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2024-2025 学年河北省唐山市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数(2 + ) 的虚部为( )
A. 2 B. 2 C. 1 D.
2.已知向量 = ( + 1,1)， = (3, 3)，若 / / ，则 =( )
A. 2 B. 2 C. 12 D.
1
2
3.某公司生产 ， ， 三种不同型号的电子产品，产量分别为 100，400，300 件，为检验不同产品的质量，
现用分层抽样的方法从以上产品中抽取 40 件进行检验，则应从 种型号的产品中抽取的件数为( )
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
4.已知圆台上、下底面的半径分别为 1 和 2，高为 1，则该圆台的体积为( )
A. 2 B. 73 C.
8
3 D. 3
5 2 2.唐山河头老街景区近期持续火爆出圈，甲、乙 2 人暑假来此地旅游的概率分别为5 , 3，假定 2 人的行动相
互没有影响，则暑假至少有 1 人来此地旅游的概率为( )
A. 15 B.
4 C. 2 45 15 D. 15
6 .在△ 中，已知 = 4， = 2， = 2，则 为( )
A. 6 B.
2 5
3 C. 3 D. 6
7.某小组有 4 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个
事件的是( )
A.至少有 1 名男生和至少有 1 名女生 B.至少有 1 名男生和全是男生
C.至少有 1 名男生和全是女生 D.恰有 1 名男生和恰有 2 名男生
8.已知直四棱柱 1 1 1 1的棱长均为 2，∠ = 3，设 ， 分别是相邻两个面的对角线所在的直
线，则 与 所成角的余弦值不可能为( )
A. 14 B.
2
4 C.
3 6
4 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在△ 中， 为边 的中点，则( )
A. = B. = +
C. = + D. =
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10 2.已知复数 = 1 ，则( )

A. 1 是纯虚数 B. 表示的点在第四象限
C. | | = 2 D. 是方程 2 + 2 + 2 = 0 的一个根
11.在△ 中， = 3， = 4， = 5，分别以边 ， ， 所在的直线为轴，其余各边旋转一周形
成的曲面围成 3 个几何体，分别记为 1， 2， 3，则( )
A.几何体 1侧面积为 20
B.几何体 2与几何体 3的体积之比为 5：3
C.几何体 1与几何体 3的外接球半径之比为 5：3
D.过几何体 1顶点的平面截 1所得的截面面积最大值为 12
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.数据：1，2，3，3，5 的第 50 百分位数是______．
13.某学校为了解高一学生每周的课余锻炼时间，统计数据如下：高一男生锻炼时长平均为 4.2 小时，方差
为 1.96；
高一女生锻炼时长平均为 3.7 小时，方差为 1.91，高一年级男生女生人数之比为 3：2，则该校高一学生每
周平均锻炼时长的方差为______．

提示： 2 = 2 + [ 1 + ( )
2] + 2 2 + [ 2 + ( ) ]
14 △ 2 .在 中，已知 = ，角 的内角平分线交 于点 ，且 = 6，则 4 + 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知平面向量 与 的夹角为 45°，且| | = 1，| | = 2．
(1)求 ；
(2)求| + 2 |；
(3)若 + 2 与 垂直，求 的值．
16.(本小题 15 分)
如图，四棱锥 的底面是正方形， ⊥平面 ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)若 = 1，直线 与平面 所成的角为 60°，求四棱锥 的体积．
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17.(本小题 15 分)
2025 年 5 月 22 日 16 时 49 分，神舟二十号航天员陈冬、陈中瑞、王杰完成首次出舱任务，历时约 8 小
时.安全返回天和核心舱.为了弘扬航天精神，某校组织高一学生进行了航天知识能力测试.现随机抽取 100
名学生的测试成绩(单位：分)，将所得数据按照[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分
成 6 组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中 的值；
(2)试估计本次航天知识能力测试成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)；
(3)该校准备对本次航天知识能力测试成绩不及格(60 分以下)的学生，采用分层随机抽样方法抽出 5 名同学，
再从抽取的这 5 名同学中随机抽取 2 名同学进行情况了解，求这 2 名同学分数在[40,50)，[50,60)各一人的
概率．
18.(本小题 17 分)
如图，已知三棱柱 1 1 1的底面是正三角形，侧面 1 1 ⊥平面 . ， 分别是棱 ， 1 1的中
点．
(1)求证： //平面 1 1；
(2)若 = 1 = 2，∠ 1 =

3，求二面角 1 的正切值．
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19.(本小题 17 分)
某小区拟在一个圆形的空地上，规划一个形状为四边形的花园.如图，四边形 内接于圆 ，△ 为草
坪区，△ 为花卉区，根据规划已知 = 120 米， = 80 米，∠ = 60°．
(1)当∠ = 45°时，求边 的长；
(2)取 的中点 ，连接 ，求小径 的长；
(3)若小径从 点直通 点，当线段 最长时，求花卉区△ 的面积．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.2
14.18 3
15.(1)已知平面向量 与 的夹角为 45°，且| | = 1，| | = 2，
则 = | || | 45° = 1 × 2 × 22 = 1；
2
(2)| + 2 | = 2 + 4 + 4 = 1 + 4 + 8 = 13；
2
(3)由题意可知，( + 2 ) ( ) = 2 + (2 ) 2 = 0，
即12 + (2 ) × 1 4 = 0，
3
解得： = 5．
16.(1)证明：因为四棱锥 的底面是正方形，所以 ⊥ ，
又 ⊥平面 ， 平面 ，所以 ⊥ ，又 ∩ = ，
所以 ⊥平面 ；
(2)因为 ⊥平面 ，所以直线 与平面 所成的角为∠ = 60°，
又易知 = 2，所以 = 3 = 6，
所以四棱锥 1 6的体积为3 × 1 × 1 × 6 = 3 ．
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17.(1)由题意可得(0.010 + 0.015 + 0.015 + + 0.025 + 0.005) × 10 = 1，解得 = 0.03；
(2)估计本次航天知识能力测试成绩的平均数为：
(0.010 × 45 + 0.015 × 55 + 0.015 × 65 + 0.03 × 75 + 0.025 × 85 + 0.005 × 95) × 10 = 71；
(3)因为[40,50)，[50,60)的频率比为 0.010：0.015 = 2：3，
设抽取的 5 人中[40,50)有 2 人为 ， 、[50,60)有 3 人为 ， ， ，
任抽 2 人有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 10 种情况，
其中分数在[40,50)，[50,60)各一人有 ， ， ， ， ， ，共 6 种情况，
6 3
故所求为10 = 5．
18.(1)证明：取 1 1中点 ，连接 ， ，
由 是 1 1的中点，
1
所以 // 1 1// , = 2 1 1 = ，
所以四边形 是平行四边形，所以 // ，
又因为 平面 1 1且 平面 1 1，
所以 //平面 1 1．
(2)在平面 1 1内过点 1作 1 ⊥ 于 ，
因为平面 1 1 ⊥平面 ，侧面 1 1 ∩平面 = ，
所以 1 ⊥平面 ，因为 平面 ，所以 1 ⊥ ，
在平面 内过 作 ⊥ 于 ，连接 1 ，
又因为 1 ∩ = ， 1 ， 平面 1 ，
所以 ⊥平面 1 ，
又因为 1 平面 1 ，所以 ⊥ 1 ，
所以∠ 1 是二面角 1 的平面角，
因为 = 1 = 2

，∠ 1 = 3，
所以 1 = 2

3 = 3, = 1， =

3 =
3，
2
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所以 tan∠ 1 =
1
= 2，
所以二面角 1 的正切值为 2．
19.(1)四边形 内接于圆 ，∠ = 60°，则∠ = 120°，
1
在△ 中，用余弦定理： 2 = 2 + 2 2 ∠ ，代入 = 120， = 80， 60° = 2，
得 2 = 1202 + 802 2 × 120 × 80 × 12 = 11200，所以 = 40 7，
在△ 中，用正弦定理sin∠ = sin∠ ，∠ = 45°， 120° =
3 2
2 ， 45° = 2 ，
2
= 45°
40 7× 2 40 14 40 42则 120 = 3 = 3 = 3 (米)．
2
(2) 是 中点， = 12 (
+ )，
| |2 = 1 ( +
2 2
4 )
2 = 14 (
+ + 2 )，
2 2
= 2 = 1202， = 2 = 802， = ∠ = 120 × 80 × 12．
代入得| |2 = 1 2 24 (120 + 80 + 2 × 120 × 80 ×
1
2 )，所以| | = 20 19(米)．
(3) 最长时为圆 直径．在△ 中，由正弦定理 = 2 = sin∠ ( 为圆半径)，
= 40 7， 60° = 3 40 7 80 212 ，得 = 3 = 3 ，
2
△ 2 = 2 2 2 = 25600 = 160在 中， ，代入得 3 ， 3；
在 △ 中， 2 = 2 2 1600 40，得 2 = 3 ， = 3，
△ 1面积 = 2 120°
1 40 160 3 1600 3
，代入得 = 2 × 3 × 3 × 2 = 3 (平方米)．
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