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2024-2025学年安徽省马鞍山市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.已知是虚数单位，复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.如果，是实数，那么“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.已知两个非零向量与的夹角为，我们把数量叫作向量与的叉乘的模，记作，即，若向量，，则( )
A. B. C. D.
5.等差数列的前项和为，公差，，则使的的最大值为( )
A. B. C. D.
6.圆锥的侧面积等于和它等高等底的圆柱的侧面积，则圆锥侧面展开图的圆心角为( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上的所有极值点从小到大依次记为，，，，则( )
A. B. C. D.
8.已知双曲线：的左右焦点分别为，，点在双曲线的渐近线上，且点在第一象限，线段的中点在的左支上，，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中正确的有( )
A. 两个随机变量的线性相关性越强，则样本相关系数就越接近
B. 已知随机变量，若，则
C. 数据，，，，，，，的第百分位数为
D. 若事件，满足，，则
10.已知，则( )
A.
B.
C.
D.
11.已知平面直角坐标系中，动点到点和的距离的乘积为，点的轨迹如图所示，则( )
A. 过点
B. 关于直线和直线均对称
C. 到原点距离的最大值为
D. 直线与相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，且，则实数的取值范围是______．
13.若把满足的正整数组称为“勾股数组”，则在不大于的正整数中，随机选取个不同的数，能组成“勾股数组”的概率为______．
14.已知实数，满足，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知中，角，，的对边分别为，，当时，函数取得最大值．
求角的大小；
若边上中线，求面积的最大值．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形平面，，分别是，的中点．
证明：平面平面；
若平面与平面夹角的余弦值为，求点到平面的距离．
17.本小题分
已知，．
曲线与直线相切，求的值；
若有两个零点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知抛物线：的焦点到椭圆右焦点的距离等于椭圆长半轴长．
求抛物线方程；
过点作抛物线的两条切线，切点分别为，在的右侧，点为线段上的动点不含端点，过作抛物线的另一条切线，切点为，直线与交于点求证：为定值，并求定值．
19.本小题分
在某项趣味篮球游戏中，每个参与者投篮若干次，根据投篮情况获取相应积分，得分规则如下：第一次投篮，投中得分，未投中得分；从第二次投篮开始，投中得上一次所得分数的倍，未投中得分已知甲每次投篮投中的概率均为，且每次投篮结果互不影响．
求甲投篮次得分总和为分的概率；
记甲第次投篮的得分为，甲投次篮的得分总和为．
求，，，并写出时，与的关系式不需证明；
已知结论：，为两个随机变量，则，利用这个结论求．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.根据题意可知，函数，
因为，所以，
则，即时，取得最大值，则；
因为为边的中线，则，
则，
则，
即，当且仅当时等号成立，
所以，
则面积的最大值为．
16.证明：连接交于点，连接，
在正方形中，为的中点，
为的中点，，
又平面，平面，
又平面，平面平面．
解：以为原点，以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，则，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则，令，得，
平面的一个法向量为，
，，解得，
，，，
点到平面的距离为．
17.由题意可得，，，
设切点为，
则，则，
又，所以，
则，即，
设，，
则，
因为函数在上单调递减，
所以函数在上单调递减，又
则时，；时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，则．
由，，则，
当时，，则在单调递增，至多有一个零点，不符合题意；
当时，，
令，解得；令，解得，
故在上单调递减，在上单调递增，
要使有两个零点，则，
解得，
而，，
当时，令，
则，所以函数在上单调递增，
故，则，
所以，，
在与上分别存在唯一零点．
综上所述，实数的取值范围为．
18.易知抛物线的焦点为，
因为椭圆的方程为，
所以，
所以椭圆的右焦点为，长半轴长为，
因为抛物线：的焦点到椭圆右焦点的距离等于椭圆长半轴长，
所以，
解得，
则抛物线方程为；
证明：设过点与抛物线相切的直线方程为，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
所以，
解得，
则，，
所以直线的方程为，直线的方程为，
设直线的方程为，，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得或舍去，
所以，
解得，
则，直线的方程为．
联立，
解得，
即，
则．
故为定值，定值为．
19.设事件“甲投篮次得分总和为分”，所以；
由题易知学生甲第次投篮得分、分的概率分别为，，
根据期望公式可得，
甲第次投篮得分、分、分的概率分别为，，，
根据期望公式可得，
甲第次投篮得分、分、分、分的概率分别为，，，，
根据期望公式可得，
易知，，
当时，假设第次投篮甲的得分的期望为，
由题易知第次投中所得分数为，概率为，没投中所得分数为，概率为，
于是甲第次投篮所得分数的期望为，
即，，；
(ⅱ)由(ⅰ)可知，所以可得数列是一个以为首项，为公比的等比数列，
根据等比数列的通项公式可以得到，整理得到，
总得分，由，得，
所以．
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