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5.4　平方根
课时学习目标 素养目标达成
1.了解数的平方根的概念,会用根号表示一个数的平方根,知道负数没有平方根 抽象能力、推理能力
2.了解平方与开平方的关系,会利用这个关系求某些非负数的平方根,解决生活中的简单问题 推理能力、运算能力、应用意识
基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 　
新知要点
1.平方根的定义
定义 如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么x叫作a的平方根
表示 a(a≥0)的平方根,记作: 读作:
对点小练
1.若一个数的平方等于81,则这个数是()
A.9 B.-9
C.±9 D.±81
新知要点
2.平方根的性质
(1)一个正数有 平方根,它们互为相反数;
(2)0的平方根是 ;
(3)负数 平方根.
对点小练
2.10的两个平方根的和是 .
新知要点
3.开平方
求一个数a(a≥0)的 的运算.
对点小练
3.2.56的平方根是()
A.16 B.±16 C.1.6 D.±1.6
重点典例研析　　启思凝智 教学相长
【重点1】求非负数的平方根(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P141例1拓展)求下列各数的平方根:
(1);　(2)0.36;　(3)324.
【举一反三】
1.关于“9的平方根是±3”,下列表示正确的是()
A.=3 B.=±3
C.±=±3 D.±=9
2.下列说法正确的是()
A.正数的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.-10是100的一个平方根
D.-1的平方根是-1
3.若a是(-4)2的平方根,b的一个平方根是2,则a+b的值为()
A.0 B.8 C.0或8 D.0或-8
【技法点拨】
求一个数的平方根的思路
1.变换或计算:将带分数变为假分数,有平方、开平方等运算的,算出最后结果;
2.试算:试算哪两个数的平方等于第1步结果;
3.答案:写出平方根.
【重点2】平方根的性质(推理能力、应用意识)
【典例2】已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-15,b的算术平方根是2,求3b+a的平方根.
【举一反三】
1.若x-5有平方根,则()
A.x=5 B.x>5
C.x≥5 D.x为任意数
2.下列说法正确的是()
A.-4的平方根是±2
B.-4的算术平方根是-2
C.平方根等于本身的数是0和1
D.0的平方根与算术平方根都是0
3.一个正数b的平方根是2a-1与-a+2;
(1)求a和b的值.
(2)求5a+b的平方根.
【技法点拨】
应用正数平方根性质的解题思路
一个正数的平方根分别是a,b→a+b=0→构建方程→解方程得相关字母的值→求这个正数或其他.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)下列各数中没有平方根的是()
A.- B. C.0 D.|-2|
2.(3分·推理能力)已知一个正方形的边长为a,面积为S,则()
A.S=　 B.S的平方根是a
C.a是S的平方根　 D.a=
3.(3分·运算能力)的算术平方根是 ;的平方根是 .
4.(3分·推理能力、运算能力)若一个正数a的两个平方根分别是2x+6和x-18,那么a等于 .
5.(8分·推理能力、运算能力)已知2m+2的平方根是±4,3m+n+1的算术平方根是5,求m+3n的平方根.5.4　平方根
课时学习目标 素养目标达成
1.了解数的平方根的概念,会用根号表示一个数的平方根,知道负数没有平方根 抽象能力、推理能力
2.了解平方与开平方的关系,会利用这个关系求某些非负数的平方根,解决生活中的简单问题 推理能力、运算能力、应用意识
基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 　
新知要点
1.平方根的定义
定义 如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么x叫作a的平方根
表示 a(a≥0)的平方根,记作: 读作:正负根号a
对点小练
1.若一个数的平方等于81,则这个数是(C)
A.9 B.-9
C.±9 D.±81
新知要点
2.平方根的性质
(1)一个正数有两个平方根,它们互为相反数;
(2)0的平方根是0;
(3)负数没有平方根.
对点小练
2.10的两个平方根的和是　0　.
新知要点
3.开平方
求一个数a(a≥0)的平方根的运算.
对点小练
3.2.56的平方根是(D)
A.16 B.±16 C.1.6 D.±1.6
重点典例研析　　启思凝智 教学相长
【重点1】求非负数的平方根(运算能力)
【典例1】(教材再开发·P141例1拓展)求下列各数的平方根:
(1);　(2)0.36;　(3)324.
【自主解答】(1)±=±;
(2)±=±0.6;
(3)±=±18.
【举一反三】
1.关于“9的平方根是±3”,下列表示正确的是(C)
A.=3 B.=±3
C.±=±3 D.±=9
2.下列说法正确的是(C)
A.正数的平方根是它本身
B.100的平方根是10
C.-10是100的一个平方根
D.-1的平方根是-1
3.若a是(-4)2的平方根,b的一个平方根是2,则a+b的值为(C)
A.0 B.8 C.0或8 D.0或-8
【技法点拨】
求一个数的平方根的思路
1.变换或计算:将带分数变为假分数,有平方、开平方等运算的,算出最后结果;
2.试算:试算哪两个数的平方等于第1步结果;
3.答案:写出平方根.
【重点2】平方根的性质(推理能力、应用意识)
【典例2】已知一个正数的两个平方根分别是a+3和2a-15,b的算术平方根是2,求3b+a的平方根.
【自主解答】因为某正数的两个平方根分别是a+3和2a-15,所以(a+3)+(2a-15)=0,
整理可得,3a-12=0,解得a=4.
因为b的算术平方根是2,所以b=22=4,
所以3b+a=3×4+4=12+4=16,
因为±=±4,所以3b+a的平方根是±4.
【举一反三】
1.若x-5有平方根,则(C)
A.x=5 B.x>5
C.x≥5 D.x为任意数
2.下列说法正确的是(D)
A.-4的平方根是±2
B.-4的算术平方根是-2
C.平方根等于本身的数是0和1
D.0的平方根与算术平方根都是0
3.一个正数b的平方根是2a-1与-a+2;
(1)求a和b的值.
(2)求5a+b的平方根.
【解析】(1)因为正数b的平方根是2a-1与-a+2,所以-a+2+2a-1=0,所以a=-1.
所以-a+2=-(-1)+2=3,2a-1=2×(-1)-1=-3,因为9的平方根是±3,所以b=9;
(2)因为a=-1,b=9,
所以5a+b=5×(-1)+9=4,
所以±=±=±2,
即5a+b的平方根是±2.
【技法点拨】
应用正数平方根性质的解题思路
一个正数的平方根分别是a,b→a+b=0→构建方程→解方程得相关字母的值→求这个正数或其他.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(3分·推理能力)下列各数中没有平方根的是(A)
A.- B. C.0 D.|-2|
2.(3分·推理能力)已知一个正方形的边长为a,面积为S,则(D)
A.S=　 B.S的平方根是a
C.a是S的平方根　 D.a=
3.(3分·运算能力)的算术平方根是 　;的平方根是　±　.
4.(3分·推理能力、运算能力)若一个正数a的两个平方根分别是2x+6和x-18,那么a等于　196　.
5.(8分·推理能力、运算能力)已知2m+2的平方根是±4,3m+n+1的算术平方根是5,求m+3n的平方根.
【解析】因为2m+2的平方根是±4,
所以2m+2=16,所以m=7.
因为3m+n+1的算术平方根是5,
所以3m+n+1=25,
所以21+n+1=25,
所以n=3,所以m+3n=7+3×3=16,
则m+3n的平方根为±=±4.

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