资源简介

6.2.1　排列(概念课逐点理清式教学)
课时目标
1.通过实例理解排列的概念;2.能应用排列知识解决简单的实际问题.
逐点清(一)　排列的概念
[多维度理解]
(1)一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,并按照　　　　　　排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)两个排列相同的充要条件是:两个排列的元素　　　　　,且元素的　　　　　也相同.
(3)解决排列问题时,可用　　　　　　　　、　　　　　列举.
微点助解
(1)排列问题中的元素特征:
①无重复性:从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素,否则不是排列问题.
②有序性:安排这m个元素时是有顺序的,有序的就是排列,无序的不是排列.
(2)判断一个问题是否为排列问题,主要从“取”与“排”两方面考虑:
①“取”,检验取出的m个元素是否重复;
②“排”,检验取出的m个元素是否有顺序性,其关键方法是,交换两个位置看其结果是否有变化,有变化就是有顺序,无变化就是无顺序.
[细微点练明]
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)在一个排列中,若交换两个元素的位置,则该排列不发生变化. (　　)
(2)在一个排列中,同一个元素不能重复出现. (　　)
(3)从1,2,3,4中任选两个元素,就组成一个排列. (　　)
(4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题. (　　)
2.从1,2,3,4四个数字中,任选两个数做加、减、乘、除运算,分别计算它们的结果,其中可以看作排列问题的运算有 (　　)
A.1种 B.2种
C.3种 D.4种
3.判断下列问题是否为排列问题.
(1)北京、上海、天津3个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设往返的票价相同);
(2)选2个小组分别去植树和种菜;
(3)选2个小组去种菜;
(4)选10个人组成一个学习小组;
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员.
逐点清(二)　画树状图列举排列
[多维度理解]
利用“树状图”法解决简单排列问题
(1)适用范围:“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时,是一种比较有效的表示方式.
(2)策略:在操作中先将元素按一定顺序排出,然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类,再安排第二个元素,并按此元素分类,依次进行,直到完成一个排列,这样能做到不重不漏,然后再按树状图写出排列.
[细微点练明]
1.A,B,C三名同学照相留念,成“一”字形排队,所有排列的方法有 (　　)
A.3种 B.4种
C.6种 D.12种
2.由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1,且恰有三个相同数字的四位数有 (　　)
A.9个 B.12个
C.15个 D.18个
3.从甲、乙等5人中选3人排成一列,则甲不在排头的排法种数有 (　　)
A.12 B.24
C.36 D.48
逐点清(三)　排列的简单应用
[典例]　(1)一张餐桌上有5盘不同的菜,甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜,共有多少种不同的取法
(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜,甲、乙、丙3名同学每人从中选一种,共有多少种不同的选法
听课记录:
[思维建模]
(1)利用完成一件事是否与“顺序”有关来判定该问题是否为排列问题.
(2)利用树状图或计数原理求出排列总数.
　
　[针对训练]
1.有4名大学生可以到5家单位实习,若每家单位至多招1名实习生,每名大学生至多到1家单位实习,且这4名大学生全部被分配完毕,则分配方案的个数为　　　　.
2.用具体数字表示下列问题.
(1)从100个两两互质的数中取出2个数,其商的个数;
(2)由0,1,2,3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数.
6.2.1　排列
[逐点清(一)]
[多维度理解]　(1)一定的顺序　(2)完全相同　排列顺序　(3)树状图法　列表法
[细微点练明]
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.选B　因为加法和乘法满足交换律,所以选出两个数做加法和乘法时,结果与两数字位置无关,故不是排列问题.而减法、除法与两数字的位置有关,故是排列问题.故共有2种,故选B.
3.解:(1)中票价只有3种,虽然机票是不同的,但票价是一样的,不存在顺序问题,所以不是排列问题.
(2)植树和种菜是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
(3)(4)不存在顺序问题,不属于排列问题.
(5)中每个人的职务不同,例如甲当班长或当学习委员是不同的,存在顺序问题,属于排列问题.
[逐点清(二)]
1.选C　所有的排法有A—B—C,A—C—B,B—A—C,B—C—A,C—A—B,C—B—A,共6种.
2.选B　首位数字是1,且恰有三个相同的数字,用树状图表示为
由此可知共有12个.故选B.
3.选D　记另外3人为丙、丁、戊,则甲不在排头的排法有:
(1)不选甲:
(2)选甲:
所以共有48种不同的排法.故选D.
[逐点清(三)]
[典例]　解:(1)可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲,然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙,最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理,不同的取法种数为5×4×3=60.
(2)可以先让同学甲从5种菜中选1种,有5种选法;再让同学乙从5种菜中选1种,也有5种选法;最后让同学丙从5种菜中选1种,同样有5种选法.按分步乘法计数原理,不同的选法种数为5×5×5=125.
[针对训练]
1.解析:可以理解为从5家单位中选出4家单位,分别把4名大学生安排到4家单位,共有5×4×3×2=120(个)分配方案.
答案:120
2.解:(1)从100个两两互质的数中取出2个数,分别作为商的分子和分母,其商共有100×99=9 900(个).
(2)因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除,所以这个四位数的个位数字一定是“0”,故确定此四位数,只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可,共有3×2×1=6(个).
2 / 2(共43张PPT)
6.2.1
排列
(概念课——逐点理清式教学)
课时目标
1.通过实例理解排列的概念；
2.能应用排列知识解决简单的实际问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一)　排列的概念
逐点清(二)　画树状图列举排列
逐点清(三)　排列的简单应用
4
课时跟踪检测
逐点清(一)　排列的概念
01
多维度理解
(1)一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照___________排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
(2)两个排列相同的充要条件是：两个排列的元素__________，且元素的__________也相同.
(3)解决排列问题时，可用__________、_________列举.
一定的顺序
完全相同
排列顺序
树状图法
列表法
微点助解
(1)排列问题中的元素特征：
①无重复性：从n个不同元素中取出m(m≤n)个不同的元素，否则不是排列问题.
②有序性：安排这m个元素时是有顺序的，有序的就是排列，无序的不是排列.
(2)判断一个问题是否为排列问题，主要从“取”与“排”两方面考虑：
①“取”，检验取出的m个元素是否重复；
②“排”，检验取出的m个元素是否有顺序性，其关键方法是，交换两个位置看其结果是否有变化，有变化就是有顺序，无变化就是无顺序.
细微点练明
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)在一个排列中，若交换两个元素的位置，则该排列不发生变化. (　　)
(2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现. (　　)
(3)从1，2，3，4中任选两个元素，就组成一个排列. (　　)
(4)从5个同学中任选2个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问题. (　　)
×　
√　
×　
√
2.从1，2，3，4四个数字中，任选两个数做加、减、乘、除运算，分别计算它们的结果，其中可以看作排列问题的运算有 (　　)
A.1种 B.2种
C.3种 D.4种
解析：因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题.而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题.故共有2种，故选B.
√
3.判断下列问题是否为排列问题.
(1)北京、上海、天津3个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设往返的票价相同)；
解：中票价只有3种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题.
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
解：植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
(3)选2个小组去种菜；
解：不存在顺序问题，不属于排列问题.
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员.
解：中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题.
逐点清(二)　画树状图列举排列
02
多维度理解
利用“树状图”法解决简单排列问题
(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式.
(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列.
细微点练明
1.A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法有 (　　)
A.3种 B.4种
C.6种 D.12种
解析：所有的排法有A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A，共6种.
√
2.由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数有 (　　)
A.9个 B.12个
C.15个 D.18个
解析：首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树状图表示为
√
由此可知共有12个.故选B.
3.从甲、乙等5人中选3人排成一列，则甲不在排头的排法种数有 (　　)
A.12 B.24
C.36 D.48
√
解析：记另外3人为丙、丁、戊，则甲不在排头的排法有：
(1)不选甲：
(2)选甲：
所以共有48种不同的排法.故选D.
逐点清(三)　排列的简单应用
03
[典例]　(1)一张餐桌上有5盘不同的菜，甲、乙、丙3名同学每人从中各取1盘菜，共有多少种不同的取法
解：可以先从这5盘菜中取1盘给同学甲，然后从剩下的4盘菜中取1盘给同学乙，最后从剩下的3盘菜中取1盘给同学丙.按分步乘法计数原理，不同的取法种数为5×4×3=60.
(2)学校食堂的一个窗口共卖5种菜，甲、乙、丙3名同学每人从中选一种，共有多少种不同的选法
解：可以先让同学甲从5种菜中选1种，有5种选法；再让同学乙从5种菜中选1种，也有5种选法；最后让同学丙从5种菜中选1种，同样有5种选法.按分步乘法计数原理，不同的选法种数为5×5×5=125.
[思维建模]
(1)利用完成一件事是否与“顺序”有关来判定该问题是否为排列问题.
(2)利用树状图或计数原理求出排列总数.
针对训练
1.有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，则分配方案的个数为______.
解析：可以理解为从5家单位中选出4家单位，分别把4名大学生安排到4家单位，共有5×4×3×2=120(个)分配方案.
120
2.用具体数字表示下列问题.
(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；
解：从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有100×99=9 900(个).
(2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数.
解：因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有3×2×1=6(个).
课时跟踪检测
04
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2
1.[多选]下列问题是排列问题的是 (　　)
A.由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数
B.从40人中选5人组成篮球队
C.从100人中选2人抽样调查
D.从1，2，3，4，5中选2个数组成点的坐标
解析：选项A、D与顺序有关，是排列问题；选项B、C只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关，不是排列问题.
√
√
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4
2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为 (　　)
A.甲乙，乙甲，甲丙，丙甲
B.甲乙，丙乙，丙甲
C.甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙
D.甲乙，甲丙，乙丙
解析：甲、乙、丙三人中选两人站成一排有排列顺序，所以有6种站法.
√
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3
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2
3.现有3名学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法种数为 (　　)
A.3 B.24
C.34 D.43
解析：3名学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，其选法种数为4×3×2=24.
√
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3
4
2
4.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“2”“4”，则由这四张卡片可组成的不同的四位数的个数为 (　　)
A.6 B.9
C.12 D.24
解析：组成的四位数列举如下：2 024，2 042，2 204，2 240，2 402，2 420，4 022，4 202，4 220，共9个.
√
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3
4
2
5.将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有 (　　)
A.12种 B.18种
C.24种 D.36种
解析：先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3×2×1=6(种)不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，所以共有6×2×1=12(种)不同的排法.
√
1
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11
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13
3
4
2
6.同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有 (　　)
A.6种 B.9种
C.11种 D.23种
√
1
5
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2
解析：法一　设四张贺卡分别为A，B，C，D.由题意知，某人(不妨设为A卡的供卡人)取卡的情况有3种，据此将卡的不同分配方式分为三类，对于每一类，其他人依次取卡分步进行.
用树状图表示，如图.
共有9种不同的分配方式.
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法二　让A，B，C，D四人依次拿一张别人送出的贺年卡，则可以分三步：第1步，A先拿，有3种不同的方法；第2步，让被A拿走的那张贺年卡的主人拿，共有3种不同的取法；第3步，剩下的两个人都各有1种取法.由分步乘法计数原理知，四张贺年卡有3×3×1×1=9(种)不同的分配方式.
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3
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2
7.世界华商大会的某分会场有A，B，C三个展台，将甲、乙、丙、丁4名“双语”志愿者分配到这三个展台，每个展台至少1人，其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为 (　　)
A.12 B.10 C.8 D.6
解析：因为甲、乙两人被分配到同一展台，所以甲与乙捆在一起，看成一个人.然后将3个人分到3个展台进行排列，即有3×2×1=6(种)，所以甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为6.
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8.车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为_____.
解析：由题意可知，本题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3=60(种).
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2
9.一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有____种.
解析：从原来的4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有5×4=20(种)添加方法.
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10.在编号为1，2，3，4的四块土地上分别试种编号为1，2，3，4的四个品种的小麦，但1号地不能种1号小麦，2号地不能种2号小麦，3号地不能种3号小麦，则共有_____种不同的试种方案.
解析：画出树状图，如图所示，
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由树状图可知，共有11种不同的试种方案.
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11.在1，2，3，4的排列a1a2a3a4中，满足a1>a2，a3>a2，a3>a4的排列个数为____.
解析：首先注意a1位置的数比a2位置的数大，可以借助树状图进行筛选.满足a1>a2的树状图是
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其次满足a3>a2的树状图是
再满足a3>a4的排列有2143，3142，3241，4132，4231，共5个.
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2
12.三人互相传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传球后，球仍回到甲手中，共有多少种不同的传球方式
解：记另外两人为乙、丙，若甲第一次把球传
乙，则不同的传球方式有其中经过5次传球后，
球仍回到甲手中的有5种，同理：若甲第一次
把球传给丙也有5种不同的传球方式，所以共
有10种传球方式.
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13.用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，
(1)求各位数字互不相同的三位数有多少个
解：三位数的每位上的数字均为1，2，3，4，5，6其中之一.
第1步，得首位数字，有6种不同结果；
第2步，得十位数字，有5种不同结果；
第3步，得个位数字，有4种不同结果.
故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4=120(个).
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(2)求可以排出多少个不同的三位数
解：三位数，每位上数字均可从1，2，3，4，5，6六个数字中得一个，共有这样的三位数6×6×6=216(个).课时跟踪检测(三)　排列
1.[多选]下列问题是排列问题的是 (　　)
A.由1,2,3三个数字组成无重复数字的三位数
B.从40人中选5人组成篮球队
C.从100人中选2人抽样调查
D.从1,2,3,4,5中选2个数组成点的坐标
2.从甲、乙、丙三人中选两人站成一排的所有站法为 (　　)
A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲
B.甲乙,丙乙,丙甲
C.甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙
D.甲乙,甲丙,乙丙
3.现有3名学生在4本不同的参考书中各挑选1本,不同的选法种数为 (　　)
A.3 B.24
C.34 D.43
4.四张卡片上分别标有数字“2”“0”“2”“4”,则由这四张卡片可组成的不同的四位数的个数为 (　　)
A.6 B.9
C.12 D.24
5.将字母a,a,b,b,c,c排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法共有 (　　)
A.12种 B.18种
C.24种 D.36种
6.同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡,则四张贺年卡不同的分配方式有 (　　)
A.6种 B.9种
C.11种 D.23种
7.世界华商大会的某分会场有A,B,C三个展台,将甲、乙、丙、丁4名“双语”志愿者分配到这三个展台,每个展台至少1人,其中甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为 (　　)
A.12 B.10
C.8 D.6
8.车展期间,某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数,则不同的安排方法种数为　　　　　.
9.一次演出,因临时有变化,拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目,且2个小品节目不相邻,则不同的添加方法共有　　　　种.
10.在编号为1,2,3,4的四块土地上分别试种编号为1,2,3,4的四个品种的小麦,但1号地不能种1号小麦,2号地不能种2号小麦,3号地不能种3号小麦,则共有　　　　种不同的试种方案.
11.在1,2,3,4的排列a1a2a3a4中,满足a1>a2,a3>a2,a3>a4的排列个数为　　　　.
12.三人互相传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传球后,球仍回到甲手中,共有多少种不同的传球方式
13.用一颗骰子连掷三次,投掷出的数字顺序排成一个三位数,
(1)求各位数字互不相同的三位数有多少个
(2)求可以排出多少个不同的三位数
课时跟踪检测(三)
1.选AD　选项A、D与顺序有关,是排列问题;选项B、C只需取出元素即可,与元素的排列顺序无关,不是排列问题.
2.选C　甲、乙、丙三人中选两人站成一排有排列顺序,所以有6种站法.
3.选B　3名学生在4本不同的参考书中各挑选一本,相当于从4个不同元素中选3个的排列,其选法种数为4×3×2=24.
4.选B　组成的四位数列举如下:2 024,2 042,2 204,2 240,2 402,2 420,4 022,4 202,4 220,共9个.
5.选A　先排第一列,因为每列的字母互不相同,因此共有3×2×1=6(种)不同的排法,再排第二列,其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法,第二列第二、三行的字母只有1种排法,所以共有6×2×1=12(种)不同的排法.
6.选B　法一　设四张贺卡分别为A,B,C,D.由题意知,某人(不妨设为A卡的供卡人)取卡的情况有3种,据此将卡的不同分配方式分为三类,对于每一类,其他人依次取卡分步进行.
用树状图表示,如图.
共有9种不同的分配方式.
法二　让A,B,C,D四人依次拿一张别人送出的贺年卡,则可以分三步:第1步,A先拿,有3种不同的方法;第2步,让被A拿走的那张贺年卡的主人拿,共有3种不同的取法;第3步,剩下的两个人都各有1种取法.由分步乘法计数原理知,四张贺年卡有3×3×1×1=9(种)不同的分配方式.
7.选D　因为甲、乙两人被分配到同一展台,所以甲与乙捆在一起,看成一个人.然后将3个人分到3个展台进行排列,即有3×2×1=6(种),所以甲、乙两人被分配到同一展台的不同分法的种数为6.
8.解析:由题意可知,本题为从5个元素中选3个元素的排列问题,所以安排方法有5×4×3=60(种).
答案:60
9.解析:从原来的4个节目形成的5个空中选2个空排列,共有5×4=20(种)添加方法.
答案:20
10.解析:画出树状图,如图所示,
由树状图可知,共有11种不同的试种方案.
答案:11
11.解析:首先注意a1位置的数比a2位置的数大,可以借助树状图进行筛选.满足a1>a2的树状图是
其次满足a3>a2的树状图是
再满足a3>a4的排列有2143,3142,3241,4132,4231,共5个.
答案:5
12.解:记另外两人为乙、丙,若甲第一次把球传给乙,则不同的传球方式有其中经过5次传球后,球仍回到甲手中的有5种,同理:若甲第一次把球传给丙也有5种不同的传球方式,所以共有10种传球方式.
13.解:(1)三位数的每位上的数字均为1,2,3,4,5,6其中之一.
第1步,得首位数字,有6种不同结果;
第2步,得十位数字,有5种不同结果;
第3步,得个位数字,有4种不同结果.
故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4=120(个).
(2)三位数,每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个,共有这样的三位数6×6×6=216(个).
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