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2024-2025学年宁夏吴忠市盐池县高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.某校高三年级共有人，其中男生人，女生人，某次考试结束后，学校采用按性别分层随机抽样的方法抽取容量为的样本，已知样本中男生比女生人数多人，则( )
A. B. C. D.
3.设，，是互不重合的平面，，是互不重合的直线，给出下面四个说法：
若，，则；
若，，则；
若，，则；
若，，，则．
其中所有错误说法的序号是( )
A. B. C. D.
4.已知，，与的夹角为，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.经过简单随机抽样获得的样本数据为，，，，且数据，，，的平均数为，方差为，则下列说法正确的是( )
A. 若，则所有的数据都为
B. 若，则的平均数为
C. 若，则的方差为
D. 若该组数据的分位数为，则可以估计总体中至少有的数据不大于
6.如图，在正四棱锥中，，为棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值( )
A.
B.
C.
D.
7.如图，在中，，，为上一点，且满足，若的面积为，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
8.在正三棱锥中，，如图，首先将一半球水平放置于三棱锥内部，其球心与的中心重合，随后将另一小球放置于该半球正上方，使得该小球与正三棱锥的三个侧面均相切，则半球球面面积不包括底面积和小球表面积之和最小时，小球的半径为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，则下列结论正确的是( )
A. 若为纯虚数，则
B. 若在复平面内对应的点位于第四象限，则
C. 若，则
D. 若，则
10.一个正四面体形的骰子，四个面分别标有数字，，，，先后抛掷两次，每次取着地的数字甲表示事件“第一次抛掷骰子所得数字是”，乙表示事件“第二次抛掷骰子所得数字是”，丙表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是”，丁表示事件“两次抛掷骰子所得数字之和是”，则下列说法正确的是( )
A. 甲发生的概率为
B. 乙发生的概率为
C. 甲与丙相互独立
D. 丙与丁相互独立
11.如图，在正四棱台中，，则下列说法正确的是( )
A. 该四棱台的高为
B. 二面角的大小为
C. 若点在四边形内，，则动点的轨迹长度是
D. 若点在内部含边界，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.某圆锥的侧面积为，母线长为，则该圆锥的高为______．
13.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了局结束比赛的概率为______．
14.在中，内角，，的对边分别为，，，且，则______；若，，所在平面内的一点满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量，且与的夹角为．
求；
若与的夹角．
16.本小题分
为了解中学生的体育锻炼情况，调查小组在某中学随机抽取了名学生，统计了他们某一周的综合体育活动时间单位：时，并按照，，，，，将样本数据分成组，制成如图所示的频率分布直方图．
补全频率分布直方图，并估计该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数；
利用频率估计概率，若从该校随机抽取两名学生，且两名学生的体育活动情况互不影响，求这两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于小时的概率．
17.本小题分
如图，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
如图，内角，，的对边分别为，，，为边上一点，且，．
已知．
(ⅰ)求的值；
(ⅱ)若，求的面积；
求的最小值．
19.本小题分
唐代诗人温庭筠的新添声杨柳枝词二首中写道“玲珑骰子安红豆，入骨相思知不知”，表达了诗人的相思之情为迎接七夕，某超市购进了一批“玲珑骰子”如图所示：棱长为的水晶正八面体八个面都是全等的正三角形，中间的球体部分是被挖空的表面不被破坏，并嵌入了红豆．
当给红豆留出最大空间时，求骰子中间被挖空的球体的表面积．
超市推出一项活动，在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，能构成等边三角形即可获得“花好”卡片，能构成直角三角形即可获得“月圆”卡片甲乙两人每人抽取一次抽取结果互不影响，求两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率．
若点为中球面上的任一点，设，，，二面角的平面角为，求证：为定值．
参考答案
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13.
14.
15.由和的夹角为，
则，；
；
，
所以与的夹角为．
16.第五组的频率为，
所以该组对应的小矩形高度为，
故补全频率分布直方图如下：
设样本数据的中位数为，平均数为．
因为样本数据在的频率为，
样本数据在的频率为，
则，所以，解得，
，
由样本估计总体，该校学生每周综合体育活动时间的中位数与平均数分别为和．
由频率分布直方图可估计该校学生每周综合体育活动时间不低于小时的频率为．
记事件“抽取的第名学生每周综合体育活动时间不低于小时”，
“抽取的第名学生每周综合体育活动时间不低于小时”，
由题意，相互独立．
利用频率估计概率，．
记事件“抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于小时”，
则
．
所以抽取的两名学生中至少有一人每周综合体育活动时间不低于小时的概率为．
17.Ⅰ证明：连接，设，连接，
由题意可得为的中点，而为的中点，
所以，
而平面，平面，
所以平面；
Ⅱ证明：因为侧棱底面，
可得平面平面，平面平面，
又因为，为的中点，所以，
平面，
所以平面；
Ⅲ解：由Ⅱ可得为直线与平面所成角，
可得，
因为，，
所以，，
所以，
又因为，
可得．
18.解：因为，，，
所以，，
所以，
注意到，，
故，
故，
可得；
(ⅱ)由知，，
，
，
，
由，得，
故．
，
令，
可得，当且仅当时，等号成立，
故的最小值为．
19.设被挖空的球体的半径为球心为，根据题意，
当球体为正八面体的内切球时，留给红豆的空间最大，
此时设四棱锥的高为，则．
所以，
正八面体每个面的面积是，
由，
得，
解得，
所以．
在“玲珑骰子”的所有顶点中每次随机抽取三个不同的顶点，
该试验的样本空间，，，，，，
，，，，，，，
，，，，，，，
共个样本点，所以，
每种选择是等可能的，因此这个实验是古典概型，
设事件甲获得“花好”卡片，事件乙获得“花好”卡片，
，，，，，，，，
所以，从而．
设事件甲获得“月圆”卡片，事件乙获得“月圆”卡片，
任取三个顶点构成三角形，除等边三角形外，其余全部为直角三角形，
所以，从而．
记两人所获得卡片能凑成“花好月圆”为事件，
，且与互斥，根据概率的加法公式和事件的独立性定义，
得，
因此甲乙两人所获得的卡片能凑成“花好月圆”的概率为．
证明：过点做交或其延长线于点，
过点做交或其延长线于点，
则，，，，
为二面角的平面角，
在中，，
在中，，
由得，
从而，
所以，
即，
所以为定值．
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