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2024-2025学年湖南省娄底一中高二（下）期末数学试卷（A卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.关于样本相关系数，下列说法正确的是( )
A. 样本相关系数
B. 当样本相关系数时，称成对数据成正相关
C. 两个随机变量线性相关越弱，则相关系数越接近
D. 两个随机变量线性相关越强，则相关系数越接近
2.已知等差数列的公差为，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，，则向量与的夹角是( )
A. B. C. D.
4.曲线在点处切线的斜率为( )
A. B. C. D.
5.记为等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. D.
6.名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排名志愿者，乙、丙场馆都至少安排名志愿者，则不同的安排方法共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7.已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.为了保障我国民众的身体健康，产品在进入市场前必须进行两轮检测，只有两轮都合格才能进行销售，否则不能销售，已知某产品第一轮检测不合格的概率为，第二轮检测不合格的概率为，两轮检测是否合格相互之间没有影响，若产品可以销售，则每件产品获利元，若产品不能销售，则每件产品亏损元，已知一轮中有件产品，记一箱产品获利元，则等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某中学高三年级学生参加体育测试，其中物理类班级女生的成绩与历史类班级女生的成绩均服从正态分布，且，，则( )
A. B.
C. D.
10.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，，且，则下列结论中正确的有( )
A. 当点运动时，总成立
B. 当向运动时，二面角逐渐变小
C. 二面角的最小值为
D. 三棱锥的体积为定值
11.若对恒成立，则的值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列满足，，则______．
13.的展开式中的系数是______结果用数字作答
14.已知双曲线的左右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支相交于点，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，且为线段的中点，，则此双曲线的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，是椭圆的右顶点和左焦点，椭圆过点，且焦距为．
求椭圆的标准方程；
直线与交于点不与点重合，求的面积．
16.本小题分
已知函数，．
讨论的单调性；
若函数在上恒小于，求的取值范围．
17.本小题分
年是中国共产党成立的周年，某校为传承和弘扬革命精神特举行“党史知识”竞赛，本次比赛共分三个环节，每位参赛同学必须前两个环节均通过才有机会进入最后一个决赛环节，前两个环节是否通过相互独立只要一个环节失败，即终止比赛现有，，三位同学参加比赛，同学通过前两个环节的概率分别为和，同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为．
求恰有两位同学仅通过第一个环节的概率；
设进入决赛的同学人数为，求的分布列与数学期望．
18.本小题分
如图，正方形的边长为，如图，将正方形沿着对角线翻折，为原正方形的中心．
证明：平面；
翻折至四面体的体积最大时．
(ⅰ)求异面直线与所成角的大小；
(ⅱ)求与平面所成的角的正弦值．
19.本小题分
设为正整数，，，为枚质地不均匀的硬币投掷硬币，设正面朝上的概率为，反面朝上的概率为同时投出枚硬币，当正面朝上的硬币数为奇数时，即为游戏成功．
当，时，求游戏成功的概率；
当时，设游戏成功的概率为，求当时，与的递推关系，并证明是等比数列；
设，对于，，，，的取值如下：
设此时游戏成功的概率为，求证：．
参考答案
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14.
15.因为焦距为，
所以，
因为椭圆过点，
所以，
解得，，
则椭圆方程；
因为，，
所以直线方程为，
即，
联立，消去并整理得，
解得或，
所以，
因为到直线的距离为．
所以的面积．
16.．
当时，，此时函数在上单调递减；
当时，由，得舍或，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减．
综上可得：当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减；
由可得，若，函数在上单调递减，而，符合题意；
当时，由知，若，函数在上单调递减，而，符合题意；
若，在上单调递增，在上单调递减，
由，解得，则；
当时，在上单调递增，由，得，则．
综上，若函数在上恒小于，则的取值范围是．
17.根据题意，同学通过前两个环节的概率分别为和，
同学和同学前两个环节中通过每一个环节的概率均为，
，，三位同学仅通过第一个环节的概率分别为：
，，，
所以恰有两位同学仅通过第一个环节的概率为：
；
记，，三位同学进入决赛分别为事件，，，则，
，，，
随机变量可能的取值为：，，，，
，
，
，
，
故的分布列为：
所以随机变量的数学期望为．
18.证明：在图中，连接，，
因为和都是等腰三角形，且是正方形中心，
所以，，，，平面，
所以平面．
在翻折过程中，四面体的体积取最大值时，点到平面的距离最大，
此时平面平面，
因为，所以平面．
所以，，两两垂直，如图，以为坐标原点，
，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系．
因为正方形的边长为，
所以，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
则，
因为，所以．
(ⅱ)因为，，，
设平面的一个法向量，
因为，即，
令，则，，得，
设与平面所成角为，
，
即与平面所成的角的正弦值为．
19.当时，要使游戏成功，需满足正面朝上的数量为或，
此时，游戏成功的概率为：；
证明：设游戏成功的概率为，当时，，接下来用表示，
当时，投掷枚硬币，，，正面朝上的硬币为奇数有两种情况：
第一：硬币，，，中正面朝上的硬币数为奇数时，反面朝上；
第二：硬币，，，中正面朝上的硬币数为偶数时，正面朝上．
此时，，所以且，
则，且，则是以为首项，为公比的等比数列．
证明：当时，此时游戏成功的概率记为，．
由知：，则，
所以，
当时，，
则，
注意到：，则，
故：
当时，，
则：
结合：
由于，当时，，，，则；
当时，，则；
当时，，，，则．
综上：对任意的，成立．
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