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微专题1　题型应用　平行线的拐点问题
【类型一】猪蹄模型
图形
模型特点 AB∥CD,拐点O向内拐
解题思路 过拐点作一条直线的平行线,再证明与另一条直线平行,根据平行线的性质解决角度问题
结论 若AB∥CD,则∠BOC=∠B+∠C
【典例1】如图,已知AB∥CD,探究∠A,∠C,∠APC有什么关系.
解:如图,过点P作PE∥AB,
所以∠A= ( ).
又因为AB∥CD,PE∥AB,
所以 ( ),
所以∠C= ( ),
所以∠A+∠C=∠APE+∠EPC,
即∠A+∠C=∠APC.
【变式训练1】如图,已知AB∥CD,∠EAF=∠BAF,∠ECF=∠DCF,记∠AEC=
m∠AFC,则m的值为.
【类型二】铅笔头模型
图形
模型 特点 AB∥CD,拐点O向外拐
解题 思路 过拐点作一条直线的平行线,再证明与另一条直线平行,根据平行线的性质解决角度问题
结论 若AB∥CD,则∠B+∠BOC+∠C=360°
【典例2】如图,已知AB∥EF,求∠A+∠ACE+∠E的度数.
【变式训练2】
已知:如图,AB∥CD,试解决下列问题:
(1)图(1)中,∠1+∠2= ;
(2)图(2)中,∠1+∠2+∠3= ;
(3)图(3)中,∠1+∠2+∠3+∠4= ;
(4)图(4)中,试探究:∠1+∠2+∠3+…+∠n= .
【类型三】靴子模型
图形
模型特点 AB∥CD,拐点O直上(下)拐
解题思路 过拐点作一条直线的平行线,再证明与另一条直线平行,根据平行线的性质解决角度问题
结论 若AB∥CD,则∠OAB=∠OCD+∠AOC或∠AOC=∠OAB-∠OCD
【典例3】如图,已知AB∥CD,E为AB,CD外任意一点.探究∠CDE与∠B,∠BED之间的数量关系,并说明理由.
【变式训练3】
“抖空竹”是国家级非物质文化遗产.在“抖空竹”的一个瞬间(如图1所示),将其抽象成一个数学问题:如图2,若AB∥CD,∠EAB=70°,∠ECD=110°,则∠E= .
【类型四】橡皮筋模型
图形
模型特点 AB∥CD,拐点E弯上(下)拐
解题思路 过拐点作一条直线的平行线,再证明与另一条直线平行,根据平行线的性质解决角度问题
结论 若AB∥CD,则∠ECD=∠EAB+∠AEC或∠AEC=∠ECD-∠EAB
【典例4】已知AB∥CD,点E为AB,CD之外任意一点.如图,探究∠BED与∠ABE,∠CDE之间的数量关系,并说明理由.
【变式训练4】如图,直线AB∥CD,∠E=35°,∠C=40°,则∠A的度数为()
A.70° B.75° C.15° D.80°微专题1　题型应用　平行线的拐点问题
【类型一】猪蹄模型
图形
模型特点 AB∥CD,拐点O向内拐
解题思路 过拐点作一条直线的平行线,再证明与另一条直线平行,根据平行线的性质解决角度问题
结论 若AB∥CD,则∠BOC=∠B+∠C
【典例1】如图,已知AB∥CD,探究∠A,∠C,∠APC有什么关系.
解:如图,过点P作PE∥AB,
所以∠A=∠APE(两直线平行,内错角相等).
又因为AB∥CD,PE∥AB,
所以PE∥CD(平行于同一条直线的两条直线平行),
所以∠C=∠EPC(两直线平行,内错角相等),
所以∠A+∠C=∠APE+∠EPC,
即∠A+∠C=∠APC.
【变式训练1】如图,已知AB∥CD,∠EAF=∠BAF,∠ECF=∠DCF,记∠AEC=
m∠AFC,则m的值为.
【类型二】铅笔头模型
图形
模型 特点 AB∥CD,拐点O向外拐
解题 思路 过拐点作一条直线的平行线,再证明与另一条直线平行,根据平行线的性质解决角度问题
结论 若AB∥CD,则∠B+∠BOC+∠C=360°
【典例2】如图,已知AB∥EF,求∠A+∠ACE+∠E的度数.
【自主解答】如图,过点C作CD∥AB.
因为AB∥EF,所以AB∥CD∥EF,
所以∠A+∠ACD=180°,∠DCE+∠E=180°,
所以∠A+∠ACD+∠DCE+∠E=180°+180°=360°.
因为∠ACE=∠ACD+∠DCE,
所以∠A+∠ACE+∠E=360°.
【变式训练2】
已知:如图,AB∥CD,试解决下列问题:
(1)图(1)中,∠1+∠2=180°;
(2)图(2)中,∠1+∠2+∠3=360°;
(3)图(3)中,∠1+∠2+∠3+∠4=540°;
(4)图(4)中,试探究:∠1+∠2+∠3+…+∠n=180°×(n-1).
【类型三】靴子模型
图形
模型特点 AB∥CD,拐点O直上(下)拐
解题思路 过拐点作一条直线的平行线,再证明与另一条直线平行,根据平行线的性质解决角度问题
结论 若AB∥CD,则∠OAB=∠OCD+∠AOC或∠AOC=∠OAB-∠OCD
【典例3】如图,已知AB∥CD,E为AB,CD外任意一点.探究∠CDE与∠B,∠BED之间的数量关系,并说明理由.
【自主解答】∠CDE=∠B+∠BED.理由如下:如图,过点E作EF∥AB,则AB∥CD∥EF,所以∠B+∠BEF=180°,∠CDE+∠DEF=180°.
因为∠DEF=∠BEF-∠BED,
所以∠CDE+∠BEF-∠BED=∠B+∠BEF,
即∠CDE=∠B+∠BED.
【变式训练3】
“抖空竹”是国家级非物质文化遗产.在“抖空竹”的一个瞬间(如图1所示),将其抽象成一个数学问题:如图2,若AB∥CD,∠EAB=70°,∠ECD=110°,则∠E=40°.
【类型四】橡皮筋模型
图形
模型特点 AB∥CD,拐点E弯上(下)拐
解题思路 过拐点作一条直线的平行线,再证明与另一条直线平行,根据平行线的性质解决角度问题
结论 若AB∥CD,则∠ECD=∠EAB+∠AEC或∠AEC=∠ECD-∠EAB
【典例4】已知AB∥CD,点E为AB,CD之外任意一点.如图,探究∠BED与∠ABE,∠CDE之间的数量关系,并说明理由.
【自主解答】∠CDE=∠ABE-∠BED.
理由如下:过点E作EF∥AB,则AB∥CD∥EF,
所以∠ABE=∠BEF,∠CDE=∠DEF.
因为∠DEF=∠BEF-∠BED,
所以∠CDE=∠ABE-∠BED.
【变式训练4】如图,直线AB∥CD,∠E=35°,∠C=40°,则∠A的度数为(B)
A.70° B.75° C.15° D.80°

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