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2024-2025 学年陕西省咸阳市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | ≥ 2}， = { 1,0,1,2,3}，则 ∩ =( )
A. {2,3} B. {3} C. (1,2] D. (1,3]
2.设 为虚数单位，若复数 = ( 5)( + 1) + ( + 1) 为纯虚数，则实数 的值为( )
A. 1 B. 5 C. 5 D. 1 或 5
3.为了得到函数 = 2 的图象，只需把余弦曲线 = 上所有的点( )
A. 1横坐标缩短到原来的2，纵坐标不变 B.横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变
C. 1纵坐标缩短到原来的2，横坐标不变 D.纵坐标伸长到原来的 2 倍，横坐标不变
4.已知 ( )是定义在 上的偶函数，当 ≥ 0 时， ( ) = 2 + + 5，则 ( 1) =( )
A. 7 B. 7 C. 5 D. 5
5.2025 年 1 月西藏定日发生 6.8 级地震，已知 (里氏震级)的计算公式为 = 0(其中 是被测地
震最大振幅，常数 0是“标准地震”的振幅)，5 级地震给人的震感已比较明显，则定日这次地震的最大振
幅大约是 5 级地震最大振幅的( )倍. (参考数据：101.8 ≈ 63)
A. 1.8 B. 18 C. 63 D. 128
6. 、 是平面 外的两条直线，在 // 的前提下， // 是 // 的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.已知函数 ( ) = + ， ( ) = ln + ， ( ) = ln 1 的零点依次为 ， ， ，则 ( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
8.在△ 中， = 1 ( + )， + + = 0，且| | = 3，| | = 4，则 2 的值为( )
A. 2 B. 3 C. 2 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 = 1+5 .若复数 1+ ( 是虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为 2 B. 的模为 13
C. 的共轭复数为 3 2 D. 在复平面内对应的点位于第三象限
10.下列四个命题为真命题的是( )
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A.已知非零向量 ， ， ，若 // ， // ，则 //
B.若四边形 中有 = 2 ，则 与 共线
C.已知 2 = ( 2,3)， 2 = (4, 6)， 1， 2可以作为平面向量的一组基底
D.已知向量 = (2,4)， = ( 1,2) 6 12，则向量 在向量 上的投影向量为( 5 , 5 )
11.如图是棱长为 2 的正方体的平面展开图，其中 是 的中点，在这个正方体中，下列结论正确的是( )
A. 与 平行
B. ⊥
C.直线 、 、 中，任意两条都是异面直线
D.过 ， ， 三点的平面截该正方体所得截面的面积为 2 6
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.将一枚质地均匀的六面体骰子抛掷一次，则出现“正面向上的点数小于 3”的概率是______．
13 1.已知向量 = (1,3)， = ( , )， > 0，若 与 共线，则3 + 的最小值为______．
14.底面半径为 24 ，高为 60 的圆柱形木桶(木桶的厚度忽略不计)中装满水，现将一个半径为 12 的
实心铁球放入木桶中使球完全浸没，然后拿出铁球(沾在铁球与手上的水忽略不计)，则此时水面的高度为
______ ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 2 + 2 2 = 0．
(1)求角 ；
(2)若 = 5， = 210，求 ．
16.(本小题 15 分)
1
已知平面向量 = (1,2)， = ( 1, )， = (sin( + 3 ), 2 )．
(1)若 ⊥ ，求实数 的值；
(2)当 ∈ [0, 2 ]时，求 ( ) = 的最大值和最小值．
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17.(本小题 15 分)
某果园试种了 ， 两个品种的桃树各 10 棵，并在桃树成熟挂果后统计了这 20 棵桃树的产量如下表，记 ，

两个品种各 10 棵的产量的平均数分别为 和 ，方差分别为 21和 22．
(单位： ) 60 50 40 60 70 80 80 80 90 90
(单位： ) 40 60 60 80 80 50 80 80 70 100
(1)求 品种的 10 棵桃树产量的第 80 百分位数；

(2)求 ， ， 21， 22；
(3)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适，并说明理由．
18.(本小题 17 分)
如图，四棱锥 的底面 为正方形， ⊥底面 ， 、 分别是 、 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求证：平面 ⊥平面 ；
(3)若 = ，求二面角 的大小．
19.(本小题 17 分)
某射击队举行一次娱乐活动，该活动分为两阶段，第一阶段是选拔阶段，甲、乙两位运动员各射击 100 次，
所得成绩中位数大的运动员参加下一阶段，第二阶段是游戏阶段，游戏规则如下：
①有两次游戏机会．
②依次参加 、 游戏．
③若一个游戏胜利，则可以参加下一个游戏；若游戏失败，则继续进行该游戏．
④参加 游戏，则每次胜利可以获得奖金 100 元；参加 游戏，则每次胜利可以获得奖金 200 元；不管参加
哪一个游戏，失败均无奖金．
1 1
已知甲参加每一个游戏获胜的概率都是2，乙参加每一个游戏获胜的概率都是3，第一阶段甲、乙两位运动
员射击所得成绩的频率分布直方图如下：
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(1)甲、乙两位运动员谁参加第二阶段游戏？并说明理由；
(2)在(1)的基础上，解答下列两问：
(ⅰ)求该运动员不能参加 游戏的概率；
(ⅱ)已知两次游戏结束后有三种不同的奖金额，分别为 1 = 0 元、 2 = 100 元、 3 = 300 元，记 为获得

元奖金对应的概率.定义：最终获得奖金的期望为 = =1 ，求 ( = 1,2,3)以及该运动员最终获得奖
金的期望．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.13
13.2
14.56
15.(1)因为 2 + 2 2 = 0，即 2 + 2 2 = ，
由余弦定理可得 2 + 2 2 = 2 ，
可得 = 12，
而 ∈ (0, )，

所以 = 3；
(2) 3因为 = 3，所以 = 2 ， = 5， =
2
10，
所以 = 7 210 ，

根据正弦定理 = ，
5
所以 7 2 = 3，
10 2
= 7 6所以 3 ．
16.(1)因为平面向量 = (1,2)， = ( 1, )， ⊥ ，
则 = 0，
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则 1+ 2 = 0，
1
解得 = 3．
(2)由题意可得： ( ) = = sin( + 1 33 ) + = 2 + 2 + =
3
2 +
3
2 = 3sin( +

6 )，
因为 0 ≤ ≤ 2，
≤ + ≤ 2 则6 6 3，
故 ( ) ∈ [ 32 , 3]，
3
即 ( )的最大值为 3，最小值为 2 ．
17.(1)由题意将 品种的 10 棵桃树产量从小到大排列为：40，50，60，60，70，80，80，80，90，90；
80+90
且 10 × 80% = 8，则第 80 百分位数为第 8 位和第 9 位数的平均数，即为 2 = 85；

(2) 60×2+50+40+70+80×3+90×2由题意可得 品种的平均数为 = 10 = 70，
方差为 21 =
1
10 [(60 70)
2 × 2 + (50 70)2 + (40 70)2 + (70 70)2 + (80 70)2 × 3+ (90 70)2 ×
2] = 260；

= 60×2+50+40+70+80×4+100品种的平均数为 10 = 70，
2 = 1方差为 2 10 [(60 70)
2 × 2 + (50 70)2 + (40 70)2 + (70 70)2 + (80 70)2 × 4+ (100 70)2] =
280；

(3)种植 品种，因为 = = 70，但是 2 21 = 260 < 2 = 280，所以 品种产量较稳定．
18.(1)证明：如图，连接 ，则 是 的中点，
又因为 是 的中点，所以 // ．
因为 平面 ， 平面 ，
所以 //平面 ．
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(2)证明：因为 是正方形，所以 ⊥ ，
因为 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
又 平面 ，
故平面 ⊥平面 ．
(3)因为 ⊥底面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ， 平面 ，故 CD⊥ ，
所以∠ 为二面角 的平面角，
因为 = ，所以 = ，
故∠ = 45°．
19.(1)0.005 × 10 + 0.005 × 10 + 0.02 × 10 = 0.3 < 0.5，
0.005 × 10 + 0.005 × 10 + 0.02 × 10 + 0.045 × 10 = 0.75 > 0.5，所以甲得分的中位数位于(80,90)；
由乙的频率分布直方图可得 0.01 × 10 + 0.015 × 10 = 0.25 < 0.5，
0.01 × 10 + 0.015 × 10 + 0.035 × 10 = 0.6 > 0.5，所以乙得分的中位数位于(70,80)，
因为甲得分的中位数大于乙得分的中位数，所以甲进入第二阶段．

(2)( )设事件 = {参与 游戏胜利}，所以其对立事件 = {参与 游戏失败}
1 1
由题意可得 ( ) = ( ) = 2，所以不能参加 游戏的概率 = ( ) ( ) + ( ) ( ) = 2；

( )设事件 = {参与 游戏胜利}，所以其对立事件 = {参与 游戏失败}

( ) = ( ) = 12，所以 1 = ( ) ( ) =
1
4，

2 = ( ) ( ) + ( ) ( ) =
1
2， 3 = ( ) ( ) =
1
4，
所以 = 0 × 14 + 100 ×
1
2 + 300 ×
1
4 = 0 + 50 + 75 = 125(元)．
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