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2024-2025 学年甘肃省庆阳市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = { | = }, = { | 2 ≤ ≤ 1}，则 ∩ =( )
A. { |0 < ≤ 1} B. { |0 ≤ ≤ 1} C. { | 2 ≤ ≤ 1} D. { | ≤ 1}
2.(9 + 5 )(2 7 )的虚部为( )
A. 43 B. 53 C. 53 D. 53
3.函数 ( ) = cos(2 6 )， ∈ 的最小正周期为( )
A. B. 4 2 C. D. 2
4.等差数列{ }的前 项和为 ，若 9 = 54，则 2 + 8 =( )
A. 18 B. 24 C. 12 D. 32
2 2
5 2.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的顶点到渐近线的距离为实轴长的5，则双曲线 的离心率为( )
A. 43 B.
2 3
3 C.
5
3 D. 3
6 2.( )10 的展开式中
6的系数为( )
A. 180 B. 180 C. 960 D. 960
7.某机构对 2024 年某地销售的新能源汽车的销售价格与销售数量进行统计，销售价格都不小于 5 万元，且
小于 30 万元，销售价格分为五组：[5,10)，[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)(单位：万元).统计后制成
如图所示的频率分布直方图，则销售价格的 80%分位数为( )
A. 26 B. 23 C. 21 D. 19
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8.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 ′( )是 ( )的导函数， ′′( )是 ′( )
的导函数，则曲线 = ( ) | ″( )|在点( , ( ))处的曲率 = 3 .曲线 = 2 在点(0, (0))处的曲率
(1+( ′( ))2)2
为( )
A. 4 5 525 B. 2 C. 5 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线
性相关系数分别为 1 = 0.95， 2 = 0.88， 3 = 0.9， 4 = 0.93，则( )
A.这四人中，丁研究的两个随机变量的线性相关程度最高
B.这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低
C.这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高
D.这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最低
10.已知函数 ( ) = 3 + 3 2 + 2 + 9，若 ( )有两个极值点，则实数 的取值可能是( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 2
11.已知 = ( 1)是定义在 上的奇函数，且 ( + 2) = (2 )，当 ∈ ( 1,2]时， ( ) = 2 + 2，则
( )
A.点( 1,0)为 ( )图象的一个对称中心 B. ( 1) = 32
C. ( )的一个周期为 12 D. (2025) = 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在△ 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，已知 = 4， = 2 2， = 4，则 = ______．
13.已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)的焦点为 ， (1,4)为抛物线 内侧一点， 为 上一动点，| | + | |
的最小值为 10，则 = ______．
14.设等比数列{ }

的前 项和为 8 12 ，若 = 6，则 = ______．4 4
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在数列{ }中， 1 = 3， +1 = 2 + 3．
(1)求 ；
(2)设 =
1
，求数列{ }的前 项和 ．
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16.(本小题 15 分)
3
已知函数 ( ) = 2 +
2 + 2．
(1)若曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程为 3 + = 0，求 ， ；
(2)若 ( )有三个零点，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知正方形 ，沿 将△ 折起到△ 的位置(如图)， 为△ 的重心．
(1)在 边上找一点 ，使得 //平面 ，并求出 的值．
(2)在(1)的条件下，设 ⊥ ．
①证明：平面 ⊥平面 ．
②求平面 与平面 所成角的余弦值．
18.(本小题 17 分)
2 2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为3，左、右焦点分别为 1， 2，过点 2且垂直于 轴的直线
10
被椭圆 所截得的线段长为 3．
(1)求椭圆 的方程；
(2)直线 = ( ≠ 0)与椭圆 交于 ， 两点，连接 1，交椭圆 于点 ，若△ 的面积为 5，求直线
的方程．
19.(本小题 17 分)
在一次闯关游戏中，某一关有 ， ， 三道题.将这三道题按一定顺序排好后(如第一道题为 题，第二道题
为 题，第三道题为 题)，玩家开始答题.若第一道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第
二道题；若第二道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第三道题；若第三道题答对，则通
过本关，若没有答对，则没有通过本关.假设每名玩家答对 ， ， 三道题的概率分别为 0.2，0.3，0.5.每次
答题正确与否相互独立．
(1)求玩家通过这一关的概率．
(2)规定：答对 题积 30 分，答对 题积 20 分，答对 题积 10 分.现有两种题序可供选择：①第一道题为
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题，第二道题为 题，第三道题为 题；②第一道题为 题，第二道题为 题，第三道题为 题.为了在本关中
得到更多的积分，应该选择哪种题序？
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 6
13.12
14.31
15.(1)根据题意， = 1 + ( 2 1) + ( 3 2) + + ( 1)，
所以 = 3 + [5 + 7 + 9 + + (2 + 1)] =
[3+(2 +1)]
2 =
2 + 2 ( ≥ 2)，
又 1 = 3 满足上式，所以 2 = + 2 ；
(2) 1 1 1 1 1因为 = = ( +2) = 2 ( +2 )，
= 1 1所以 2 (1 3 +
1 1+ + 1 1 ) = 12 4 +2 2 (1 +
1 1 1
2 +1 +2 )
即 =
3
4
2 +3
2( +1)( +2)．
3
16.(1)因为 ( ) = + 22 + 2，
3
所以 ′( ) = 22 + 2 ，
7 7
因为 (1) = 2 ， ′(1) = 2 ，
7 = 3
所以 27 ，
2 = 3 +
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1
解得 = 2；
= 0
(2)因为 ( )有三个零点，
3
即 2 有三个解，
2 + + 2 = 0
显然 = 0 不是函数的零点，
2所以关于 的方程
2 + +
2 = 0 有三个不同的根，
2
即曲线 = + + 2与直线 = 有三个交点．2
2
令 ( ) = 2，2 + +
( ) = + 1 2 =
3+ 2 2 3 2 2
则 ′ 2 2 =
( 1)+( 1) ( 1)( +2 +2)
，
2 = 2
因为 2 + 2 + 2 > 0，
所以当 ∈ ( ∞,0)，(0,1)时， 1 < 0， ′( ) < 0；
当 ∈ (1, + ∞)时， 1 > 0， ′( ) > 0，
所以 ( )在( ∞,0)，(0,1)上单调递减，在(1, + ∞)上单调递增．
7 7
因为 (1) = 2，所以当 > 2时，直线 = 与曲线 = ( )有三个交点，
7
故实数 的取值范围是( 2 , + ∞)．
17. (1) / / 2解： 当 平面 时， = 3．
证明如下：取 的中点 ，连接 ， ， ，
因为 为△ 2的重心，所以 = = 3，
所以 / / ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 / /平面 ．
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(2)①证明：取 的中点 ，连接 ， ， ，则 ⊥ ， ⊥ ，
因为 / / ， ⊥ ，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以平面 ⊥平面 ．
②由①知，直线 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点， ， ， 的方向分别为 轴， 轴， 轴的正方向，建立空间直角坐标系，
不妨设正方形 的边长为 6，
则 (3 2, 0,0)， (0,3 2, 0)， ( 3 2, 0,0)， ( 2, 2 2, 0)， (0,0, 2)， (0,0,3 2)，
连接 ， ，可得 = (4 2, 2 2, 0)， = ( 3 2, 0, 3 2)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
= 4 2 + 2 2 = 0
则 ，
= 3 2 3 2 = 0
令 = 1，得 = (1, 2, 1)，
平面 的一个法向量为 = (1,0,0)，
设平面 与平面 所成的角为 ，
= |cos < , > | = | | 1 6则 | | | | = 6 = 6 ，
所以平面 与平面 所成角的余弦值为 6．
6
18.解：(1) ∵ 10过点 2且垂直于 轴的直线被椭圆 所截得的线段长为 3，
∴ 2
2
= 10 3
2 = 53 ，
∵ 2 4椭圆的离心率 = = 3
2 = 29 ，
又∵ 2 = 2 + 2，
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2 = 53
故可列方程组为 2 = 4 2 ，9
2 = 2 + 2
解得 2 = 9， 2 = 5，
2 2
故椭圆 的方程为 9 + 5 = 1．
(2)由题意知，直线 不垂直于 轴，∵直线 经过 1( 2,0)，
设直线 的方程为 = 2， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= 2,
联立 2 2 ，
9 + 5 = 1
得(5 2 + 9) 2 20 25 = 0，
20 25
由韦达定理得， 1 + 2 = 5 2+9， 1 2 = 5 2+9，
∴ | | = ( 2 + 1)[( 22 + 1) 4 2 1]
2
= ( 2 + 1)[( 20 2 100 30( +1)5 2+9 ) + 5 2+9 ] = 5 2+9 ．
∵点 (坐标原点)到直线 的距离 = 2 ，
2+1
且 是线段 的中点，所以点 到直线 的距离为 2 ，
1 2 2∴ △ = 2 | | 2 =
30( +1) 2 60 +1
5 2+9 = ． 2+1 5 2+9
60 2+1
由 5 2+9 = 5 12
2 + 1 = 5 2 + 9，
令 2 + 1 = ，
则 2 = 2 1，
上式变为 12 = 5( 2 1) + 9，
2
解得 = 2 或 = 5，
即 2 = 3 21或 2 = 25 (舍去)，
∴ =± 3，
故直线 的方程为 3 + 2 = 0 或 + 3 + 2 = 0．
19.(1)设通关概率为 ( )，未通关概率为 ( )：
则 ( ) = (1 0.2) × (1 0.3) × (1 0.5) = 0.28，
那么， ( ) = 1 ( ) = 1 0.28 = 0.72，
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故玩家通过这一关的概率为 0.72；
(2)计算两种答题顺序的期望积分：
顺序① → → ：
答对 题：30 × 0.2，答错 答对 ：20 × 0.8 × 0.3，答错 、 答对 ：10 × 0.8 × 0.7 × 0.5
期望总积分①：= 30 × 0.2 + 20 × 0.8 × 0.3 + 10 × 0.8 × 0.7 × 0.5 = 13.6，
顺序② → → ：
答对 ：10 × 0.5，答错 答对 ：20 × 0.5 × 0.3，答错 、 答对 ：30 × 0.5 × 0.7 × 0.2，
期望总积分②：= 10 × 0.5 + 20 × 0.5 × 0.3 + 30 × 0.5 × 0.7 × 0.2 = 10.1，
比较结果大小：13.6 > 10.1
故应选择题序①．
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