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2024-2025 学年湖南省衡阳市衡阳县一中高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | 3( 1) > 0}, = { |3 < 9}，则( )
A. = B. C. ∪ = D. ∩ =
2.已知命题 ： > 1， 2 1 > 0，那么 是( )
A. > 1， 2 1 > 0 B. > 1， 2 1 ≤ 0
C. > 1， 2 1 ≤ 0 D. ≤ 1， 2 1 ≤ 0
3.下列命题是假命题的是( )
A.若 > > 0 > > ，则 > B.若 2 > 2，则 >
C.若 > > 0 且 < 0，则 2 > 2 D.若 >
1 > 1且 ，则 < 0
4.已知 > 0， > 0，则( )
A. 2 + 2 > 2 B. 1+ 1 ≥ 1 1 1 2 C. + > D. + ≤
5 ( ) = (3 ) + 2, ≥ 2.已知函数 , < 2 ，则“1 < < 3”是“ ( )在 上单调递增”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
6.函数 ( ) = + 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信道容量和信噪比及信道带宽

的关系，即 = 2(1 + )，其中 是信道容量，单位 ； 为信道带宽，单位 ； 代表接收信号的
信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频( )技术，通过每秒切换数千次频率将信道带宽由
5 扩展至 100 ，为了将敌方干扰效率降低 90%以上，需将信道容量由 17.3 提高至 593 ，
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依据香农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的( )倍．
(参考数据：23.46 ≈ 11，25.93 ≈ 60.97)
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
8.已知 ( )是定义在 上的奇函数，当 1， 2 ∈ (0, + ∞)
2 ( 1) 1 ( 2)时，都有 > 0 成立， (2025) = 2025，1 2( 1 2)
则不等式 ( ) > 0 的解集为( )
A. ( ∞, 2025) ∪ (2025, + ∞) B. ( 2025,0) ∪ (2025, + ∞)
C. ( 2025,2025) D. ( 12025 ,
1
2025 )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 > 0， > 0 1 + 2， = 1，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 8 B. + 的最小值为 3 + 2 2
C. 2 + 2的最小值为 16 D. 1 2 1+ 2的最小值为 2

10 3 1.已知函数 ( ) = 3 +1，则下列结论正确的是( )
A.函数 ( )的定义域为 B.函数 ( )的值域为( 1,1)
C.函数 ( )的图象关于 轴对称 D.函数 ( )在( ∞, + ∞)上单调递增
11.设函数 ( )的定义域为 ，满足 ( 1 + ) = ( 1 )， (1 + ) = (1 ).当 ∈ ( 1,1]时， ( ) =
2 + 1，则下列结论正确的是( )
A. ( 7 32 ) = 4
B. ( )在(6,8)上为减函数
C. ( + 7)为奇函数
D.方程 ( ) + = 0 有且仅有 6 个实数解
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若两个正实数 ， 1 4满足 2 + = 2，且不等式 > 3 有解，则实数 的取值范围是______．
13 .已知函数 ( ) = 2 2 3, ( ) = ，其中 > 0.对任意的 1 ∈ [ 2, 1]，存在 2 ∈ [1,2]，使得
( 1) > ( 2)，则实数 的取值范围为______．
+2
14 | 1|, ≤ 0,.已知函数 ( ) = 若方程[ ( )]2 = 2 ( ) 2 + 3 有且仅有 5 个不同实数根，则实数
+ 1, > 0,
的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题 13 分)
已知集合 = { | 1 < < 5}， = { | < < 2 1}， = { | 2 5 + 6 2 = 0}．
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
1
已知函数 ( ) = 1 + ( ) 2 ．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)解方程 ( ) = (2)．
17.(本小题 15 分)
2022 年冬天新冠疫情卷土重来，我国大量城市和地区遭受了奥密克戎新冠病毒的袭击，为了控制疫情，某
单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒，已知在一定范围内，每喷洒 1 个单位的消毒剂，空气中
16
释放的浓度 (单位：毫克/立方米)随着时间 (单位：小时)变化的关系如下：当 0 ≤ ≤ 4 时， = 8 1；
当 4 < ≤ 10 1时， = 5 2 .若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的消毒剂在相应时
刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于 4(毫克/立方米)时，它才能起到杀灭空气中
的病毒的作用．
(1)若一次喷洒 4 个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？
(2)若第一次喷洒 2 个单位的消毒剂，6 小时后再喷洒 (1 ≤ ≤ 4)个单位的消毒剂，要使接下来的 4 小时
中能够持续有效消毒，试求 的最小值. (精确到 0.1，参考数据： 2取 1.4)
18.(本小题 17 分)
已知 ( ) = 1 2 24 +1为奇函数， ( ) = 2 + ．
(1)求实数 的值；
(2)求函数 ( )的值域；
(3)若函数 ( ( ))有两个零点，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
在数学中，双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数 ( ) =
+
2 和双曲余弦函数 ( ) = 2 双曲函数是工程数学中一类重要的函数，然而它也是一类重要的初
( ) = ( ) = ( ) = ( ) =
+
等函数，令 2 ， 2 ．
(1)证明： (2 ) = 2[ ( )]2 + 1 = 2[ ( )]2 1；
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(2)求不等式 2 (2 ) ( ) > 3 的解集；
(3)若 [ ( )]2 ≥ (1 2 ) ( ) + 1 11 恒成立，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.( 1,4)
13.( 43 , + ∞)
14.( 3, 3 + 1)
15.(1)当 = 时， ≥ 2 1，
解得 ≤ 1，
2 1 >
当 ≠ 时，则 ≥ 1 ，
2 1 ≤ 5
解得 1 < ≤ 3，
综上所述，实数 的取值范围为{ | ≤ 3}；
(2) = { | 1 < < 5}， = { |( 2 )( 3 ) = 0}，
若 > 0，则 2 ≥ 5，
解得 ≥ 52，
若 < 0，则 2 ≤ 1，
解得 ≤ 12，
若 = 0，不符合题意，
5 1
综上所述， 的取值范围为{ | ≥ 2或 ≤ 2 }.
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16.(1) 1由题意知，函数 ( ) = 1 + ( ) log2 的定义域为(0, + ∞)，
在等式 ( ) = 1 + ( 1 ) log2 中，
1 ( 1 ) = 1 + ( ) log 1用 替代 ，得 2 = 1 ( ) log2 ，
( ) = 1 + ( 1 ) 2 1+ 所以 ，解得 ( ) = 2 2，
( 1 ) = 1 ( )
1+( 2 )
2
(2)因为log22 = 1
1+1
，所以 (2) = 1+12 = 1，
所以方程 ( ) = (2) 1+ 可化为 2 1+( )2 = 1，2
整理得log2 (1 log2 ) = 0，即log2 = 0 或log2 = 1，解得 = 1 或 = 2．
17.解：(1)因为一次喷洒 4 个单位的净化剂，
64
所以其浓度为 ( ) = 4 = 8 4,0 ≤ ≤ 4 ，
20 2 , 4 < ≤ 10
当 0 ≤ ≤ 4 64时，8 4 ≥ 4，解得 ≥ 0，此时 0 ≤ ≤ 4，
当 4 < ≤ 10 时，20 2 ≥ 4，解得 ≤ 8，此时 4 < ≤ 8，
综上 0 ≤ ≤ 8，
所以若一次喷洒 4 个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达 8 小时；
(2)设从第一次喷洒起，经 (6 ≤ ≤ 10)小时后，
其浓度为 ( ) = 2(5 12 ) + (
16
8 ( 6) 1) = 10 +
16
14 = 14 +
16
14 4，
因为 14 ∈ [4,8]， ∈ [1,4]，
16
所以 14 + 14 4 ≥ 2 (14 )
16
14 4 = 8 4，
当且仅当 14 = 16 14 ，即 = 14 4 时，等号成立；
所以其最小值为 8 4，
由 8 4 ≥ 4，解得 24 16 2 ≤ ≤ 4，
所以 的最小值为 24 16 2 ≈ 1.6．
18.(1)根据题意，函数 ( )定义域为 ，

因为 ( )为奇函数，所以 (0) = 0，即 1 40+1 = 0, = 2，

( ) = 1 2 = 4 1 4
1 1 4
可得 4 +1 4 +1， ( ) = 4 +1 = 1+4 = ( )，满足条件，
综上所述，实数 的值为 2；
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(2) 1根据4 > 0，可得4 + 1 > 1，所以 0 < 4 +1 < 1，
2 2
可得 0 < 4 +1 < 2， ( ) = 1 4 +1 ∈ ( 1,1)，即函数 ( )的值域为( 1,1)；
(3)根据 = 4 + 1 为 上的增函数，值域为(1, + ∞)，
可得 ( ) = 1 24 +1为 上的增函数，
令 ( ) = ，则 ( ) = 0，由(2)可得 ∈ ( 1,1)时， ( ) = 仅一根，
所以 ( )有两个零点，即 2 2 + 2 = 0 在( 1,1)上有两个不相等的实数根，
= 4 + 8 > 0

2
4 ∈ ( 1,1)可得 ，解得 0 < < 1，所以 ∈ (0,1)．
( 1) = 2 2 > 0
(1) = 2 + 2 > 0

19.(1)证明：因为 ( ) = ( ) = + 2 ， ( ) = ( ) =

2 ，
2 2
所以 (2 ) = + 2 ，
2 2
2[ ( )]2 + 1 = 2 × 2+ + 1 =
2 + 2
4 2 ，
2 2 2 2
2[ ( )]2 1 = 2 × +2+ 4 1 =
+
2 ，
所以 (2 ) = 2[ ( )]2 + 1 = 2[ ( )]2 1；
(2)因为 2 (2 ) ( ) > 3，
由(1)可知 (2 ) = 2[ ( )]2 1，
所以 2{2[ ( )]2 1} ( ) > 3，
即 4[ ( )]2 ( ) 5 > 0，
即[ ( ) + 1][4 ( ) 5] > 0，
所以 ( ) < 1 或 ( ) > 54，
+ 2
又因为 ( ) = 2 ≥ 2 = 1，
当且仅当 = ，即 = 0 时，等号成立，
5 + 5
所以 ( ) > 4，即 2 > 4，
5
所以 + > 2，
即 2 2 5 + 2 > 0，
所以(2 1)( 2) > 0，
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所以 < 12或
> 2，
所以 < 2 或 > 2，
所以原不等式的解集为( ∞, 2) ∪ ( 2, + ∞)；
(3)因为 [ ( )]2 ≥ (1 2 ) ( ) + 1 11 ，
所以 [ 2( ) 1] ≥ (1 2 )) ( ) + 1 11 ，
即 [ 2( ) + 2 ( ) + 10] ≥ ( ) + 1，
且[ 2( ) + 2 ( ) + 10] > 0 恒成立，
( )+1 ( )+1
所以 ≥ 2( )+2 ( )+10，即 ≥ [ ( )+1]2+9，
( )+1 1 1 1
又因为[ ( )+1]2+9 = ≤ = ， ( )+1+ 9 2 9 6 ( )+1
9
当且仅当 ( ) + 1 = ( )+1，即 ( ) = 2 时取等号．
≥ 1所以 6，
1
所以满足条件的 的取值范围为[ 6 , + ∞)．
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