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2024-2025学年甘肃省庆阳市高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则( )
A. B. C. D.
2.的虚部为( )
A. B. C. D.
3.函数，的最小正周期为( )
A. B. C. D.
4.等差数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为实轴长的，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
6.的展开式中的系数为( )
A. B. C. D.
7.某机构对年某地销售的新能源汽车的销售价格与销售数量进行统计，销售价格都不小于万元，且小于万元，销售价格分为五组：，，，，单位：万元统计后制成如图所示的频率分布直方图，则销售价格的分位数为( )
A. B. C. D.
8.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率曲线在点处的曲率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙、丙、丁各自研究两个随机变量的数据，甲、乙、丙、丁计算得到各自研究的两个随机变量的线性相关系数分别为，，，，则( )
A. 这四人中，丁研究的两个随机变量的线性相关程度最高
B. 这四人中，乙研究的两个随机变量的线性相关程度最低
C. 这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最高
D. 这四人中，甲研究的两个随机变量的线性相关程度最低
10.已知函数，若有两个极值点，则实数的取值可能是( )
A. B. C. D.
11.已知是定义在上的奇函数，且，当时，，则( )
A. 点为图象的一个对称中心 B.
C. 的一个周期为 D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则 ______．
13.已知抛物线：的焦点为，为抛物线内侧一点，为上一动点，的最小值为，则 ______．
14.设等比数列的前项和为，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在数列中，，．
求；
设，求数列的前项和．
16.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线方程为，求，；
若有三个零点，求实数的取值范围．
17.本小题分
已知正方形，沿将折起到的位置如图，为的重心．
在边上找一点，使得平面，并求出的值．
在的条件下，设．
证明：平面平面．
求平面与平面所成角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，，过点且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为．
求椭圆的方程；
直线与椭圆交于，两点，连接，交椭圆于点，若的面积为，求直线的方程．
19.本小题分
在一次闯关游戏中，某一关有，，三道题将这三道题按一定顺序排好后如第一道题为题，第二道题为题，第三道题为题，玩家开始答题若第一道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第二道题；若第二道题答对，则通过本关，停止答题，若没有答对，则答第三道题；若第三道题答对，则通过本关，若没有答对，则没有通过本关假设每名玩家答对，，三道题的概率分别为，，每次答题正确与否相互独立．
求玩家通过这一关的概率．
规定：答对题积分，答对题积分，答对题积分现有两种题序可供选择：第一道题为题，第二道题为题，第三道题为题；第一道题为题，第二道题为题，第三道题为题为了在本关中得到更多的积分，应该选择哪种题序？
参考答案
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10.
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13.
14.
15.根据题意，，
所以，
又满足上式，所以；
因为，
所以
即．
16.因为，
所以，
因为，，
所以，
解得；
因为有三个零点，
即有三个解，
显然不是函数的零点，
所以关于的方程有三个不同的根，
即曲线与直线有三个交点．
令，
则，
因为，
所以当，时，，；
当时，，，
所以在，上单调递减，在上单调递增．
因为，所以当时，直线与曲线有三个交点，
故实数的取值范围是．
17.解：当平面时，．
证明如下：取的中点，连接，，，
因为为的重心，所以，
所以，
因为平面，平面，
所以平面．
证明：取的中点，连接，，，则，，
因为，，所以，
因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，，，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
由知，直线，，两两垂直，
以为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，
不妨设正方形的边长为，
则，，，，，，
连接，，可得，，
设平面的法向量为，
则，
令，得，
平面的一个法向量为，
设平面与平面所成的角为，
则，
所以平面与平面所成角的余弦值为．
18.解：过点且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为，
，
椭圆的离心率，
又，
故可列方程组为，
解得，，
故椭圆的方程为．
由题意知，直线不垂直于轴，直线经过，
设直线的方程为，，，
联立，
得，
由韦达定理得，，，
．
点坐标原点到直线的距离，
且是线段的中点，所以点到直线的距离为，
．
由，
令，
则，
上式变为，
解得或，
即或舍去，
，
故直线的方程为或．
19.设通关概率为，未通关概率为：
则，
那么，，
故玩家通过这一关的概率为；
计算两种答题顺序的期望积分：
顺序：
答对题：，答错答对：，答错、答对：
期望总积分：，
顺序：
答对：，答错答对：，答错、答对：，
期望总积分：，
比较结果大小：
故应选择题序．
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