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2024-2025学年湖南省永州四中直升班高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列，中，，，，，若，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数为的定义域为，，且当时，，则下列结论中一定正确的是( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.甲、乙、丙、丁共名同学进行党史知识比赛，决出第名到第名的名次名次无重复，其中前名将获得参加市级比赛的资格．甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有获得参加市级比赛的资格．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从这两个回答分析，人的排名有种不同情况．
A. B. C. D.
5.已知集合，若集合有且仅有个子集，则的取值是( )
A. B. C. ， D. ，，
6.已知，则下列不等关系正确的是( )
A. B. C. D.
7.若对任意的，恒成立，则实数的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，有且只有一个负整数，使成立，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知点关于直线的对称点在直线上，则实数的值为( )
A. B. C. D.
10.已知点和，则过点且与，的距离相等的直线方程为( )
A. B. C. D.
11.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是他们的一个公共点，且，则以下结论正确的是( )
A. B.
C. D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若随机变量，，则______．
13.已知中，点在边上，，，当取得最小值时，______．
14.在各棱长均相等的正四面体中，取棱上一点，使，连接，，三棱锥的内切球的球心为，三棱锥的内切球的球心为，则平面与平面的夹角的正弦值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，直线，分别与轴交于点，当时，求的值．
16.本小题分
已知一个黑色袋子里装有个红球，个白球，这些球除颜色不同外，其余均相同，甲同学每次从袋子中任取一个球，不放回，直到把两个红球都取出来即终止，记此时袋子里剩余球的个数为．
求甲同学取球两次即终止的概率；
求随机变量的分布列及期望．
17.本小题分
如图，我们把由平面内夹角成的两条数轴，构成的坐标系，称为“完美坐标系”设，分别为，正方向上的单位向量，若向量，则把实数对叫做向量的“完美坐标”．
若向量的“完美坐标”为，求；
已知，分别为向量，的“完美坐标”，证明：；
若向量，的“完美坐标”分别为，，设函数，，求的值域．
18.本小题分
设函数的定义域为，其导函数为，区间是的一个非空子集若对区间内的任意实数，存在实数，使得，且使得成立，则称函数为区间上的“函数”．
判断函数是否为上的“函数”，并说明理由；
若函数是上的“函数”．
(ⅰ)求的取值范围；
(ⅱ)证明：，．
19.本小题分
定义：若函数与在公共定义域内存在使得，则称与为“契合函数”．
判断函数和是否为“契合函数”；
若函数和不为“契合西数”，求的取值范围；
若函数和在区间上为“契合函数”，求的取值范围．
参考答案
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15.解：Ⅰ由题意得，
，，，，
椭圆的方程为．
Ⅱ设过点的直线为，，，
联立得，即，
直线与椭圆相交，，，
由韦达定理得，，
，直线为，
令，则，，同理，
，
，，
．
16.设甲同学取球两次即终止为事件，
则；
的可能取值为，，，，，
则，，
，，
，
随机变量的分布列为：


．
17.解：因为的“完美坐标”为，则，
又因为，分别为，正方向上的单位向量，且夹角为，
所以，，
所以．
证明：由知，，，
所以
，
即．
因为向量，的“完美坐标”分别为，，
由得．
令，则，
因为，所以，即，
令，
所以当时，取得最小值，
当时，取得最大值，
所以的值域为．
18.解：因为，则，
因为，．
又，所以，
所以对于任意恒成立．
故是上的“函数”．
，
由条件得对任意的恒成立，
即任意的恒成立．
当时，对一切成立．
当时，恒成立．
设，则对任意的恒成立，
所以在上单调递减，可得．
当时，由恒成立．
设，则，所以在上单调递减，
可得．
综上所述，的范围是．
(ⅱ)证明：由(ⅰ)知，．
对，．
下面证：，，
即证，．
设，则，所以在上单调递增，
又，所以成立．
所以时，不等式成立．
所以，成立．
19.解：根据定义，若与为“契合函数”，则在公共定义域内有解．
即，，解得，
所以与为“契合函数”．
令，，
因为与不为“契合函数，又为上的连续函数，
所以在上无零点，即恒为负或恒为正．
若在上恒成立，则，即，
又当时，，
令，所以，
令，解得，单调递增，令，解得，单调递减，
所以，所以，与假设矛盾，
所以不存在使得在上恒成立．
若在上恒成立，即，
令，所以，
又在上单调递减，，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以，
所以，即的取值范围是．
令，
由题意可得，在上存在零点，
即在上存在零点．又因为，
当且时，因为，，所以，所以在上单调递增，则，
此时在上不存在零点，不满足题意；
当时，当时，，所以，
当时，令，则，
所以在上单调递增，且，故在上存在唯一零点，设为，使得，
所以当时，；当时，；
又当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以在上存在唯一极小值点，
因为，所以，又因为，所以在上存在唯一零点，
所以函数与在上为“契合函数”．
综上，的取值范围是．
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