资源简介

2024-2025学年湖南省娄底一中高二（下）期末数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.关于样本相关系数，下列说法正确的是( )
A.样本相关系数 ∈ [ 1,1]
B.当样本相关系数 < 0 时，称成对数据成正相关
C.两个随机变量线性相关越弱，则相关系数越接近 1
D.两个随机变量线性相关越强，则相关系数越接近 1
2.已知等差数列{ }的公差为 3，则 10 1 =( )
A. 3 B. 9 C. 27 D. 30
3.已知向量 = ( 1, 3)，| | = 3， ( 2 ) = 10，则向量 与 的夹角是( )
A. 5 2 3 B. 6 C. 6 D. 3
4.曲线 = 在点(1, 1)处切线的斜率为( )
A. 1 B. 0 C. 1 D. 2
5.记 1 为等比数列{ }的前 项和，若 21 = 3， 4 = 6，则 4 =( )
A. 121 B. 53 C. 413 3 3 D.
40
3
6.6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排 2 名志愿者，乙、
丙场馆都至少安排 1 名志愿者，则不同的安排方法共有( )
A. 300 种 B. 210 种 C. 120 种 D. 60 种
7 1.已知函数 ( ) = 33 +
2 + 23在 = 1 处的切线与直线 = 1 平行，且在区间( 8, )内存在最小值，
则实数 的取值范围是( )
A. (1,9) B. [1,9) C. [3,9) D. (3,9]
8.为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，
1 1
否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为9，第二轮检测不合格的概率为10，两轮检测是否合
格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利 40 元，若产品不能销售，则每件产品亏损 80 元，
已知一轮中有 4 件产品，记一箱产品获利 元，则 ( ≥ 80)等于( )
A. 96 B. 256 608 209625 625 C. 625 D. 625
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
第 1页，共 9页
9.某中学高三年级学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩 与历史类班级女生的成绩 均服从正态
分布，且 ～ (75,81)， ～ (75,64)，则( )
A. ( ) = 75 B. ( ) = 8
C. ( < 60) + ( ≤ 90) = 1 D. ( ≤ 91) > ( ≤ 91)
10.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1，线段 1 1上有两个动点 ， ，且
2，则下列结论中正确的有( )
2
A.当点 运动时， 1 ⊥ 总成立
B.当 向 1运动时，二面角 逐渐变小
C.二面角 的最小值为 45°
D.三棱锥 的体积为定值
11.若 + 1 ≤ 0 对 ∈ (0, + ∞)恒成立，则 的值可能是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.数列{ }
1
满足 1 = 1， +1 = 1 ( ∈ +)，则 100 =______．
13.( + 2 )
7的展开式中 2的系数是______. (结果用数字作答)
2 214.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左右焦点分别为 1， 2，过 1的直线与双曲线 的右支相交于
点 ，分别过点 ， 2作直线 1的垂线，垂足分别为 ， ，且 为线段 的中点，| | = ，则此双曲线
的离心率为______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 2
已知 ， 是椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)
3
的右顶点和左焦点，椭圆 过点 (1, 2 )，且焦距为 2．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)直线 与 交于 点(不与 点重合)，求△ 的面积．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 1 22 ， ∈ ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若函数 ( )在[1, ]上恒小于 0，求 的取值范围．
第 2页，共 9页
17.(本小题 15 分)
2025 年是中国共产党成立的 104 周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共
分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个(决赛)环节，前两个环节是否通过
相互独立.只要一个环节失败，即终止比赛.现有 ， ， 三位同学参加比赛， 同学通过前两个环节的概率
2 1 2
分别为3和2， 同学和 同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为3．
(1)求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率；
(2)设进入决赛的同学人数为 ，求 的分布列与数学期望．
18.(本小题 17 分)
如图 1，正方形 的边长为 2，如图 2，将正方形 沿着对角线 翻折， 为原正方形 的中心．
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)翻折至四面体 的体积最大时．
(ⅰ)求异面直线 与 所成角的大小；
(ⅱ)求 与平面 所成的角的正弦值．
19.(本小题 17 分)
设 为正整数， 1， 2，… 为 枚质地不均匀的硬币.投掷硬币 ( = 1,2, …, )，设正面朝上的概率为 ，
反面朝上的概率为 1 .同时投出 枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功．
(1)当 = 3， =
1
3 ( = 1,2,3)时，求游戏成功的概率；
(2)当 =
1
3 ( = 1,2, , )时，设游戏成功的概率为

( ∈ )，求当 ≥ 2 时， 1与 的递推关系，并
证明{
1
2 }是等比数列；
(3)设 = 3 ( ∈ )，对于 = 1，2，…，3 ， 的取值如下：
第 3页，共 9页
1
3 ( = 1,2, …, )
=
2
3 ( = + 1, + 2, …, 2 )
1
( = 2 + 1,2 + 2, …, 3 )
1
设此时游戏成功的概率为 3 ，求证： 3 ≤ 2．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 1
13.14
14. 132
15.(1)因为焦距为 2 = 2，
所以 = 1，
3
因为椭圆 过点 (1, 2 )，
9
1
所以 2 +
4
2 = 1，
2 2 = 1
解得 2 = 4， 2 = 3，
2 2
则椭圆方程 4 + 3 = 1；
(2) 3因为 (1, 2 )， ( 1,0)，
0 +1
所以直线 方程为3 = 0 2+1，2
即 3 4 + 3 = 0，
3 4 + 3 = 0
联立 2 +
2 ，消去 并整理得 7 2 + 6 13 = 0，
4 3 = 1
13
解得 = 1 或 = 7，
第 5页，共 9页
| | = 1 + ( 3所以 )24 |1 +
13 25
7 | = 7，
(2,0) 9 9因为 到直线 的距离为 = ．
32+42 5
所以△ 1 25 9 45的面积 △ = 2 × 7 × 5 = 14．
2
16.(1) ( ) = ′ = ( > 0)．
当 ≤ 0 时， ′( ) < 0，此时函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减；
当 > 0 时，由 ′( ) = 0，得 = (舍)或 = ，
当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 ∈ ( , + ∞)时， ′( ) < 0， ( )单调递减．
综上可得：当 ≤ 0 时，函数 ( )在(0, + ∞)上单调递减；
当 > 0 时，函数 ( )在(0, )上单调递增，在( , + ∞)上单调递减；
(2)由(1)可得，若 ≤ 0 1，函数 ( )在[1, ]上单调递减，而 (1) = 2 < 0，符合题意；
1
当 > 0 时，由(1)知，若 ≤ 1，函数 ( )在[1, ]上单调递减，而 (1) = 2 < 0，符合题意；
若 1 < < 2， ( )在[1, ]上单调递增，在[ , ]上单调递减，
由 ( ) = ( ) =

2 < 0，解得 1 < < ，则 1 < < ；
2 2
当 ≥ 2 时， ( )在[1, ]上单调递增，由 ( ) = ( ) = 2 < 0，得 < 2，则 ∈ ．
综上，若函数 ( )在[1, ]上恒小于 0，则 的取值范围是( ∞, ]．
17.(1) 2 1根据题意， 同学通过前两个环节的概率分别为3和2，
2同学和 同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为3，
， ， 三位同学仅通过第一个环节的概率分别为：
= 21 3 × (1
1
2 ) =
1
3， =
2 2 2 2
2 3 × (1 3 ) = 9， 3 = 3 × (1
2
3 ) =
2
9，
所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为：
= 13 ×
2
9 × (1
2
9 ) +
1 × (1 2 ) × 23 9 9 + (1
1 2 2 4
3 ) × 9 × 9 = 27；
(2)记 ， ， 三位同学进入决赛分别为事件 1， 2， 3，则，
( 1) =
2 × 1 = 1 2 2 43 2 3， ( 2) = 3 × 3 = 9， ( 3) =
2
3 ×
2 = 43 9，
随机变量 可能的取值为：0，1，2，3，
第 6页，共 9页
( = 0) = 2 × 5 × 5 503 9 9 = 243，
( = 1) = 1 × 5 × 5 + 2 × 4 × 5 + 2 × 5 43 9 9 3 9 9 3 9 × 9 =
35
81，
( = 2) = 1 × 4 5 1 5 4 2 4 4 83 9 × 9 + 3 × 9 × 9 + 3 × 9 × 9 = 27，
( = 3) = 1 × 4 4 163 9 × 9 = 243，
故 的分布列为：
0 1 2 3
50 35 8 16
243 81 27 243
所以随机变量 的数学期望为 ( ) = 0 × 50 + 1 × 35 + 2 × 8 + 3 × 16 = 297243 81 27 243 243 =
11
9．
18.(1)证明：在图中，连接 ， ，
因为△ 和△ 都是等腰三角形，且 是正方形中心，
所以 ⊥ ， ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)在翻折过程中，四面体 的体积取最大值时， 点到平面 的距离最大，
此时平面 ⊥平面 ，
因为 ⊥ ，所以 ⊥平面 ．
所以 ， ， 两两垂直，如图，以 为坐标原点，
， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系．
因为正方形 的边长为 2，
所以 ( 2, 0,0)， (0,0, 2)， (0, 2, 0)， ( 2, 0,0)，
第 7页，共 9页
= ( 2, 0, 2)， = ( 2, 2, 0)，
设异面直线 与 所成角为 ，

则 = |cos < , > | = | | 1
| ||
= ，
| 2
因为 ∈ (0, 2 ]，所以 =

3．
(ⅱ)因为 = ( 2, 0, 2)， = ( 2, 2, 0)， = ( 2, 0, 2)，
设平面 的一个法向量 = ( , , )，
2 + 2 = 0
因为 = 0

，即 ，
= 0 2 + 2 = 0
令 = 1，则 = 1， = 1，得 = (1,1,1)，
设 与平面 所成角为 ，
= |cos < ,
> | =

= 2 2 = 6
| | | | 2 3 3
，
即 与平面 所成的角的正弦值为 6．
3
19.(1)当 = 3 时，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为 1 或 3，
1 2 1 13
此时，游戏成功的概率为： 13 3 ( 3 )
2 + ( )33 = 27；
(2) 1证明：设游戏成功的概率为 ，当 = 1 时， 1 = 1 = 3，接下来用 1表示 ，
当 ≥ 2 时，投掷 枚硬币 1， 2，…， 正面朝上的硬币为奇数有两种情况：
第一：硬币 1， 2，…， 1中正面朝上的硬币数为奇数时， 反面朝上；
第二：硬币 1， 2，…， 1中正面朝上的硬币数为偶数时， 正面朝上．
1
此时， = 1 (1 3 ) + (1
1 1 1
1) 3，所以 =

3 1 + 3 ( ≥ 2 且 ∈ )，
1 1则 2 = 3 ( 1
1 1 1 1 1 1
2 )，且 1 = 1 = 3，则{ 2 }是以 1 2 = 6为首项，3为公比的等比数列．
(3)证明：当 1 ≤ ≤ 1时，此时游戏成功的概率记为 ， 1 = 3 ．
(2) = (1 1 ) + (1 ) 1 1 2由 知： 1 3 1 3 ，则 2 = (1 3 )(
1
1 2 )，( ≥ 2)
1所以 2 = (1
2 ) 13 ( 1
1 1 2
2 ) = 2 (1 3 ) ，( ∈ )①
当 + 1 ≤ ≤ 2 2 2时， = 1(1 3 ) + (1 1) 3 ，
1则 2 2 = (1
4
3 )
1( +1
1
2 )，
2
注意到： +1 = (1 3 ) + (1 )
2 1 4 1 3 ，则 +1 2 = (1 3 )( 2 )，
第 8页，共 9页
故： 1 4 12 2 = (1 3 ) ( 2 )②
当 2 + 1 ≤ ≤ 3 1 1时， = 1(1 ) + (1 1) ，
1 = (1 6则： ) 3 2 3 ( 2
1
2 )③.
1 2 1 2 4 1 1 2
结合①②③： = (1 ) ( ) = (1 ) (1 ) ( ) = (1 ) 2 3 2 2 2 3 2 2 3 (1 ) (1
4
3 )
由于 ∈ ，当 = 1 2 2 4 1时，(1 3 ) > 0，(1

) < 0，(1

3 ) < 0，则 3 < 2；
2 1
当 = 2 时，(1 ) = 0，则 3 = 2；
当 ≥ 3 2时，(1 ) 3 > 0，(1
2 ) > 0
4 1
，(1 3 )
> 0，则 3 < 2．
1
综上：对任意的 ∈ ， 3 ≤ 2成立．
第 9页，共 9页

展开更多......

收起↑