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第2课时　排列、排列数的应用(深化课题型研究式教学)
课时目标
进一步学习排列数及排列数公式,掌握几种有限制条件的排列,能应用排列数公式解决简单的实际问题.
题型(一)　特殊元素或特殊位置问题
[例1]　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列,求解下列问题.
(1)甲不在首位的排法有多少种
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种
听课记录:
　　[变式拓展]
1.本例条件不变,甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种
2.本例条件不变,甲不在首位,同时乙不在末位的排法有多少种
　　[思维建模]　特殊元素、特殊位置问题的解题思路
直接法 元素分析法 以元素为主,优先考虑特殊元素
位置分析法 以位置为主,优先考虑特殊位置
间接法 若解题时分类太多,用直接法求解较为麻烦,往往采用间接法
　　
[针对训练]
1.从六人(含甲)中选四人完成四项不同的工作(含翻译),则甲被选中且甲不参加翻译工作的不同选法共有 (　　)
A.120种 B.150种
C.180种 D.210种
2.某班一天上午有4节课,下午有2节课,现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、美术6堂课的课程表,要求数学课不排在下午,体育课不排在上午第1节,则不同的排法总数是　　　　.(用数字作答)
题型(二)　元素“相邻”与“不相邻”问题
[例2]　某电影讲述了在极寒严酷环境下,中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役的胜利做出重要贡献的故事.现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片,他们的座位在同一排且连在一起.(列出算式,并计算出结果)
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种
(2)女生互不相邻的坐法有多少种
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种
听课记录:
[思维建模]
　　处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体,后局部”的原则.元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.
　　
[针对训练]
3.某博物馆新增包括A,B在内的8件文物,其中5件是清朝的,3件是唐朝的,且A,B都是清朝的.现将这些文物摆成一排,要求A,B必须相邻,但唐朝的文物不得相邻,则所有不同的摆法种数为 (　　)
A.1 440 B.2 160
C.2 880 D.3 050
4.为积极落实“双减”政策,丰富学生的课外活动,某校开设了陶艺、剪纸、插花等5门课程.分别安排在周一到周五,每天一节,其中陶艺课不排在周一,剪纸和插花课相邻的课程安排方案种数为 (　　)
A.18 B.24
C.36 D.42
题型(三)　定序问题
[例3]　将A,B,C,D,E这5个字母排成一列,要求A,B,C在排列中的顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻),则有多少种不同的排列方法
听课记录:
[思维建模]
　　在有些排列问题中,某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻).解决这类问题的基本方法有两个:
(1)整体法:若有(m+n)个元素排成一列,其中m个元素之间的先后顺序确定不变,将这(m+n)个元素排成一列,有种不同的排法;然后任取一个排列,固定其他n个元素的位置不动,把这m个元素交换顺序,有种排法,其中只有一个排列是我们需要的,因此共有种满足条件的不同排法.
(2)插空法:m个元素之间的先后顺序确定不变,因此先排这m个元素,只有一种排法,然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中.
　　[针对训练]
5.某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.
(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场,出场顺序有多少种
(2)3位老者与2位年轻人都要分别按从大到小的顺序出场,出场顺序有多少种
第2课时　排列、排列数的应用
[题型(一)]
[例1]　解:(1)法一　把元素作为研究对象.
第一类,不含甲,此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名排在5个位置上,有种排法;第二类,含有甲,甲不在首位,先从除首位以外的其他4个位置中选出1个排甲,再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上,有种排法.根据分步乘法计数原理,有4×种排法.由分类加法计数原理知,共有+4×=2 160(种)排法.
法二　把位置作为研究对象.
第一步,从甲以外的6名同学中选1名排在首位,有种排法;第二步,从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上,有种排法.由分步乘法计数原理知,共有=2 160(种)排法.
法三　(间接法)先不考虑限制条件,从7人中选出5人进行排列,然后把不满足条件的排列去掉.
不考虑甲不在首位的要求,总的可能情况有种,甲在首位的情况有种,所以符合要求的排法有-=2 160(种).
(2)把位置作为研究对象.
第一步,从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上,有种排法;第二步,从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上,有种排法.根据分步乘法计数原理,共有=1 800(种)排法.
[变式拓展]
1.解:把位置作为研究对象.
第一步,从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置,有种排法;第二步,从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上,有种排法.根据分步乘法计数原理,共有=1 200(种)排法.
2.解:间接法.总的可能情况有种,减去甲在首位的种排法,再减去乙在末位的种排法,注意到甲在首位,同时乙在末位的排法数被减去了两次,所以还需补回一次种排法,所以共有-2+=1 860(种)排法.
[针对训练]
1.选C　依题意可得,甲需从除翻译外的其他三项工作中任选一项,有3种选法,再从其余五人中选三人参加剩下的三项工作,有=60种选法,所以满足条件的不同选法共有3=180种.
2.解析:①若数学在第一节,则有=120种排法;
②若数学不在第一节,则数学有种排法,再排体育有种排法,最后将其余四个科目全排列有种排法,按照分步乘法计数原理可得有=288种排法.综上一共有120+288=408种排法.
答案:408
[题型(二)]
[例2]　解:(1)根据题意,先将3个女生排在一起,有=6种排法,将排好的女生视为一个整体,与4个男生进行排列,共有=120种排法,由分步乘法计数原理知,共有6×120=720种排法.
(2)根据题意,先将4个男生排好,有=24种排法,再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有=60种方法,故符合条件的排法共有24×60=1 440种.
(3)根据题意,先排甲、乙、丙以外的其他4人,有=24种排法,由于甲、乙相邻,故再把甲、乙排好,有=2种排法,最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空位中有=20种排法,故符合条件的排法共有24×2×20=960种.
[针对训练]
3.选C　先排列5件清朝的,由于A,B必须相邻,用捆绑法得排列数有=48;由于唐朝的3件文物不得相邻,用插空法得排列数有=60;由分步乘法计数原理得所有不同的摆法种数为48×60=2 880.
4.选C　剪纸和插花课相邻的安排方法有=48种,剪纸和插花课相邻且陶艺课排在周一的安排方法有=12种,故陶艺课不排在周一,剪纸和插花课相邻的课程安排方法种数为48-12=36.
[题型(三)]
[例3]　解:5个不同元素中部分元素A,B,C的排列顺序已定,这种问题有以下两种常用的解法.
法一　(整体法)5个元素无约束条件的全排列有种,由于字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”或“C,B,A”,因此在上述的全排列中恰好符合“A,B,C”或“C,B,A”排列方式的排列有×2=40(种).
法二　(插空法)若字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”,将字母D,E插入形成的4个空中,分两类:
第一类,若字母D,E相邻,则有种排法;
第二类,若字母D,E不相邻,则有种排法.
所以有+=20(种)不同的排列方法.
同理,若字母A,B,C的排列顺序为“C,B,A”,也有20种不同的排列方法.
因此满足条件的排列有20+20=40(种).
[针对训练]
5.解:(1)5位嘉宾无约束条件的全排列有种,由于3位老者的排列顺序已定,因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场,出场顺序有=20(种).
(2)5位嘉宾无约束条件的全排列有种,由于3位老者的排列顺序已定,2位年轻人的排列顺序已定,所以出场顺序有=10(种).
2 / 3(共61张PPT)
排列、排列数的应用
(深化课——题型研究式教学)
第2课时
课时目标
进一步学习排列数及排列数公式，掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一)　特殊元素或特殊位置问题
题型(二)　元素“相邻”与
“不相邻”问题
题型(三)　定序问题
4
课时跟踪检测
题型(一)　特殊元素或特殊位置问题
01
[例1]　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题.
(1)甲不在首位的排法有多少种
解：法一　把元素作为研究对象.
第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名排在5个位置上，有种排法；第二类，含有甲，甲不在首位，先从除首位以外的其他4个位置中选出1个排甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，有4×种排法.由分类加法计数原理知，共有+4×=2 160(种)排法.
法二　把位置作为研究对象.
第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有种排法；第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有种排法.由分步乘法计数原理知，共有=2 160(种)排法.
法三　(间接法)先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉.
不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有种，甲在首位的情况有种，所以符合要求的排法有-=2 160(种).
(2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种
解：把位置作为研究对象.
第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有种排法；第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，共有=1 800(种)排法.
[变式拓展]
1.本例条件不变，甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种
解：把位置作为研究对象.
第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有种排法；第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，共有=1 200(种)排法.
2.本例条件不变，甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种
解：间接法.总的可能情况有种，减去甲在首位的种排法，再减去乙在末位的种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次种排法，所以共有-2+=1 860(种)
排法.
　[思维建模]　特殊元素、特殊位置问题的解题思路
直接法 元素分析法 以元素为主，优先考虑特殊元素
位置分析法 以位置为主，优先考虑特殊位置
间接法 若解题时分类太多，用直接法求解较为麻烦，往往采用间接法
针对训练
1.从六人(含甲)中选四人完成四项不同的工作(含翻译)，则甲被选中且甲不参加翻译工作的不同选法共有 (　　)
A.120种 B.150种
C.180种 D.210种
√
解析：依题意可得，甲需从除翻译外的其他三项工作中任选一项，有3种选法，再从其余五人中选三人参加剩下的三项工作，有=60种选法，所以满足条件的不同选法共有3=180种.
2.某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、美术6堂课的课程表，要求数学课不排在下午，体育课不排在上午第1节，则不同的排法总数是______.(用数字作答)
解析：①若数学在第一节，则有=120种排法；
②若数学不在第一节，则数学有种排法，再排体育有种排法，最后将其余四个科目全排列有种排法，按照分步乘法计数原理可得有=288种排法.综上一共有120+288=408种排法.
408
题型(二)　元素“相邻”
与“不相邻”问题
02
[例2]　某电影讲述了在极寒严酷环境下，中国人民志愿军凭着钢铁意志和英勇无畏的精神为长津湖战役的胜利做出重要贡献的故事.现有4名男生和3名女生相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.(列出算式，并计算出结果)
(1)女生必须坐在一起的坐法有多少种
解：根据题意，先将3个女生排在一起，有=6种排法，将排好的女生视为一个整体，与4个男生进行排列，共有=120种排法，由分步乘法计数原理知，共有6×120=720种排法.
(2)女生互不相邻的坐法有多少种
解：根据题意，先将4个男生排好，有=24种排法，再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有=60种方法，故符合条件的排法共有24×60=1 440种.
(3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种
解：根据题意，先排甲、乙、丙以外的其他4人，有=24种排法，由于甲、乙相邻，故再把甲、乙排好，有=2种排法，最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空位中有=20种排法，故符合条件的排法共有24×2×20=960种.
[思维建模]
　　处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则.元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素.
针对训练
3.某博物馆新增包括A，B在内的8件文物，其中5件是清朝的，3件是唐朝的，且A，B都是清朝的.现将这些文物摆成一排，要求A，B必须相邻，但唐朝的文物不得相邻，则所有不同的摆法种数为 (　　)
A.1 440 B.2 160
C.2 880 D.3 050
√
解析：先排列5件清朝的，由于A，B必须相邻，用捆绑法得排列数有=48；由于唐朝的3件文物不得相邻，用插空法得排列数有=60；由分步乘法计数原理得所有不同的摆法种数为48×60=2 880.
4.为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了陶艺、剪纸、插花等5门课程.分别安排在周一到周五，每天一节，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程安排方案种数为 (　　)
A.18 B.24 C.36 D.42
解析：剪纸和插花课相邻的安排方法有=48种，剪纸和插花课相邻且陶艺课排在周一的安排方法有=12种，故陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程安排方法种数为48-12=36.
√
题型(三)　定序问题
03
[例3]　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”(可以不相邻)，则有多少种不同的排列方法
解：5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法.
法一　(整体法)5个元素无约束条件的全排列有种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2
=40(种).
法二　(插空法)若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入形成的4个空中，分两类：
第一类，若字母D，E相邻，则有种排法；
第二类，若字母D，E不相邻，则有种排法.
所以有+=20(种)不同的排列方法.
同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法.
因此满足条件的排列有20+20=40(种).
[思维建模]
　　在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻).解决这类问题的基本方法有两个：
(1)整体法：若有(m+n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m+n)个元素排成一列，有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法.
(2)插空法：m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中.
针对训练
5.某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相.
(1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种
解：5位嘉宾无约束条件的全排列有种，由于3位老者的排列顺序已定，因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有
=20(种).
(2)3位老者与2位年轻人都要分别按从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种
解：5位嘉宾无约束条件的全排列有种，由于3位老者的排列顺序已定，2位年轻人的排列顺序已定，所以出场顺序有=10(种).
课时跟踪检测
04
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
2
A级——综合提能
1.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有(　　)
A.6种 B.9种
C.18种 D.24种
解析：先排体育有种，再排其他的三科有种，共有=18(种).
√
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5
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14
2
3
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2.4名男生2名女生排成一排，要求两名女生排在一起的排法总数为 (　　)
A.48 B.96
C.120 D.240
解析：第一步将两名女生看作一个整体与4名男生全排列，第二步将两名女生内部排列，即=240.
√
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3
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2
3.某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100 m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有 (　　)
A.24种 B.36种
C.48种 D.72种
解析：若第一棒选A，则有种选派方法；若第一棒选B，则有2种选派方法.由分类加法计数原理知，共有3=36(种)选派方法.
√
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2
4.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 (　　)
A.3×3! B.3×(3!)3
C.(3!)4 D.9!
解析：利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为·()3=(3!)4.故选C.
√
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4
2
5.某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，每名员工最多值班一天.已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有 (　　)
A.184种 B.196种
C.252种 D.268种
√
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3
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2
解析：从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人安排到假期的四天值班，一共有=360种方法；甲在第一天值班有=60种方法；乙在第四天值班有=60种方法；甲在第一天值班且乙在第四天值班有=12种方法；因此从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，甲在第一天不值班，乙在第四天不值班共有360-60-60+12=252种方法.
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6.五位同学站成一排合影，甲站在最右边，乙、丙相邻，则不同的站法种数为_____.
解析：由乙、丙相邻，将两人视为一个整体，可看作共四位同学，又甲站在最右边，只有1种情况，所以不同站法种数为1××=12.
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3
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2
7.书架上某层有6本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来6本书的原有顺序，则不同的插法共有______种.
解析：把书架上这一层欲排的9本书看成9个位置，将新买的3本书放入这9个位置中的3个，其余的6本书按着原来顺序依次放入，因此插法种数为=504.
504
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13
14
3
4
2
8.用1，2，3，4，5，6，7组成没有重复数字的七位数，若1，3，5，7的顺序一定，则有______个七位数符合条件.
解析：若1，3，5，7的顺序不定，则4个数字有=24(种)排法，故1，3，5，7的顺序一定的排法只占全排列种数的.故有×=210(个)七位数符合条件.
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2
9.一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目，要求排出一个节目单.
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾，有多少种排法
解：先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有种排法，再将剩余的3个演唱节目，3个舞蹈节目排在中间6个位置上有种排法，故共有不同排法=14 400(种).
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(2)前四个节目要有舞蹈节目，有多少种排法
解：先不考虑排列要求，有种排法，其中前四个节目没有舞蹈节目的情况，可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有种排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有-=37 440(种).
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2
10.三个女生和五个男生排成一排.
(1)如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法
解：(捆绑法)因为三个女生必须排在一起，所以可以先把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起共有六个元素，排成一排有种不同的排法，对于其中的每一种排法，三个女生之间又有种不同的排法.因此共有=4 320(种)不同的排法.
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(2)如果女生必须全分开，可有多少种不同的排法
解：(插空法)要保证女生全分开，可先把五个男生排好，每两个相邻的男生之间留出一个空位，这样共有四个空位，加上两边男生外侧的两个位置，共有六个位置，再把三个女生插入这六个位置中，只要保证每个位置至多插入一个女生，就能保证任意两个女生都不相邻，由于五个男生排成一排有种不同排法，对于其中任意一种排法，从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有种排法，因此共有=14 400(种)不同的排法.
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(3)如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法
解：法一：位置分析法　因为两端都不能排女生，所以两端只能挑选五个男生中的两个，有种不同的排法，对于其中的任意一种不同的排法，其余六个位置都有种不同的排法，所以共有·=14 400(种)不同的排法.
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法二：间接法　三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法，但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次，在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次，所以还需加回来一次，由于两端都是女生有种不同的排法，所以共有-2+=14 400(种)不同的排法.
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法三：元素分析法　从中间六个位置挑选三个让三个女生排入，有种不同的排法，对于其中的任意一种排法，其余五个位置又都有种不同的排法，所以共有=14 400(种)不同的排法.
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(4)如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法
解：法一：位置分析法　因为只要求两端不都排女生，所以如果首位排了男生，那么末位就不再受条件限制了，这样可有种不同的排法；如果首位排女生，有种排法，那么末位就只能排男生，这样可有种不同的排法，因此共有+=36 000(种)不同的排法.
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法二：间接法　三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法，从中扣除两端都是女生的排法种，就得到两端不都是女生的排法种数.因此共有-=36 000(种)不同的排法.
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(5)如果男生甲、乙之间能且仅能站两女生，可有多少种不同的排法
解：男生甲、乙站好有种站法，从三个女生中选2人站在甲、乙之间有种站法，再把甲、乙及中间两女生看成一个整体捆绑在一起，和另外4人排成一排有种站法，所以共有=1 440(种)不同的排法.
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B级——应用创新
11.澉浦“八大碗”是由两冷菜，三大菜，三热炒组成.今有人欲以其中的“东坡肉”“红烧羊肉”“醋鱼汤”“韭芽肉皮”“老笋干丝”“大蒜肉丝”共六道菜宴请远方来客，这六道菜要求依次而上，其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜，则不同的上菜顺序种数为(　　)
A.480 B.240
C.384 D.1 440
√
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解析：若“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜，则有=2种，再将其与其他4道菜作全排列，共有=120种，所以“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜的方法数有240种；而六道菜依次上菜的总顺序有=720种，所以其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜的方法数有720-240=480种.故选A.
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12.将1盆红花，2盆黄花，3盆紫花摆放在如图所示的花坛里，每格放置1盆.要求相邻的两格颜色不相同，则不同的放法共有_____种.


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解析：将花坛格子从左到右，用1，2，3，4，5，6进行标记，先放紫花.
(1)当3盆紫花中间均间隔一格时，有两种摆放方式，紫花所在格为1，3，5或2，4，6，此时，红花可以从剩余的3个格子中任意选择位置进行摆放，即有种，剩余的2个格子摆放黄花，故共有2=6种摆放方式.
(2)当有两盆紫花中间间隔二格时，有两种摆放方式，即紫花所在格为1，3，6或1，4，6，此时红花必须从紫花间隔的两格中选择一个，即有种，剩余的两个摆放黄花即可，故共有2=4种摆放方式；综上，不同的放法有6+4=10种.
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13.阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数为______(用数字作答).
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解析：第一步：先将3名母亲作全排列，共有种排法；第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有种排法；第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有种排法；第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一名男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有2种排法.所以不同的排法种数为·2=288.
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14.某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课.
(1)如果数学和语文必须排在一起，则有多少种不同的排法
解：第一步，先将数学和语文排在一起，有种排法；
第二步，将数学和语文看成一个整体，与历史、物理、体育、英语一起全排列，有种排法，
所以数学和语文必须排在一起共有=2×120=240种排法.
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(2)语文必须排第一节，物理和数学不能排一起，则不同的排法有多少种
解：第一步，先排语文，有1种排法；
第二步，将历史、体育、英语全排列，有=6种排法；
第三步，在第二步产生的4个空位中插入物理和数学，有=12种排法.
所以总的排法有1×6×12=72种排法.
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(3)如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排法
解：第一类，第一节排数学，其余五节任意排，有=120种排法；
第二类，第1步，从历史、语文、物理、英语中选一科排在第一节，有4种排法，
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第2步，再从剩下的4个学科(不包括数学)中选一科排在最后一节，有4种排法，
第3步，中间4节任意排，有=24种排法，
所以总的排法有4×4×24=384.
综上，满足条件的排法有120+384=504种.
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(4)如果数学必须比语文先上，语文比英语先上(三科不一定连续上)，则共有多少种不同的排法
解：数学、语文、英语的上课顺序共有=6种，满足条件的顺序只有1种，故满足条件的排法有×=120种.
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(5)原定的6节课已经排好，学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课，若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变，那么共有多少种不同的排法
解：第一步，先在7个空位中选择一个空位排生物，有7种；
第二步，在排入生物之后产生的8个空位选择一个空位排化学，有8种；
第三步，在排入化学之后产生的9个空位选择一个空位排地理，有9种.
所以总的排法有7×8×9=504种.课时跟踪检测(五)　排列、排列数的应用
A级——综合提能
1.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课,其中体育不排在第一节,那么这天上午课程表的不同排法共有 (　　)
A.6种 B.9种
C.18种 D.24种
2.4名男生2名女生排成一排,要求两名女生排在一起的排法总数为 (　　)
A.48 B.96
C.120 D.240
3.某班级从A,B,C,D,E,F六名学生中选四人参加4×100 m接力比赛,其中第一棒只能在A,B中选一人,第四棒只能在A,C中选一人,则不同的选派方法共有 (　　)
A.24种 B.36种
C.48种 D.72种
4.一排9个座位坐了3个三口之家,若每家人坐在一起,则不同的坐法种数为 (　　)
A.3×3! B.3×(3!)3
C.(3!)4 D.9!
5.某单位春节共有四天假期,但每天都需要留一名员工值班,现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班,每名员工最多值班一天.已知甲在第一天不值班,乙在第四天不值班,则值班安排共有 (　　)
A.184种 B.196种
C.252种 D.268种
6.五位同学站成一排合影,甲站在最右边,乙、丙相邻,则不同的站法种数为　　　.
7.书架上某层有6本不同的书,新买了3本不同的书插进去,要保持原来6本书的原有顺序,则不同的插法共有　　　　种.
8.用1,2,3,4,5,6,7组成没有重复数字的七位数,若1,3,5,7的顺序一定,则有　　　　个七位数符合条件.
9.一场晚会有5个演唱节目和3个舞蹈节目,要求排出一个节目单.
(1)3个舞蹈节目不排在开始和结尾,有多少种排法
(2)前四个节目要有舞蹈节目,有多少种排法
10.三个女生和五个男生排成一排.
(1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法
(2)如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法
(3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法
(4)如果两端不能都排女生,可有多少种不同的排法
(5)如果男生甲、乙之间能且仅能站两女生,可有多少种不同的排法
B级——应用创新
11.澉浦“八大碗”是由两冷菜,三大菜,三热炒组成.今有人欲以其中的“东坡肉”“红烧羊肉”“醋鱼汤”“韭芽肉皮”“老笋干丝”“大蒜肉丝”共六道菜宴请远方来客,这六道菜要求依次而上,其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜,则不同的上菜顺序种数为 (　　)
A.480 B.240
C.384 D.1 440
12.将1盆红花,2盆黄花,3盆紫花摆放在如图所示的花坛里,每格放置1盆.要求相邻的两格颜色不相同,则不同的放法共有　　　　种.
13.阳春三月,草长莺飞;丝绦拂堤,尽飘香玉.三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春.在沿行一条小溪时,为了安全起见,他们排队前进,三位母亲互不相邻照顾孩子;3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面;为了防止2名男宝打闹,2人不相邻,且不排最前面也不排最后面.则不同的排法种数为　　　(用数字作答).
14.某班级周六的课程表要排入历史、语文、数学、物理、体育、英语共6节课.
(1)如果数学和语文必须排在一起,则有多少种不同的排法
(2)语文必须排第一节,物理和数学不能排一起,则不同的排法有多少种
(3)如果第一节不排体育,最后一节不排数学,那么共有多少种不同的排法
(4)如果数学必须比语文先上,语文比英语先上(三科不一定连续上),则共有多少种不同的排法
(5)原定的6节课已经排好,学校临时通知要增加生物、化学、地理3节课,若将这3节课插入原课表中且原来的6节课相对顺序不变,那么共有多少种不同的排法
课时跟踪检测(五)
1.选C　先排体育有种,再排其他的三科有种,共有=18(种).
2.选D　第一步将两名女生看作一个整体与4名男生全排列,第二步将两名女生内部排列,即=240.
3.选B　若第一棒选A,则有种选派方法;若第一棒选B,则有2种选派方法.由分类加法计数原理知,共有3=36(种)选派方法.
4.选C　利用“捆绑法”求解,满足题意的坐法种数为·()3=(3!)4.故选C.
5.选C　从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人安排到假期的四天值班,一共有=360种方法;甲在第一天值班有=60种方法;乙在第四天值班有=60种方法;甲在第一天值班且乙在第四天值班有=12种方法;因此从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班,甲在第一天不值班,乙在第四天不值班共有360-60-60+12=252种方法.
6.解析:由乙、丙相邻,将两人视为一个整体,可看作共四位同学,又甲站在最右边,只有1种情况,所以不同站法种数为1××=12.
答案:12
7.解析:把书架上这一层欲排的9本书看成9个位置,将新买的3本书放入这9个位置中的3个,其余的6本书按着原来顺序依次放入,因此插法种数为=504.
答案:504
8.解析:若1,3,5,7的顺序不定,则4个数字有=24(种)排法,故1,3,5,7的顺序一定的排法只占全排列种数的.故有×=210(个)七位数符合条件.
答案:210
9.解:(1)先从5个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有种排法,再将剩余的3个演唱节目,3个舞蹈节目排在中间6个位置上有种排法,故共有不同排法=14 400(种).
(2)先不考虑排列要求,有种排法,其中前四个节目没有舞蹈节目的情况,可先从5个演唱节目中选4个节目排在前四个位置,然后将剩余四个节目排列在后四个位置,有种排法,所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有-=37 440(种).
10.解:(1)(捆绑法)因为三个女生必须排在一起,所以可以先把她们看成一个整体,这样同五个男生合在一起共有六个元素,排成一排有种不同的排法,对于其中的每一种排法,三个女生之间又有种不同的排法.因此共有=4 320(种)不同的排法.
(2)(插空法)要保证女生全分开,可先把五个男生排好,每两个相邻的男生之间留出一个空位,这样共有四个空位,加上两边男生外侧的两个位置,共有六个位置,再把三个女生插入这六个位置中,只要保证每个位置至多插入一个女生,就能保证任意两个女生都不相邻,由于五个男生排成一排有种不同排法,对于其中任意一种排法,从上述六个位置中选出三个让三个女生插入都有种排法,因此共有=14 400(种)不同的排法.
(3)法一:位置分析法　因为两端都不能排女生,所以两端只能挑选五个男生中的两个,有种不同的排法,对于其中的任意一种不同的排法,其余六个位置都有种不同的排法,所以共有·=14 400(种)不同的排法.
法二:间接法　三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法,从中扣除女生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法,但两端都是女生的排法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次,在扣除女生排在末位的情况时又被扣去一次,所以还需加回来一次,由于两端都是女生有种不同的排法,所以共有-2+=14 400(种)不同的排法.
法三:元素分析法　从中间六个位置挑选三个让三个女生排入,有种不同的排法,对于其中的任意一种排法,其余五个位置又都有种不同的排法,所以共有=14 400(种)不同的排法.
(4)法一:位置分析法　因为只要求两端不都排女生,所以如果首位排了男生,那么末位就不再受条件限制了,这样可有种不同的排法;如果首位排女生,有种排法,那么末位就只能排男生,这样可有种不同的排法,因此共有+=36 000(种)不同的排法.
法二:间接法　三个女生和五个男生排成一排共有种不同的排法,从中扣除两端都是女生的排法种,就得到两端不都是女生的排法种数.因此共有-=36 000(种)不同的排法.
(5)男生甲、乙站好有种站法,从三个女生中选2人站在甲、乙之间有种站法,再把甲、乙及中间两女生看成一个整体捆绑在一起,和另外4人排成一排有种站法,所以共有=1 440(种)不同的排法.
11.选A　若“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜,则有=2种,再将其与其他4道菜作全排列,共有=120种,所以“红烧羊肉”和“醋鱼汤”接连相邻上菜的方法数有240种;而六道菜依次上菜的总顺序有=720种,所以其中“红烧羊肉”和“醋鱼汤”不能接连相邻上菜的方法数有720-240=480种.故选A.
12.解析:将花坛格子从左到右,用1,2,3,4,5,6进行标记,先放紫花.
(1)当3盆紫花中间均间隔一格时,有两种摆放方式,紫花所在格为1,3,5或2,4,6,此时,红花可以从剩余的3个格子中任意选择位置进行摆放,即有种,剩余的2个格子摆放黄花,故共有2=6种摆放方式.
(2)当有两盆紫花中间间隔二格时,有两种摆放方式,即紫花所在格为1,3,6或1,4,6,此时红花必须从紫花间隔的两格中选择一个,即有种,剩余的两个摆放黄花即可,故共有2=4种摆放方式;综上,不同的放法有6+4=10种.
答案:10
13.解析:第一步:先将3名母亲作全排列,共有种排法;第二步:将3名女宝“捆绑”在一起,共有种排法;第三步:将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素,在第一步形成的2个空中选择1个插入,有种排法;第四步:首先将2名男宝之中的一人,插入第三步后相邻的两个妈妈中间,然后将另一名男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个,共有2种排法.所以不同的排法种数为·2=288.
答案:288
14.解:(1)第一步,先将数学和语文排在一起,有种排法;
第二步,将数学和语文看成一个整体,与历史、物理、体育、英语一起全排列,有种排法,
所以数学和语文必须排在一起共有=2×120=240种排法.
(2)第一步,先排语文,有1种排法;
第二步,将历史、体育、英语全排列,有=6种排法;
第三步,在第二步产生的4个空位中插入物理和数学,有=12种排法.
所以总的排法有1×6×12=72种排法.
(3)第一类,第一节排数学,其余五节任意排,有=120种排法;
第二类,第1步,从历史、语文、物理、英语中选一科排在第一节,有4种排法,
第2步,再从剩下的4个学科(不包括数学)中选一科排在最后一节,有4种排法,
第3步,中间4节任意排,有=24种排法,所以总的排法有4×4×24=384.
综上,满足条件的排法有120+384=504种.
(4)数学、语文、英语的上课顺序共有=6种,满足条件的顺序只有1种,故满足条件的排法有×=120种.
(5)第一步,先在7个空位中选择一个空位排生物,有7种;
第二步,在排入生物之后产生的8个空位选择一个空位排化学,有8种;
第三步,在排入化学之后产生的9个空位选择一个空位排地理,有9种.
所以总的排法有7×8×9=504种.
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