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2024-2025学年四川省广元市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.从甲地去乙地的道路有条，从乙地去丙地的道路有条，则从甲地经乙地去丙地，不同路线的条数是( )
A. B. C. D.
2.已知随机变量服从正态分布，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知事件，，且，，，则( )
A. B. C. D.
4.某机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：
记忆能力
识图能力
由表中数据，求得经验回归方程为，若某儿童记忆能力为，则他的识图能力的预测值为( )
A. B. C. D.
5.设是定义域为的可导函数，若，则( )
A. B. C. D.
6.年月日是第三十个世界读书日将，，，，，，这些数字排成一排组成一个七位数，则不同的七位数有个．
A. B. C. D.
7.若随机变量服从二项分布，则取得最大值时，( )
A. 或 B. C. D.
8.已知是函数的导函数，且则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若越接近时，成对样本数据的线性相关程度越强
B. 回归分析中，残差图中残差比较均匀分布在以取值为的横轴为对称轴的水平带状区域内，且宽度越窄表示拟合效果越好
C. 在列联表中，若每个数据，，，均变成原来的倍，则也变成原来的倍附：，其中
D. 决定系数用以比较两个模型拟合效果，若越小，则模型的拟合效果越好
10.在的展开式中，则( )
A. 各项系数的和是 B. 各二项式系数的和是
C. 含的项的系数是 D. 第项是系数最大的项
11.已知为的导函数，对于，，满足，且，，则下列正确的有( )
A. B. 是奇函数
C. 函数的图象关于点对称 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.随机变量的分布列如下：
则 ______．
13.有台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率为，第台加工的次品率为，加工出来的零件混放在一起，已知第，台车床加工的零件数分别占总数的，，现从加工出来的零件中任取一个零件，已知取到的零件是次品，则它取自第台车床的概率是______．
14.已知不等式恒成立，其中，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求函数的图象在处的切线方程；
若在上有解，求的取值范围．
16.本小题分
已知，
求；
求；
求．
17.本小题分
为了了解高中学生课后自主学习数学时间分钟每天和他们的数学成绩分的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据如下表：
编号
若该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，求关于的回归直线方程参考数据：
基于上述调查，某校提倡学生课后自主学习经过一学期的实施后，抽样调查了位学生按照参与课后自主学习与成绩进步情况得到如下列联表：
成绩没有进步 成绩有进步 合计
参与课后自主学习
未参与课后自主学习
合计
依据的独立性检验，分析“课后自主学习与成绩进步”是否有关．
附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，
，其中．
18.本小题分
已知函数．
求函数的单调区间；
若恒成立，求实数的取值范围；
证明：．
19.本小题分
已知甲乙两个盒中均有个除颜色外完全相同的小球，其中个白球和个红球从甲乙两个盒中各任取一个小球交换，重复进行次操作后，记甲盒中红球的个数为，甲盒中恰有个红球的概率为，恰有个红球的概率为．
求的数学期望；
找出与的关系，并求的通项公式；
证明：．
参考答案
1.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.函数，则，
所以，又，
所以函数的图象在处的切线方程为，即．
由知，，
所以时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
所以，
又在上有解，所以，
即的取值范围是．
16.令，得，
令，得，
所以．
根据该二项式的展开式可知，，
令，得，
．
对两边同时求导，
可得，
令，可得．
17.由题意易得，，
又，
，
所以，，
所以；
由题意有，
所以在犯错概率不超过的前提下，认为“课后自主学习与成绩进步”有关．
18.的定义域为，导函数，
令函数，导函数，
因此时，时，，单调递减，
时，，单调递增，
即的单调递减区间为，单调递增区间为．
由于，恒成立，即，
令函数，导函数，
因此函数在单调递减，单调递增，
，所以．
证明：根据第二问知，所以函数，
要证，即证，
等价于，
又因为，因此，
令函数，导函数，
因此函数在单调递增，在单调递减，
，
即，
即，
故成立．
19.由题意随机变量，，，
甲乙两盒中取红球的概率为，取得白球的概率为，
则，，
，
所以随机变量的分布列如下：
故数学期望．
由全概率公式可得
，
由甲盒中红球的个数为，甲盒中恰有个红球的概率为，
恰有个红球的概率为，
可得，化简可得，
设，即有，
由，解得，
所以，又，
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，
所以，即．
证明：由全概率公式可得
，
，
由甲盒中红球的个数为，甲盒中恰有个红球的概率为，
恰有个红球的概率为，
可得，又，
所以，
可得，又，
故，
则，，
所以．
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