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2024-2025学年甘肃省武威市凉州区高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知事件，，且，则等于( )
A. B. C. D.
2.设，随机变量的分布列为
则( )
A. B. C. D.
3.两个事件，相互独立，则( )
A. B.
C. D.
4.设随机变量服从二项分布，则等于( )
A. B. C. D.
5.甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则( )
A. 两人都中靶的概率为 B. 两人都不中靶的概率为
C. 恰有一人中靶的概率为 D. 至少一人中靶的概率为
6.已知随机变量，则( )
A. B. C. D.
7.对甲、乙两组数据进行统计，获得以下散点图左图为甲，右图为乙，下列结论不正确的是( )
A. 甲、乙两组数据都呈线性相关 B. 乙组数据的相关程度比甲强
C. 乙组数据的相关系数比甲大 D. 乙组数据的相关系数的绝对值更接近
8.某批产品来自，两条生产线，生产线占，次品率为；生产线占，次品率为，现随机抽取一件进行检测，则抽到次品的概率是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有( )
A.
B. 向量与的夹角的余弦值为
C. 点关于轴的对称点坐标为
D. 直线的一个方向向量
10.某企业生产的个产品中有个一等品，个二等品，现从这批产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为( )
A. B. C. D.
11.下列说法中正确的是( )
A. 回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点
B. 用决定系数刻画回归效果时，越接近，说明模型的拟合效果越好
C. 将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大
D. 基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知服从参数为的两点分布，则 ______．
13.在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为______．
14.根据下表所示的样本数据，用最小二乘法求得线性回归方程为，则回归系数的值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
袋中有大小相同，质地均匀的个白球，个黑球，从中任取个球，设取到白球的个数为．
求随机变量的分布列；
求随机变量的数学期望和方差．
16.本小题分
某城市统计该地区人口流动情况，随机抽取了人了解他们端午节是否回老家，得到如下不完整的列联表：
回老家 不回老家 总计
周岁及以下
周岁以上
总计
完成以上列联表；
根据小概率值的独立性检验，能否认为回老家过节与年龄有关？
参考公式：，．
参考数据：
17.本小题分
在一条生产铜棒的生产线上，生产的成品铜棒的直径为单位：，以下同，且．
分别写出，的值；
若生产这样的成品铜棒根，试估计直径在内的铜棒根数；
若质检员从这些铜棒中随机抽取根铜棒，求这根铜棒的直径在内的概率．
参考数据：若，则，，．
18.本小题分
正方体的棱长为，，分别为，中点，G.
求证：平面；
Ⅱ求平面与平面夹角的余弦值；
Ⅲ求三棱锥的体积．
19.本小题分
近年来，新能源产业蓬勃发展，已成为一大支柱产业据统计，某市一家新能源企业近个月的产值如表：
月份 月 月 月 月 月
月份代码
产值亿元
根据上表数据，计算与间的线性相关系数，并说明与的线性相关性的强弱；结果保留三位小数，若，则认为与线性相关性很强；若，则认为与线性相关性不强
求出关于的线性回归方程，并预测明年月份该企业的产值．
参考公式：
参考数据：
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.的可能取值为、、，
则，
，
，
随机变量的分布列为：
，
．
16.根据题目所给数据得到如下的列联表：
回老家 不回老家 总计
周岁及以下
周岁以上
总计
零假设为：回老家过节与年龄无关，
，
所以根据小概率值的独立性检验，假设不成立，
则可以认为回老家过节与年龄有关．
17.根据题意可知，，
则，；
，
因，则直径在内概率约为，
则直径在内的铜棒根数为；
，
因，，
则，
，
则．
18.证明：如图，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
由已知得，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，即，
所以，
所以面．
Ⅱ由得，
设平面的法向量为，
则，即，
取，则，
所以，
故平面与平面夹角的余弦值为．
Ⅲ在中，因为，，，
所以，即，
所以，
又，
则点到平面的距离为，
所以三棱锥的体积为．
19.解：，，
所以，
因为，
故与线性相关性很强．
由题意可得，，
所以，
所以关于的线性回归方程为，
当时，，
故明年月份该企业的产值约为亿元
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