下结论正确的是( )
A. B. 点是的图象的一个对称中心
C. 在上的值域为 D. 的图象在上有四条对称轴
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知平面向量，，，则在方向上的投影为________．
13.已知等差数列的前三项为，，，则此数列的通项公式为______．
14.已知双曲线的右顶点为，若以点为圆心、双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，与轴正半轴交于点，且线段交双曲线于点，，则双曲线的离心率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，是上一点，且．
若，求；
求．
16.本小题分
如图，在直三棱柱中，平面侧面，且．
求证：；
若直线与平面所成的角为，求锐二面角的大小．
17.本小题分
函数．
Ⅰ若时，求函数的单调区间；
Ⅱ设，若函数在上有两个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆短轴端点，若为直角三角形且周长．
求椭圆的方程；
若直线与椭圆交于，两点，直线，的斜率的乘积为，求取值范围．
19.本小题分
一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第站、第站、第站、、第站，共站，设棋子跳到第站的概率为，一枚棋子开始在第站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第站获胜或第站失败时，游戏结束骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数、、、、、．
求、、，并根据棋子跳到第站的情况，试用和表示；
求证：为等比数列；
求玩该游戏获胜的概率．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：因为且，所以在中，，
因为，，所以，
在中，，，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，即，
由可得，，
所以，
所以；
因为，所以，
在中，由正弦定理可得，
在中，，
所以，
所以．
所以的值为
16.证明：如图，取的中点，连接，
，，
平面侧面，且平面侧面，
在侧面内，
平面，又平面，
，
三棱柱是直三棱柱，
底面，又底面，
，
又、为侧面内两条相交直线，
侧面，
又侧面，
；
解：连接，由可知平面，平面，
则是在平面内的射影，，
即为直线与平面所成的角，则，
底面，又、底面，
，，
在等腰直角中，，且点是中点，
，且，，，
过点作于点，连，
由知平面，平面，
则，且、为平面内两条相交直线，
平面，平面，
，
平面，平面，且平面平面，
即为二面角的一个平面角，
且直角中，，
平面，平面，
，
又，，
，
且二面角为锐二面角，
，即二面角的大小为．
17.解：Ⅰ当，，，
则，
由得或，此时函数单调递增，
由得，此时函数单调递减，
即函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
Ⅱ，
由得，
即，
设，，
函数的导数，
函数在上为增函数，且当时，，
当时，，，为增函数，
当时，，，为减函数，
即当时，取得极小值，极小值为，
当时，，当时，，
要使在，上有两个交点，
得，
即实数的取值范围是．
18.因为为直角三角形，
所以，
又周长为，
所以，
故，
所以椭圆．
设，，
当直线斜率不存在时，
，
所以，
又，
解得，
；
当直线斜率存在时，设直线方程为：，
由得，
由得，
即，
，，
由，
得，即，
所以．
所以．
19.解：棋子开始在第站是必然事件，，
棋子跳到第站，只有一种情形，第一次掷骰子出现奇数点，
其概率为，；
棋子跳到第站，包括两种情形，
第一次掷骰子出现偶数点，其概率为；
前两次掷骰子都出现奇数点，其概率为，
；
棋子跳到第站，包括两种情形，
棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为；
棋子先跳到第站，又掷骰子出现奇数点，其概率为，
故，
棋子跳到站只有一种情况，
棋子先跳到第站，又掷骰子出现偶数点，其概率为，．
证明：由可得且，
数列为等比数列，且公比为．
由可知，
．
玩该游戏获胜的概率为．
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