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2024-2025 学年湖南省永州四中直升班高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列{ }，{ }中， 1 = 2， 1 = 6， +1 = 2 ， +1 = 2 ，若 = ，则 =( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
2.已知函数为 ( )的定义域为 ， ( ) > ( 1) + ( 2)，且当 < 3 时， ( ) = ，则下列结论中一定
正确的是( )
A. (10) > 100 B. (20) > 1000 C. (10) < 1000 D. (20) < 10000
3.若 sin( + ) + cos( + ) = 2 2cos( + 4 )sin ，则( )
A. tan( ) = 1 B. tan( + ) = 1 C. tan( ) = 1 D. tan( + ) = 1
4.甲、乙、丙、丁共 4 名同学进行党史知识比赛，决出第 1 名到第 4 名的名次(名次无重复)，其中前 2 名
将获得参加市级比赛的资格．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的
资格．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，4 人的排名有( )种不同情况．
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
5.已知集合 = { | 2 + 2 + = 0, ∈ }，若集合 有且仅有 2 个子集，则 的取值是( )
A. 1 B. 1 C. 0，1 D. 1，0，1
6.已知 + 2 = + 3 = 2，则下列不等关系正确的是( )
A. < < 0 B. 0 < < < 1 C. + 2 > + 3 D. 2 > 2
7.若对任意的 ∈ (0, + ∞)， ln(2 ) ≥ 1 恒成立，则实数 的最小值是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8.已知函数 ( ) = +1 + ，有且只有一个负整数 0，使 ( 0) ≤ 0 成立，则 的取值范围是( )
A. ( 23 ,
1
2 ] B. (0,
1 2 1
2 ] C. [ 3 , 2 ) D. [0,
1
2 )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点 (1,0)关于直线 + 1 = 0( ∈ )的对称点 在直线 + = 0 上，则实数 的值为( )
A. 3 B. 2 C. 3 D. 2
10.已知点 ( 5,4)和 (3,2)，则过点 ( 1,2)且与 ， 的距离相等的直线方程为( )
A. + 4 7 = 0 B. 4 7 = 0 C. = 14
7
4 D. = 1
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2 2 2 2
11.已知 1，
+ = 1( 2是椭圆 2 2 1 > 1 > 0)和双曲线 2 2 = 1( 2 > 0, 2 > 0)的公共焦点， 是他们的1 1 2 2

一个公共点，且∠ 1 2 = 3，则以下结论正确的是( )
A. 2 21 1 = 22 + 22 B. 2 21 = 3 2
C. 1 + 1 = 1 D. 2 2 3
4 2 4 2 1
+ 2的最小值为 1 +
1 2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若随机变量 ～ (1, 2)，2 ( < 0) = ( ≤ 2) = ，则 =______．
13.已知△ 中，点 在边 上，∠ = 120°， = 2 ， = 2 .当 取得最小值时， =______．
14.在各棱长均相等的正四面体 中，取棱 上一点 ，使 = 2 ，连接 ， ，三棱锥 的
内切球的球心为 ，三棱锥 的内切球的球心为 ，则平面 与平面 的夹角的正弦值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的一个顶点为 (0,1)，焦距为 2 3．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)过点 ( 2,1)作斜率为 的直线与椭圆 交于不同的两点 ， ，直线 ， 分别与 轴交于点 ， .当
| | = 2 时，求 的值．
16.(本小题 15 分)
已知一个黑色袋子里装有 2 个红球，4 个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中
任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为 ．
(1)求甲同学取球两次即终止的概率；
(2)求随机变量 的分布列及期望．
17.(本小题 15 分)
如图，我们把由平面内夹角成 60°的两条数轴 ， 构成的坐标系，称为“完美坐标系”.设 1， 2分别为 ，
正方向上的单位向量，若向量 = 1 + 2，则把实数对[ , ]叫做向量 的“完美坐标”．
(1)若向量 的“完美坐标”为[3,4]，求| |；
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(2)已知[ 1, 1]，[ 2, 2]分别为向量 ，
1
的“完美坐标”，证明： = 1 2 + 1 2 + 2 ( 1 2 + 2 1)；
(3)若向量 ， 的“完美坐标”分别为[ , 1]，[ , 1]，设函数 ( ) = ， ∈ ，求 ( )的值域．
18.(本小题 17 分)
设函数 = ( )的定义域为 ，其导函数为 ′( )，区间 是 的一个非空子集.若对区间 内的任意实数 ，存
在实数 ，使得 + ∈ ，且使得 ( + ) ≥ ( + 1) ′( )成立，则称函数 = ( )为区间 上的“ ( )函
数”．
(1) 判断函数 ( ) = 是否为[0, ]上的“ ( 2 )函数”，并说明理由；
(2)若函数 ( ) = 2 是[0,2]上的“ (2)函数”．
(ⅰ)求 的取值范围；
(ⅱ)证明： ∈ [1,2]， ( + 2) ≥ 6( 1)．
19.(本小题 17 分)
定义：若函数 ( )与 ( )在公共定义域内存在 使得 ( ) + ( ) = 0，则称 ( )与 ( )为“契合函数”．
(1)判断函数 ( ) = 2 2 2和 ( ) = +1是否为“契合函数”；
(2)若函数 ( ) = 1 和 ( ) = 2 + 1 不为“契合西数”，求 的取值范围；
(3)若函数 ( ) = 1 + 1 和 ( ) =

1( < 0)在区间(0, )上为“契合函数”，求 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.23
13. 3 1
14. 33
15.解：(Ⅰ)由题意得，
= 1
2 = 2 3，∴ = 1， = 3， = 2，
2∴椭圆 的方程为 24 + = 1．
(Ⅱ)设过点 ( 2,1)的直线为 1 = ( + 2)， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
1 = ( + 2)
联立得 2 2 ，即(1 + 4 2) 2 + (16 2 + 8 ) + 16 2 + 16 = 0，
4 + 1 = 1
∵直线与椭圆相交，∴ = [(16 2 + 8 )]2 4(1 + 4 2)(16 2 + 16 ) > 0，∴ < 0，
16 2+8 16 2+16
由韦达定理得 1 + 2 = 1+4 2 ， 1 2 = 1+4 2 ，
∵ = 1 1 ∴ = 1 ， 直线 为
1
+ 1，1 1
令 = 0 ，则 = 1 1 ，∴ (
1 2
1 , 0)，同理 ( 1 , 0)，1 1 2
∴ | | = | 1 2 1 2 1 2 11 1 1
| = |
2 ( +2)
( +2) | = | (1 2 2+2
1+2
)|
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1 2( ) 1 2 ( 1 + 2)2 4 2 1 1 2= | ( + 2)( + 2) | = | |2 1 ( 1 2 +2( 1 + 2) + 4
16 2+8 2 2( ) 4(16 +16 )
1+4 2 1+4 2
= | 2 2 | = 2，16 +16 2(16 2+8 )2 2 +41+4 1+4
∴ | 2 64 4 | = 2
1
，∴ | | = 2，
∴ = 4．
16.(1)设甲同学取球两次即终止为事件 ，
2 4 1
则 ( ) = 2 4 = ；
66 15
(2) 的可能取值为 0，1，2，3，4，
1 1 4 1 1 4
则 ( = 0) = 2 5 4 = 1 ( = 1) = 2 4 4 = 4，
6 6
，
6 3 6 15
1 1 4 1 1 4
( = 2) = 2 3 4 16 = 5， ( = 3) =
2 2 4 2
6
=
6 6 15
，
2 4
( = 4) = 2 4 = 1，
66 15
随机变量 的分布列为：
0 1 2 3 4
1
1 4 1 23 15 5 15 15
( ) = 1 × 415 + 2 ×
1+ 3 × 25 15 + 4 ×
1
15 =
4
3．
17.解：(1)因为 的“完美坐标”为[3,4]，则 = 3 1 + 4 2，
又因为 1， 2分别为 ， 正方向上的单位向量，且夹角为 60°，
所以| 1| = | 2| = 1， 1 2 = | 1|·|
1
2|cos60° = 2，
2 2
所以| | = (3 1 + 4 2)2 = 9 1 + 24 1 2 + 16 2 = 9 + 24 ×
1
2+ 16 = 37．
(2)证明：由(1)知，| 1| = | 2| = 1， 1 2 =
1
2，
所以 = ( 1 1 + 1 2) ( 2 1 + 2 2)
= 2 21 2 1 + 1 2 1 2 + 2 1 1 2 + 1 2 2
= 1
1
2 + 1 2 + 2 ( 1 2 + 2 1)，
即 = 1 2 + 1
1
2 + 2 ( 1 2 + 2 1)．
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(3)因为向量 ， 的“完美坐标”分别为[ , 1]，[ , 1]，
由(2)得 ( ) = = + 1 + 12 ( + )．
令 = + = 2sin( + 4 )，则 =
1
2 (
2 1)，
因为 ∈ ，所以 2 ≤ 2sin( + 4 ) ≤ 2，即 2 ≤ ≤ 2，
1 1 1 1
令 ( ) = 2 (
2 1) + 1 + 2 =
2
2 ( + + 1) = 2 ( +
1 )2 + 32 8 , ( 2 ≤ ≤ 2)，
所以当 = 12 ∈ [ 2, 2]时， ( )取得最小值 (
1
2 ) =
3
8，
当 = 2 ( ) 1 3+ 2时， 取得最大值 ( 2) = 2 × (2 + 2 + 1) = 2 ，
( ) 3 3+ 2所以 的值域为[ 8 , 2 ]．
18.解：(1)因为 ( ) = ，则 ′( ) = ，
( + 因为 2 ) = cos( +

2 ) = ，(

2 + 1) ( ) = (

′ 2 + 1) ．
又 ∈ [0, ]，所以 ≥ 0，
( + ) ≥ ( 所以 2 2 + 1) ′( )对于任意 ∈ [0, ]恒成立．
故 ( ) = 是[0, ] 上的“ ( 2 )函数”．
(2)(ⅰ) ′( ) = 2 ，
由条件得( + 2)2 ( + 2) ≥ 3(2 )对任意的 ∈ [0,2]恒成立，
即 ( 1) ≤ ( 1)2 + 3 任意的 ∈ [0,2]恒成立．
①当 = 1 时，对一切 ∈ 成立．
②当 0 ≤ < 1 时， ≥ ( 1) + 3 1恒成立．
设 ( ) = 1 + 3 ( ) = 1 3 1，则 ′ ( 1)2 < 0 对任意的 ∈ [0,1)恒成立，
所以 ( )在[0,1)上单调递减，可得 ≥ ( ) = (0) = 4．
3
③当 1 < ≤ 2 时，由 ≤ ( 1) + 1恒成立．
设 ( ) = 1 + 3 1，则 ′( ) = 1
3
( 1)2 < 0，所以 ( )在(1,2]上单调递减，
可得 ≤ ( ) = (2) = 4．
综上所述， 的范围是[ 4,4]．
(ⅱ)证明：由(ⅰ)知， 4 ≤ ≤ 4．
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对 ∈ [1,2]， ( + 2) ≥ 3 ′( ) = 3(2 ) ≥ 3(2 4)．
下面证： ∈ [1,2]，3(2 4) ≥ 6( 1)，
即证 ∈ [1,2]， 1 ≥ 0．
设 ( ) = 1 1，则 ′( ) = 1 ≥ 0，所以 ( )在[1,2]上单调递增，
又 (1) = 0，所以 ( ) ≥ 0 成立．
所以 ∈ [1,2]时，不等式 3(2 4) ≥ 6( 1)成立．
所以 ∈ [1,2]， ( + 2) ≥ 6( 1)成立．
19.解：(1)根据定义，若 ( )与 ( )为“契合函数”，则 ( ) + ( ) = 2 2 2 + +1 = 0 在公共定义域
内有解．
即( + 2 )( ) = 0， = 0，解得 = 1，
所以 ( )与 ( )为“契合函数”．
(2)令 ( ) = ( ) + ( ) = 2， ∈ (0, + ∞)，
因为 ( )与 ( )不为“契合函数，又 ( )为(0, + ∞)上的连续函数，
所以 ( )在(0, + ∞)上无零点，即恒为负或恒为正．
( )若 ( ) > 0 在(0, + ∞)上恒成立，则 (1) = 1 > 0，即 < 1，
又当 < 1 时， (1 ) = ln(1 ) (1 ) (1 )2 = ln(1 ) (1 )，
令 ( ) = 1 1 ，所以 ′( ) = 1 = ，
令 ′( ) > 0，解得 0 < < 1， ( )单调递增，令 ′( ) < 0，解得 > 1， ( )单调递减，
所以 ( ) ≤ (1) = 1 < 0，所以 (1 ) < 0，与假设矛盾，
所以不存在 使得 ( ) > 0 在(0, + ∞)上恒成立．
2
( )若 ( ) < 0 (0, + ∞) > 在 上恒成立，即 ，
( ) =
2
( ) = 1
2
令 ，所以 ′ 2 ，
又 = 1 2在(0, + ∞)上单调递减， ′(1) = 0，
所以当 0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，当 > 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 ( ) = (1) = 1，
所以 > 1，即 的取值范围是( 1, + ∞)．

(3)令 ( ) = ( ) + ( ) = + ，
由题意可得， ( )在(0, )上存在零点，
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即 ( ) = + 在(0, )上存在零点．又因为 ′( ) = ( + 1) + ，
当 1 ≤ < 0 且 ∈ (0, )时，因为( + 1) > 1，| | < | | ≤ 1，所以 ′( ) > 0，所以 ( )在(0, )
上单调递增，则 ( ) > (0) = 0，
此时 ( )在(0, )上不存在零点，不满足题意；
当 < 1 时，当 ∈ [ 2 , )时， 1 < ≤ 0，所以 ′( ) > 0，

当 ∈ (0, 2 )时，令 = ′( ) = ( + 1)
+ ，则 ′ = ( + 2) > 0，

所以 ′( )在(0, 2 )上单调递增，且 ′(0) = 1 + < 0, ′(
) = ( + 1) 22 2 > 0，故 ′( )在(0,

2 )上存在
唯一零点，设为 0，使得 ′( 0) = 0，
所以当 ∈ (0, ) 0 时， ′( ) < 0；当 ∈ ( 0, 2 )时， ′( ) > 0；
又当 ∈ [ 2 , )时， ′( ) > 0，所以 ( )在(0, 0)上单调递减，在( 0, )上单调递增，
所以 ( )在(0, )上存在唯一极小值点 0，
因为 (0) = 0，所以 ( 0) < 0，又因为 ( ) = > 0，所以 ( )在(0, )上存在唯一零点 1，
所以函数 ( )与 ( )在(0, )上为“契合函数”．
综上， 的取值范围是( ∞, 1)．
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