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微专题2　模型构建　全等三角形的基本模型
【模型一】平移型
基本 图形
结论 平移之后图形全等,对应线段平行且相等
针对训练
1.已知:如图,AC=DF,BC=EF,下列条件中,不能证明△ABC≌△DEF的是()
A.AC∥DF B.AD=BE
C.∠C=∠F D.以上都不对
2.如图,已知AD=BE,BC=EF,AC=DF.求证:△ABC≌△DEF.
【模型二】对称型
基本 图形
结论 沿一条直线折叠,直线两旁的部分完全重合
针对训练
3.如图,点C和点E分别在AD和AB上,BC与DE交于点F,已知AB=AD,若要使△ABC≌△ADE,添加的条件中错误的是()
A.BC=DE
B.AC=AE
C.∠ACB=∠AED=90°
D.∠BCD=∠DEB
4.如图,AB是∠DAC的平分线,点P在AB上,∠1=∠2,求证:BD=BC.
【模型三】旋转型
基本 图形
结论 绕一点旋转,旋转的角度相等
针对训练
5.(2024·北京期中)如图,△ABC和△ADE均为等腰三角形,AB=AC,AD=AE,∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=62°且∠BAC=∠DAE.当B,D,E三点共线时,求∠BEC的度数.
【模型四】一线三等角型
基本 图形
结论 由三角形外角性质和三角相等得出两个三角形中的另一组角相等
针对训练
6.如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,若点E,B,D到直线AC的距离分别为6,3,2,则图中实线所围成的阴影部分面积S是()
A.50 B.44 C.38 D.32
7.(2024·福州质检)如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,D,E,F分别是BC,AB,AC边上的点,BD=CF.
(1)若∠EDF=∠ABC,求证:DE=DF;
(2)若∠A+2∠EDF=180°,BC=9,DC=2BD,求BE的长.
【模型五】综合型
基本 图形
类型 翻折+旋转型 旋转+平移型
针对训练
8.(2024·宜兴质检)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC的中点,连接DE,AE,AE⊥DE,延长DE交AB的延长线于点F.若AB=5,CD=2,求AD的长.微专题2　模型构建　全等三角形的基本模型
【模型一】平移型
基本 图形
结论 平移之后图形全等,对应线段平行且相等
针对训练
1.已知:如图,AC=DF,BC=EF,下列条件中,不能证明△ABC≌△DEF的是(A)
A.AC∥DF B.AD=BE
C.∠C=∠F D.以上都不对
2.如图,已知AD=BE,BC=EF,AC=DF.求证:△ABC≌△DEF.
【证明】因为AD=BE,
所以AD+BD=BE+BD,即AB=DE,
在△ABC与△DEF中,
所以△ABC≌△DEF(SSS).
【模型二】对称型
基本 图形
结论 沿一条直线折叠,直线两旁的部分完全重合
针对训练
3.如图,点C和点E分别在AD和AB上,BC与DE交于点F,已知AB=AD,若要使△ABC≌△ADE,添加的条件中错误的是(A)
A.BC=DE
B.AC=AE
C.∠ACB=∠AED=90°
D.∠BCD=∠DEB
4.如图,AB是∠DAC的平分线,点P在AB上,∠1=∠2,求证:BD=BC.
【证明】因为AB是∠DAC的平分线,
所以∠DAP=∠CAP,
因为∠1=∠2,所以180°-∠1=180°-∠2,
所以∠APD=∠APC,
又因为AP=AP,所以△APD≌△APC(ASA),
所以PD=PC,
又因为PB=PB,∠1=∠2,
所以△DPB≌△CPB(SAS),
所以BD=BC.
【模型三】旋转型
基本 图形
结论 绕一点旋转,旋转的角度相等
针对训练
5.(2024·北京期中)如图,△ABC和△ADE均为等腰三角形,AB=AC,AD=AE,∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=62°且∠BAC=∠DAE.当B,D,E三点共线时,求∠BEC的度数.
【解析】因为∠BAC=∠DAE,AB=AC,AD=AE,
所以∠BAD=∠CAE,
因为∠ABC=∠ACB=∠ADE=∠AED=62°,所以∠ADB=118°,
在△ABD和△ACE中,
所以△ABD≌△ACE(SAS),
所以∠ADB=∠AEC=118°,所以∠BEC=∠AEC-∠AED=118°-62°=56°.
【模型四】一线三等角型
基本 图形
结论 由三角形外角性质和三角相等得出两个三角形中的另一组角相等
针对训练
6.如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,若点E,B,D到直线AC的距离分别为6,3,2,则图中实线所围成的阴影部分面积S是(D)
A.50 B.44 C.38 D.32
7.(2024·福州质检)如图,在△ABC中,∠ABC=∠ACB,D,E,F分别是BC,AB,AC边上的点,BD=CF.
(1)若∠EDF=∠ABC,求证:DE=DF;
(2)若∠A+2∠EDF=180°,BC=9,DC=2BD,求BE的长.
【解析】(1)由题意可知,∠EDC=∠ABC+∠BED,
又因为∠EDC=∠EDF+∠FDC,∠EDF=∠ABC,所以∠BED=∠FDC,
在△EBD和△DCF中,,
所以△EBD≌△DCF(AAS),所以ED=DF;
(2)因为BC=9,DC=2BD,BC=BD+CD,
所以CD=6,
因为在△ABC中,∠ABC+∠ACB+∠A=180°,∠ABC=∠ACB,
所以∠A+2∠ABC=180°,
又∠A+2∠EDF=180°,所以∠EDF=∠ABC,
由(1)同理可得:△EBD≌△DCF(AAS),所以BE=CD=6.
【模型五】综合型
基本 图形
类型 翻折+旋转型 旋转+平移型
针对训练
8.(2024·宜兴质检)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,E为BC的中点,连接DE,AE,AE⊥DE,延长DE交AB的延长线于点F.若AB=5,CD=2,求AD的长.
【解析】因为E为BC的中点,所以BE=EC,
因为AB∥DC,所以∠F=∠CDE,
在△BEF和△CED中,,
所以△BEF≌△CED(AAS),
所以EF=ED,BF=CD=2,
所以AF=AB+BF=7,
因为AE⊥DE,
所以∠AEF=∠AED=90°,
在△AEF和△AED中,,
所以△AEF≌△AED(SAS),
所以AD=AF=7.

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