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2024-2025学年河北省唐山市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知向量，，若，则( )
A. B. C. D.
3.某公司生产，，三种不同型号的电子产品，产量分别为，，件，为检验不同产品的质量，现用分层抽样的方法从以上产品中抽取件进行检验，则应从种型号的产品中抽取的件数为( )
A. B. C. D.
4.已知圆台上、下底面的半径分别为和，高为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
5.唐山河头老街景区近期持续火爆出圈，甲、乙人暑假来此地旅游的概率分别为，假定人的行动相互没有影响，则暑假至少有人来此地旅游的概率为( )
A. B. C. D.
6.在中，已知，，，则为( )
A. B. C. D.
7.某小组有名男生和名女生，从中任选名同学去参加歌咏比赛，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是( )
A. 至少有名男生和至少有名女生 B. 至少有名男生和全是男生
C. 至少有名男生和全是女生 D. 恰有名男生和恰有名男生
8.已知直四棱柱的棱长均为，，设，分别是相邻两个面的对角线所在的直线，则与所成角的余弦值不可能为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，为边的中点，则( )
A. B.
C. D.
10.已知复数，则( )
A. 是纯虚数 B. 表示的点在第四象限
C. D. 是方程的一个根
11.在中，，，，分别以边，，所在的直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成个几何体，分别记为，，，则( )
A. 几何体侧面积为
B. 几何体与几何体的体积之比为：
C. 几何体与几何体的外接球半径之比为：
D. 过几何体顶点的平面截所得的截面面积最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数据：，，，，的第百分位数是______．
13.某学校为了解高一学生每周的课余锻炼时间，统计数据如下：高一男生锻炼时长平均为小时，方差为；
高一女生锻炼时长平均为小时，方差为，高一年级男生女生人数之比为：，则该校高一学生每周平均锻炼时长的方差为______．
提示：
14.在中，已知，角的内角平分线交于点，且，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量与的夹角为，且，．
求；
求；
若与垂直，求的值．
16.本小题分
如图，四棱锥的底面是正方形，平面．
求证：平面；
若，直线与平面所成的角为，求四棱锥的体积．
17.本小题分
年月日时分，神舟二十号航天员陈冬、陈中瑞、王杰完成首次出舱任务，历时约小时安全返回天和核心舱为了弘扬航天精神，某校组织高一学生进行了航天知识能力测试现随机抽取名学生的测试成绩单位：分，将所得数据按照，，，，，分成组，其频率分布直方图如图所示．
求图中的值；
试估计本次航天知识能力测试成绩的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表；
该校准备对本次航天知识能力测试成绩不及格分以下的学生，采用分层随机抽样方法抽出名同学，再从抽取的这名同学中随机抽取名同学进行情况了解，求这名同学分数在，各一人的概率．
18.本小题分
如图，已知三棱柱的底面是正三角形，侧面平面，分别是棱，的中点．
求证：平面；
若，，求二面角的正切值．
19.本小题分
某小区拟在一个圆形的空地上，规划一个形状为四边形的花园如图，四边形内接于圆，为草坪区，为花卉区，根据规划已知米，米，．
当时，求边的长；
取的中点，连接，求小径的长；
若小径从点直通点，当线段最长时，求花卉区的面积．
参考答案
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14.
15.已知平面向量与的夹角为，且，，
则；
；
由题意可知，，
即，
解得：．
16.证明：因为四棱锥的底面是正方形，所以，
又平面，平面，所以，又，
所以平面；
因为平面，所以直线与平面所成的角为，
又易知，所以，
所以四棱锥的体积为．
17.由题意可得，解得；
估计本次航天知识能力测试成绩的平均数为：
；
因为，的频率比为：：，
设抽取的人中有人为，、有人为，，，
任抽人有，，，，，，，，，，共种情况，
其中分数在，各一人有，，，，，，共种情况，
故所求为．
18.证明：取中点，连接，，
由是的中点，
所以，
所以四边形是平行四边形，所以，
又因为平面且平面，
所以平面．
在平面内过点作于，
因为平面平面，侧面平面，
所以平面，因为平面，所以，
在平面内过作于，连接，
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，所以，
所以是二面角的平面角，
因为，，
所以，，
所以，
所以二面角的正切值为．
19.四边形内接于圆，，则，
在中，用余弦定理：，代入，，，
得，所以，
在中，用正弦定理，，，，
则米．
是中点，，
，
，，．
代入得，所以米．
最长时为圆直径．在中，由正弦定理为圆半径，
，，得，
在中，，代入得，；
在中，，得，，
面积，代入得平方米．
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