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湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024七下·长沙期末）已知是二元一次方程的解，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：依题意，
解得：
故答案为：D．
【分析】使二元一次方程的左右两边相等的未知数的值就是该二元一次方程的解，据此将代入二元一次方程y-kx=7，得到关于k的一元一次方程，解该一元一次方程即可求出k的值.
2．（2024七下·长沙期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式，
系数化为1得：，
解集表示在数轴上，如图所示：
故答案为：B．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
3．（2024七下·长沙期末） 一个七边形的内角和等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意得七边形的内角和为（7-2）×180°=900°，
故答案为：B
【分析】根据多边形的内角和公式结合题意进行计算即可求解。
4．（2024七下·长沙期末）若，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故A不符合题意；
∴，
故B符合题意；
∴，
故C不符合题意；
∴，
故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
5．（2024七下·长沙期末） 下列长度的四根木棒中，能与长度分别为2cm和5cm长的木棒构成三角形的是（　　）
A．3cm B．4cm C．7cm D．8cm
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三根木棒的长为，
根据三角形的三边关系可得，，即：．
∴能与长度分别为2cm和5cm长的木棒构成三角形的是4cm．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得，即可得到答案．
6．（2024七下·长沙期末）如图，在中，，平分，，，则的面积是（　　）
A．12 B．8 C．24 D．11
【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作于E，如图所示：
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴
故答案为：A．
【分析】过D作于E，先利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求出答案即可.
7．（2024七下·长沙期末）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）
A．了解某种灯泡的使用寿命
B．了解一批冷饮的质量是否合格
C．检测神舟十九号飞船的零件
D．了解全国九年级学生的视力情况
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A．了解某种灯泡的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，故本选项不合题意；
B．了解一批冷饮的质量是否合格，适合采用抽样调查的方式，故本选项不合题意；
C．检测神舟十九号飞船的零件，适合采用全面调查的方式，故本选项符合题意；
D．了解全国九年级学生的视力情况，适合采用抽样调查的方式，故本选项不合题意．
故选：C．
【分析】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
8．（2024七下·长沙期末）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，还需添加一个条件才能使△ABC≌△DEC，则不能添加的一组条件是（　　）
A．BC＝EC B．∠ACD＝∠BCE
C．∠A＝∠D D．AC＝DC
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC与△DEC中，AB＝DE，∠B＝∠E，
若BC＝EC，则可依据SAS证明△ABC≌△DEC，故A选项不符合题意；
若∠ACD＝∠BCE，可得∠ACB=∠DCE，则可依据AAS证明△ABC≌△DEC，故B选项不符合题意；
若∠A＝∠D，则可依据AAS证明△ABC≌△DEC，故C选项不符合题意；
若AC＝DC，则不能证明△ABC≌△DEC，故D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
9．（2024七下·长沙期末）如图三角形纸片，剪去角后，得到一个四边形，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
∵ ∠A=60°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∠1=∠A+∠ACB
∠2=∠A+∠ABC
∴∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC
=60°+180°
=240°.
故选：C．
【分析】
利用三角形的外角等于不相邻的两个内角和进行求解。
10．（2024七下·长沙期末）口味虾、臭豆腐、嗦螺和糖油粑粑是是长沙著名的小吃，某兴趣小组在班级发动了一项“舌尖上的长沙-我最喜欢的长沙小吃”调查活动，发现结果满足以下三个条件：、
（1）喜欢嗦螺的人数少于喜欢口味虾的人数；
（2）喜欢嗦螺的人数多于喜欢臭豆腐的人数；
（3）喜欢臭豆腐的人数的3倍多于喜欢口味虾的人数．
若喜欢臭豆腐的人数为6，则喜欢嗦螺的人数的最大值为（　　）
A．16 B．6 C．17 D．7
【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设喜欢嗦螺的人数是x，喜欢口味虾的人数是y，
根据喜欢臭豆腐的人数是6人，
结合题意有：，且x和y都是正整数，
解得：，且x和y都是正整数，
即喜欢口味虾的人数最多为17人，则喜欢嗦螺的人数最多为16人.
故答案为：A.
【分析】设喜欢嗦螺的人数是x，喜欢口味虾的人数是y，根据条件(1)可得x6，根据条件(3)可得6×3>y，联立可得x、y的范围，然后结合x、y为正整数进行判断即可.
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024七下·长沙期末）已知，满足方程组则　 　．
【答案】8
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得，，
故答案为：．
【分析】
本题考查了加减消元法解二元一次方程组，将两式相加即可求解．
12．（2024七下·长沙期末）x的与5的差不大于2，用不等式表示为　 　．
【答案】-5≤2
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得，-5≤2．
故答案为：-5≤2．
【分析】根据题干中不等的关系式直接列出不等式即可.
13．（2024七下·长沙期末）如图，在中，分别是的高线和角平分线，若与构成的角为，则　 　度．
【答案】80
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在中， ， ，
∴，
∴，
∵平分，
∴
在中，，
∴
故答案为：．
【分析】先利用三角形的内角和及角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用三角形的内角和求出∠C的度数即可.
14．（2024七下·长沙期末）如图，若，，，则的长是　 　．
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：，
故答案为：2．
【分析】先利用线段的和差求出AB的长，再利用全等三角形的性质可得DE的长，最后利用线段的和差求出BD的长即可.
15．（2024七下·长沙期末）如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的判定；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵点到三边的距离相等，
∴点在的角平分线上，即与都是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：．
【分析】先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得.
16．（2024七下·长沙期末）关于x的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组恰有三个整数解，
∴三个整数解为3、2、1，
∴，
故答案为：．
【分析】将字母m作为常数，根据解不等式的步骤分别解出各个不等式的解集，由不等式组有3个整数解可得三个整数解为3、2、1，从而确定出的范围即可．
三、解答题（共9小题，满分72分，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25题每题10分）
17．（2024七下·长沙期末）计算：．
【答案】解：
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用有理数的乘方，二次根式、立方根和绝对值的性质化简，再计算加减即可.
18．（2024七下·长沙期末）解不等式组：
【答案】解：
解①得：，
解②得：，
∴原不等式组的解集是：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出两个不等式的解集，再取解集的公共部分即可.
19．（2024七下·长沙期末）为了庆祝成都大运会胜利闭幕，我市某中学举行了大运会相关知识的竞赛，赛后随机抽查部分参赛同学成绩（满分为100分），并制作成图表如下．
分数段 频数 频率
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中的数______；
（2）请在图中补全频数分布直方图；
（3）若绘制扇形统计图，分数段所对应扇形的圆心角的度数是______；
（4）全校共有名学生参加比赛，估计该校成绩不低于分的学生有多少人？
【答案】（1）
（2）解：（人），
∴（人），
补全频数分布直方图如图，
（3）
（4）解：，
∴估计该校成绩不低于分的学生有人．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（3）解：，
故答案为：.
【分析】（1）根据频率统计表中的数据列出算式求解即可；
（2）先求出m的值，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“”的百分比，再乘以360°即可；
（4）先求出“成绩不低于分”的百分比，再乘以800可得答案.
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：（人），
∴（人），
补全频数分布直方图如图，
（3）解：，
故答案为：；
（4）解：，
∴估计该校成绩不低于分的学生有人．
20．（2024七下·长沙期末）已知关于x，y的方程组，其中a是实数．
（1）若，求a的值；
（2）若方程组的解也是方程的一个解，求的值；
【答案】（1）解：∵，
∴可得，
解得：；
（2）解：，得：，
解得：，
把代入①得：
解得：
∵方程组的解也是方程的一个解，
∴
解得：，
∴
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，灵活运用加减消元法是解题的关键．
（1）根据x=y得出0=2a+1，然后可求出a的值；
（2）先解方程组得出y=a-2，x=3a-1，根据方程组的解也是方程x-5y=3的一个解，把y=a-2，x=3a-1，代入x-5y=3 ，求出a=3，然后再把a=3代入计算即可．
21．（2024七下·长沙期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝16，DE＝4，求△ADC的面积．
【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵DE=DF，DE=4，
∴DF=4，
∵AC=16，
∴△ADC的面积是×AC×DF=×16×4=32．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证出Rt△BED≌Rt△CFD，再利用全等三角形的性质可得DE=DF，结合DE⊥AB，DF⊥AC，即可证出AD平分∠BAC；
（2）先求出DF=4，再结合AC=16，利用三角形的面积公式求解即可.
22．（2024七下·长沙期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买4本甲种书和2本乙种书共需200元；购买6本甲种书和4本乙种书共需330元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3103元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
【答案】（1）解：设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元.
（2）解：设该校购买甲种书m本，则购买乙种书本，
根据题意得：，
解得：，且为整数，
m的最大值为20，
答：该校最多可以购买甲种书20本．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“ 购买4本甲种书和2本乙种书共需200元；购买6本甲种书和4本乙种书共需330元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书本，根据“ 购买以上两种书的总费用不超过3103元 ”列出不等式，再求解即可.
（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书本，
根据题意得：，
解得：，且为整数，
m的最大值为20，
答：该校最多可以购买甲种书20本．
23．（2024七下·长沙期末）如图，，垂足为F．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积；
（3）求的度数．
【答案】（1）证明：∵，即，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵，且，则，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为32.
（3）解：已知，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴的度数为．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出即可；
（2）先证出，再利用三角形的面积公式求出，从而得解；
（3）先利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得的度数为．
（1）证明：∵，即，
∴，且，
∴；
（2）解：∵，且，
则，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为32；
（3）解：已知，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴的度数为．
24．（2024七下·长沙期末）定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为．
（1）方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______；
（2）已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
（3）已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值．
【答案】（1）
（2）解：根据题意，的”变更方程”为，
∴联立方程组得，，
解得：，
∵，则，
∴，即，
∵是二元一次方程的一个解，
∴，则，
∴
.
（3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”，
∴，
①②得，，整理得，，
把代入①得，，整理得，，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，则，
∵是整数，
∴．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：与它的“变更方程”为，
∴联立方程组为，
解得，，
故答案为：.
【分析】（1）利用“变更方程”的定义可得，再求解即可；
（2）先联立方程组求出方程组的解，再根据“是二元一次方程的一个解”可得，则，最后将其代入计算即可；
（3）先联立方程组求出方程组的解，再结合“”可得，求出，再结合，求解即可.
（1）解：与它的“变更方程”为，
∴联立方程组为，
解得，，
故答案为：；
（2）解：根据题意，的”变更方程”为，
∴联立方程组得，，
解得，，
∵，则，
∴，即，
∵是二元一次方程的一个解，
∴，则，
∴
；
（3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”，
∴，
①②得，，整理得，，
把代入①得，，整理得，，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，则，
∵是整数，
∴．
25．（2024七下·长沙期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴正半轴上的一个动点（不与重合），过点作交直线于．交轴于．
（1）如图，当点的坐标是时，求点的坐标；
（2）连接，当点在轴正半轴上运动时，的大小是否会发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由．
（3）当在之间且时，是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴.
（2）解：如图所示，过点作于点，作于点，
∴，且，
∴四边形是矩形，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是角平分线，
∴，
∴当点在轴正半轴上运动时，的大小不会发生变化，即.
（3）解：解：已知，
∴，，且，
∴在中，，
∴，
由（1）的证明可得，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是每秒1个单位，点是每秒4个单位，
∴，，则点从的时间为：，
第一种情况，当在上时，，则，
∴，且，
∴，
解得，；
第二种情况，当在的延长线上时，如图所示，
∵，且，即，
∴，
∴不存在；
综上所述，当与全等时，．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再结合OE=2，从而可得点C的坐标；
（2）过点作于点，作于点，先利用“AAS”证出，可得，再利用“HL”证出，可得，最后利用角平分线的定义可得，从而得解；
（3）先求出点F的坐标，再分类讨论：①当在上时，，②当在的延长线上时，先分别画出图形再利用方程求解即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点作于点，作于点，
∴，且，
∴四边形是矩形，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是角平分线，
∴，
∴当点在轴正半轴上运动时，的大小不会发生变化，即；
（3）解：已知，
∴，，且，
∴在中，，
∴，
由（1）的证明可得，，
∴，则，
∴，
如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是每秒1个单位，点是每秒4个单位，
∴，，则点从的时间为：，
第一种情况，当在上时，，则，
∴，且，
∴，
解得，；
第二中情况，当在的延长线上时，如图所示，
∵，且，即，
∴，
∴不存在；
综上所述，当与全等时，．
1 / 1湖南省长沙市师大附中梅溪湖中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2024七下·长沙期末）已知是二元一次方程的解，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·长沙期末）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·长沙期末） 一个七边形的内角和等于（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·长沙期末）若，则下列不等式正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024七下·长沙期末） 下列长度的四根木棒中，能与长度分别为2cm和5cm长的木棒构成三角形的是（　　）
A．3cm B．4cm C．7cm D．8cm
6．（2024七下·长沙期末）如图，在中，，平分，，，则的面积是（　　）
A．12 B．8 C．24 D．11
7．（2024七下·长沙期末）下列调查中，适宜采用全面调查方式的是（　　）
A．了解某种灯泡的使用寿命
B．了解一批冷饮的质量是否合格
C．检测神舟十九号飞船的零件
D．了解全国九年级学生的视力情况
8．（2024七下·长沙期末）如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠B＝∠E，还需添加一个条件才能使△ABC≌△DEC，则不能添加的一组条件是（　　）
A．BC＝EC B．∠ACD＝∠BCE
C．∠A＝∠D D．AC＝DC
9．（2024七下·长沙期末）如图三角形纸片，剪去角后，得到一个四边形，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2024七下·长沙期末）口味虾、臭豆腐、嗦螺和糖油粑粑是是长沙著名的小吃，某兴趣小组在班级发动了一项“舌尖上的长沙-我最喜欢的长沙小吃”调查活动，发现结果满足以下三个条件：、
（1）喜欢嗦螺的人数少于喜欢口味虾的人数；
（2）喜欢嗦螺的人数多于喜欢臭豆腐的人数；
（3）喜欢臭豆腐的人数的3倍多于喜欢口味虾的人数．
若喜欢臭豆腐的人数为6，则喜欢嗦螺的人数的最大值为（　　）
A．16 B．6 C．17 D．7
二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2024七下·长沙期末）已知，满足方程组则　 　．
12．（2024七下·长沙期末）x的与5的差不大于2，用不等式表示为　 　．
13．（2024七下·长沙期末）如图，在中，分别是的高线和角平分线，若与构成的角为，则　 　度．
14．（2024七下·长沙期末）如图，若，，，则的长是　 　．
15．（2024七下·长沙期末）如图，在中，，点到三边的距离相等，则的度数为　 　．
16．（2024七下·长沙期末）关于x的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围是　 　．
三、解答题（共9小题，满分72分，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23每题9分，第24、25题每题10分）
17．（2024七下·长沙期末）计算：．
18．（2024七下·长沙期末）解不等式组：
19．（2024七下·长沙期末）为了庆祝成都大运会胜利闭幕，我市某中学举行了大运会相关知识的竞赛，赛后随机抽查部分参赛同学成绩（满分为100分），并制作成图表如下．
分数段 频数 频率
请根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）表中的数______；
（2）请在图中补全频数分布直方图；
（3）若绘制扇形统计图，分数段所对应扇形的圆心角的度数是______；
（4）全校共有名学生参加比赛，估计该校成绩不低于分的学生有多少人？
20．（2024七下·长沙期末）已知关于x，y的方程组，其中a是实数．
（1）若，求a的值；
（2）若方程组的解也是方程的一个解，求的值；
21．（2024七下·长沙期末）如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF，
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）已知AC＝16，DE＝4，求△ADC的面积．
22．（2024七下·长沙期末）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得茅盾文学奖的甲，乙两种书共100本，已知购买4本甲种书和2本乙种书共需200元；购买6本甲种书和4本乙种书共需330元．
（1）求甲，乙两种书的单价分别为多少元；
（2）若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3103元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？
23．（2024七下·长沙期末）如图，，垂足为F．
（1）求证：；
（2）若，求四边形的面积；
（3）求的度数．
24．（2024七下·长沙期末）定义：关于的二元一次方程（其中）中的常数项与未知数系数互换，得到的方程叫“变更方程”，例如：的”变更方程”为．
（1）方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为______；
（2）已知关于的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于的二元一次方程的一个解，求代数式的值；
（3）已知整数满足条件，并且是关于的二元一次方程的“变更方程”，求的值．
25．（2024七下·长沙期末）在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是轴正半轴上的一个动点（不与重合），过点作交直线于．交轴于．
（1）如图，当点的坐标是时，求点的坐标；
（2）连接，当点在轴正半轴上运动时，的大小是否会发生变化，如果不变，求出的值，如果改变，请说明理由．
（3）当在之间且时，是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，当点到达点时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当与全等时，求t的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：依题意，
解得：
故答案为：D．
【分析】使二元一次方程的左右两边相等的未知数的值就是该二元一次方程的解，据此将代入二元一次方程y-kx=7，得到关于k的一元一次方程，解该一元一次方程即可求出k的值.
2．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：不等式，
系数化为1得：，
解集表示在数轴上，如图所示：
故答案为：B．
【分析】先利用一元一次不等式的计算方法及步骤（先移项并合并同类项，再系数化为“1”即可）分析求出解集，再在数轴上表示出解集即可.
3．【答案】B
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意得七边形的内角和为（7-2）×180°=900°，
故答案为：B
【分析】根据多边形的内角和公式结合题意进行计算即可求解。
4．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故A不符合题意；
∴，
故B符合题意；
∴，
故C不符合题意；
∴，
故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据不等式的性质逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设第三根木棒的长为，
根据三角形的三边关系可得，，即：．
∴能与长度分别为2cm和5cm长的木棒构成三角形的是4cm．
故答案为：B．
【分析】根据三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得，即可得到答案．
6．【答案】A
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过D作于E，如图所示：
∵，
∴，
∵平分，，
∴，
∴
故答案为：A．
【分析】过D作于E，先利用角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求出答案即可.
7．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A．了解某种灯泡的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，故本选项不合题意；
B．了解一批冷饮的质量是否合格，适合采用抽样调查的方式，故本选项不合题意；
C．检测神舟十九号飞船的零件，适合采用全面调查的方式，故本选项符合题意；
D．了解全国九年级学生的视力情况，适合采用抽样调查的方式，故本选项不合题意．
故选：C．
【分析】
本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择全面调查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查．由全面调查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
8．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABC与△DEC中，AB＝DE，∠B＝∠E，
若BC＝EC，则可依据SAS证明△ABC≌△DEC，故A选项不符合题意；
若∠ACD＝∠BCE，可得∠ACB=∠DCE，则可依据AAS证明△ABC≌△DEC，故B选项不符合题意；
若∠A＝∠D，则可依据AAS证明△ABC≌△DEC，故C选项不符合题意；
若AC＝DC，则不能证明△ABC≌△DEC，故D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用三角形全等的判定方法：ASA（两角及其夹边分别相等的两个三角形全等）、SAS（两边及其夹角分别相等的两个三角形全等）、AAS（两角及其一角对应的边相等的两个三角形全等）、SSS（三边分别相等的两个三角形全等）和HL（在直角三角形中，斜边和直角边对应相等的两个三角形全等）逐项分析判断即可.
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，
∵ ∠A=60°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°
∠1=∠A+∠ACB
∠2=∠A+∠ABC
∴∠1+∠2=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC
=60°+180°
=240°.
故选：C．
【分析】
利用三角形的外角等于不相邻的两个内角和进行求解。
10．【答案】A
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设喜欢嗦螺的人数是x，喜欢口味虾的人数是y，
根据喜欢臭豆腐的人数是6人，
结合题意有：，且x和y都是正整数，
解得：，且x和y都是正整数，
即喜欢口味虾的人数最多为17人，则喜欢嗦螺的人数最多为16人.
故答案为：A.
【分析】设喜欢嗦螺的人数是x，喜欢口味虾的人数是y，根据条件(1)可得x6，根据条件(3)可得6×3>y，联立可得x、y的范围，然后结合x、y为正整数进行判断即可.
11．【答案】8
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
得，，
故答案为：．
【分析】
本题考查了加减消元法解二元一次方程组，将两式相加即可求解．
12．【答案】-5≤2
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得，-5≤2．
故答案为：-5≤2．
【分析】根据题干中不等的关系式直接列出不等式即可.
13．【答案】80
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵，
∴，
在中， ， ，
∴，
∴，
∵平分，
∴
在中，，
∴
故答案为：．
【分析】先利用三角形的内角和及角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用三角形的内角和求出∠C的度数即可.
14．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：，
故答案为：2．
【分析】先利用线段的和差求出AB的长，再利用全等三角形的性质可得DE的长，最后利用线段的和差求出BD的长即可.
15．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的判定；直角三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵点到三边的距离相等，
∴点在的角平分线上，即与都是的角平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为．
故答案为：．
【分析】先利用角平分线的定义可得，，再利用角的运算和等量代换可得.
16．【答案】
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【解答】解：，
解不等式得：，
解不等式得：，
∵不等式组恰有三个整数解，
∴三个整数解为3、2、1，
∴，
故答案为：．
【分析】将字母m作为常数，根据解不等式的步骤分别解出各个不等式的解集，由不等式组有3个整数解可得三个整数解为3、2、1，从而确定出的范围即可．
17．【答案】解：
【知识点】实数的运算
【解析】【分析】先利用有理数的乘方，二次根式、立方根和绝对值的性质化简，再计算加减即可.
18．【答案】解：
解①得：，
解②得：，
∴原不等式组的解集是：．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解出两个不等式的解集，再取解集的公共部分即可.
19．【答案】（1）
（2）解：（人），
∴（人），
补全频数分布直方图如图，
（3）
（4）解：，
∴估计该校成绩不低于分的学生有人．
【知识点】频数与频率；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：，
故答案为：；
（3）解：，
故答案为：.
【分析】（1）根据频率统计表中的数据列出算式求解即可；
（2）先求出m的值，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“”的百分比，再乘以360°即可；
（4）先求出“成绩不低于分”的百分比，再乘以800可得答案.
（1）解：，
故答案为：；
（2）解：（人），
∴（人），
补全频数分布直方图如图，
（3）解：，
故答案为：；
（4）解：，
∴估计该校成绩不低于分的学生有人．
20．【答案】（1）解：∵，
∴可得，
解得：；
（2）解：，得：，
解得：，
把代入①得：
解得：
∵方程组的解也是方程的一个解，
∴
解得：，
∴
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，灵活运用加减消元法是解题的关键．
（1）根据x=y得出0=2a+1，然后可求出a的值；
（2）先解方程组得出y=a-2，x=3a-1，根据方程组的解也是方程x-5y=3的一个解，把y=a-2，x=3a-1，代入x-5y=3 ，求出a=3，然后再把a=3代入计算即可．
21．【答案】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠E=∠DFC=90°，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴DE=DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC；
（2）解：∵DE=DF，DE=4，
∴DF=4，
∵AC=16，
∴△ADC的面积是×AC×DF=×16×4=32．
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的判定
【解析】【分析】（1）先利用“HL”证出Rt△BED≌Rt△CFD，再利用全等三角形的性质可得DE=DF，结合DE⊥AB，DF⊥AC，即可证出AD平分∠BAC；
（2）先求出DF=4，再结合AC=16，利用三角形的面积公式求解即可.
22．【答案】（1）解：设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元.
（2）解：设该校购买甲种书m本，则购买乙种书本，
根据题意得：，
解得：，且为整数，
m的最大值为20，
答：该校最多可以购买甲种书20本．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，根据“ 购买4本甲种书和2本乙种书共需200元；购买6本甲种书和4本乙种书共需330元 ”列出方程组，再求解即可；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书本，根据“ 购买以上两种书的总费用不超过3103元 ”列出不等式，再求解即可.
（1）设甲种书的单价是x元，乙种书的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：甲种书的单价是35元，乙种书的单价是30元；
（2）设该校购买甲种书m本，则购买乙种书本，
根据题意得：，
解得：，且为整数，
m的最大值为20，
答：该校最多可以购买甲种书20本．
23．【答案】（1）证明：∵，即，
∴，
∵，
∴.
（2）解：∵，且，则，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为32.
（3）解：已知，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴的度数为．
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出即可；
（2）先证出，再利用三角形的面积公式求出，从而得解；
（3）先利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得的度数为．
（1）证明：∵，即，
∴，且，
∴；
（2）解：∵，且，
则，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为32；
（3）解：已知，
∴，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴的度数为．
24．【答案】（1）
（2）解：根据题意，的”变更方程”为，
∴联立方程组得，，
解得：，
∵，则，
∴，即，
∵是二元一次方程的一个解，
∴，则，
∴
.
（3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”，
∴，
①②得，，整理得，，
把代入①得，，整理得，，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，则，
∵是整数，
∴．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的解；解一元一次不等式组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】（1）解：与它的“变更方程”为，
∴联立方程组为，
解得，，
故答案为：.
【分析】（1）利用“变更方程”的定义可得，再求解即可；
（2）先联立方程组求出方程组的解，再根据“是二元一次方程的一个解”可得，则，最后将其代入计算即可；
（3）先联立方程组求出方程组的解，再结合“”可得，求出，再结合，求解即可.
（1）解：与它的“变更方程”为，
∴联立方程组为，
解得，，
故答案为：；
（2）解：根据题意，的”变更方程”为，
∴联立方程组得，，
解得，，
∵，则，
∴，即，
∵是二元一次方程的一个解，
∴，则，
∴
；
（3）解：是关于的二元一次方程的“变更方程”，
∴，
①②得，，整理得，，
把代入①得，，整理得，，
∵，
∴，
解得，，
∵，
∴，则，
∵是整数，
∴．
25．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴.
（2）解：如图所示，过点作于点，作于点，
∴，且，
∴四边形是矩形，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是角平分线，
∴，
∴当点在轴正半轴上运动时，的大小不会发生变化，即.
（3）解：解：已知，
∴，，且，
∴在中，，
∴，
由（1）的证明可得，，
∴，
∴，
∴，
如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是每秒1个单位，点是每秒4个单位，
∴，，则点从的时间为：，
第一种情况，当在上时，，则，
∴，且，
∴，
解得，；
第二种情况，当在的延长线上时，如图所示，
∵，且，即，
∴，
∴不存在；
综上所述，当与全等时，．
【知识点】坐标与图形性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；一元一次方程的实际应用-几何问题；三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）先利用角的运算和等量代换可得，再利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再结合OE=2，从而可得点C的坐标；
（2）过点作于点，作于点，先利用“AAS”证出，可得，再利用“HL”证出，可得，最后利用角平分线的定义可得，从而得解；
（3）先求出点F的坐标，再分类讨论：①当在上时，，②当在的延长线上时，先分别画出图形再利用方程求解即可.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，过点作于点，作于点，
∴，且，
∴四边形是矩形，
由（1）可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是角平分线，
∴，
∴当点在轴正半轴上运动时，的大小不会发生变化，即；
（3）解：已知，
∴，，且，
∴在中，，
∴，
由（1）的证明可得，，
∴，则，
∴，
如图所示，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点是每秒1个单位，点是每秒4个单位，
∴，，则点从的时间为：，
第一种情况，当在上时，，则，
∴，且，
∴，
解得，；
第二中情况，当在的延长线上时，如图所示，
∵，且，即，
∴，
∴不存在；
综上所述，当与全等时，．
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