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2024-2025学年河北省邯郸市涉县一中高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.某同学记录了以下数据，分别为，，，，，，，，则该组数据的第百分位数为( )
A. B. C. D.
4.已知点，将线段绕坐标原点逆时针转动至，则点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的两条渐近线的夹角的正切值为，则该双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.已知扇形的圆心角为，弧长为，面积为，扇形所在圆的半径为，则取最小值时，半径的值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的定义域为，函数是奇函数，则( )
A. B. C. D.
8.已知实数，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则( )
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，，则
D. 若，，，则
10.已知函数，则( )
A. 若，则函数的极小值点是
B. 函数的图象关于点中心对称
C. 若过点有三条直线与曲线相切，则实数的取值范围为
D. 若函数在上存在唯一的极值点，则实数的取值范围为
11.已知半圆：，半圆与半圆关于轴对称，焦点为的抛物线：的一部分恰与这两个半圆围成一个封闭的图形，点，在的抛物线部分上，点在半圆或半圆上，则下列说法正确的是( )
A. 若在半圆上，则到直线的距离最大值为
B. 若在半圆上，则的最小值为
C. 若，则的面积的最大值为
D. 若在半圆上，是的中点，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的前项和为，若，，则 ______．
13.如图，在中，点在边上，过点的直线与，所在的直线分别交于点，，且是的中点，若，，则的最小值为______．
14.已知小张、小王等名同学需要到甲、乙、丙、丁个单位去实习，要求每名同学只去一个单位实习，每个单位都有学生参加实习，则在小张去丁单位实习的前提下，小王不去丁单位实习的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
求的最大值．
16.本小题分
已知函数，其中，．
若曲线在处的切线方程为，求，的值；
讨论函数的单调性；
若曲线的一条切线是轴，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，平面平面，底面为直角梯形，，，与相交于点，点满足，且．
求证：平面；
求的长度；
若点到平面的距离为，求与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
甲、乙两名同学进行做题游戏，甲同学做试题和，乙同学做试题，已知甲同学做对试题的概率为，做对试题的概率为，同时做对试题和的概率为；乙同学做对试题的概率为，且甲、乙两名同学做题结果互相不受影响．
求甲同学做对试题没有做对试题的概率；
求甲同学在没有做对试题的条件下做对试题的概率；
若甲、乙两名同学做对试题的题数之和为，求的分布列和数学期望．
19.本小题分
已知离心率且焦点在轴上的序列椭圆，其中的一个焦点为过上一点作的两条弦、，交于另两点，，且的内心在垂直于轴的一条直线上．
求数列的通项公式；
求直线的斜率；
若为坐标原点，当的面积为时，直线交轴于，证明：．
参考答案
1.
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9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由，得，
所以．
，
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值．
16.由函数，导函数，
根据题意得，由于导函数，
因此，解得．
将代入切线可得，所以，解得，
根据题意得，由于导函数，因此，解得．
导函数，
当时，恒成立，则在上单调递增；
当时，由，得，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减．
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，函数在上单调递增．
设切点为，则，即．
所以，，
则，
设，则，
当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以，所以的值域为，
故的取值范围为．
17.证明：因为底面为直角梯形，且，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
过点可以作于点，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
又，，平面，
所以平面．
由可知平面，平面，所以，
在梯形中，由，
得∽，
所以：：：：，
所以，
所以，
又因为，，，平面，
所以平面，
又平面，所以，
所以∽，
可得，
又因为，
所以，即．
以为坐标原点，，，方向分别为轴，轴，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，设，
，，，，，
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，则，
点到平面的距离为，
解得，
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，则，
设与平面所成角为，
则，
即与平面所成角的正弦值为．
18.根据题意，设甲同学做对试题为事件，甲同学做对试题为事件，
则，而，
则，
根据题意，，，，
则，
又，所以，
故；
根据题意，，
甲、乙两名同学做对试题的题数之和为，则可取的值为：，，，，
，
，
，
，
可得的分布列为
数学期望．
19.因为椭圆的离心率，
所以．
因为椭圆的一个焦点为，
所以，
解得，
则；
由知，
因为的内心在垂直于轴的一条直线上，
所以．
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，
又，
所以，
即，
因为，
所以，
当时，过点，不符合题意；
所以；
证明：由知直线的方程为，
此时，
又，
所以，
因为到直线的距离，
所以的面积，
解得，
此时满足，
因为，
所以，
，
则，
故．
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