资源简介

4.2　线段的垂直平分线
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并证明线段垂直平分线的性质定理,并能熟练地进行有关的计算和证明 几何直观、推理能力
2.利用转化思想,解决最短路径问题之“将军饮马问题” 几何直观、推理能力、应用意识
基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 　
新知要点 对点小练
1.线段垂直平分线的性质定理 文字语言符号语言图示线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等因为PC⊥AB,AC=BC,所以PA=PB
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,直线DE是边AB的垂直平分线,连接BE. (1)若∠A=35°,则∠ABE=35°; (2)若BE=3,EC=1,则AC=4.
2.最短路径问题 作法:(1)过点B作直线l的垂线BC,垂足为C; (2)延长BC至B',使CB'=CB; (3)连接AB',与直线l交于点P(如图②). 点P就是所求作的直线l上使AP+BP的值最小的点. 2.如图,点P是∠AOB内一点,P1,P2分别是点P关于OA,OB的对称点,P1P2交OA于点M,交OB于点N,若P1P2=5 cm,则△PMN的周长是5 cm.
重点典例研析　　启思凝智 教学相长
【重点1】线段垂直平分线的性质定理(推理能力)
【典例1】(教材再开发·P103练习T2拓展)如图,在Rt△ABC中,直线DE为边AB的垂直平分线.
(1)如果AC=6 cm,BC=8 cm,试求△ACD的周长;
(2)如果∠CAD∶∠BAD=1∶2,求∠B的度数.
【自主解答】(1)因为直线DE为边AB的垂直平分线,
所以DA=DB,
所以△ACD的周长为AC+CD+DA=AC+CD+DB=AC+BC=14(cm);
(2)设∠CAD=x,则∠BAD=2x,
因为DB=DA,BE=EA,DE=DE,
所以△BDE≌△ADE,所以∠DAB=∠B=2x,
因为∠C=90°,所以x+2x+2x=90°,
解得x=18°,则∠B=2x=36°.
【举一反三】
1.如图,在△ABC中,线段BC的垂直平分线分别交BC,AB于点D,E,BE=5,则CE的长是(C)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.4 C.5 D.6
2.如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,若∠BAC=36°,则∠DAC的度数是　36°　.
【技法点拨】
线段的垂直平分线的性质的应用
利用线段的垂直平分线的性质可以证明两线段相等,在证明相等时只需直线满足垂直、平分线段即可得到到两端点的距离相等,不用再证三角形全等然后证明线段相等.
【重点2】最短路径问题(推理能力、几何直观)
【典例2】如图,在正方形网格中有E,F两点,在直线l上求一点P,使PE+PF最短,则点P应选在(C)
A.A点 B.B点
C.C点 D.D点
【举一反三】
如图,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别有一动点M,N,当△AMN周长最小时,∠AMN+∠ANM=140°,则∠C的度数为(A)
A.70° B.60°
C.50° D.40°
素养当堂测评　　(10分钟·15分)
1.(4分·几何直观)如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,若EC=2 cm,则ED的长为(C)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 cm B.1.5 cm C.2 cm D.2.5 cm
2.(4分·推理能力、运算能力)如图,在△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,垂足为D,交AC于E,△BCE的周长为20,BC的长为8,则AB的长为(C)
A.8 B.10 C.12 D.14
3.(7分·几何直观、应用意识)如图,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A,B两城镇供气,泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短
【解析】作A关于直线l的对称点A',连接A'B交直线l于P,连接AP,则泵站修在管道的P点处,可使所用的输气管线AP+BP最短.
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第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并证明线段垂直平分线的性质定理,并能熟练地进行有关的计算和证明 几何直观、推理能力
2.利用转化思想,解决最短路径问题之“将军饮马问题” 几何直观、推理能力、应用意识
基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 　
新知要点 对点小练
1.线段垂直平分线的性质定理 文字语言符号语言图示线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 因为PC⊥AB,AC=BC,所以PA=
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,直线DE是边AB的垂直平分线,连接BE. (1)若∠A=35°,则∠ABE= °; (2)若BE=3,EC=1,则AC= .
2.最短路径问题 作法:(1)过点B作直线l的垂线BC,垂足为C; (2)延长BC至B',使CB'=CB; (3)连接AB',与直线l交于点P(如图②). 点P就是所求作的直线l上使AP+BP的值最小的点. 2.如图,点P是∠AOB内一点,P1,P2分别是点P关于OA,OB的对称点,P1P2交OA于点M,交OB于点N,若P1P2=5 cm,则△PMN的周长是 .
重点典例研析　　启思凝智 教学相长
【重点1】线段垂直平分线的性质定理(推理能力)
【典例1】(教材再开发·P103练习T2拓展)如图,在Rt△ABC中,直线DE为边AB的垂直平分线.
(1)如果AC=6 cm,BC=8 cm,试求△ACD的周长;
(2)如果∠CAD∶∠BAD=1∶2,求∠B的度数.
【举一反三】
1.如图,在△ABC中,线段BC的垂直平分线分别交BC,AB于点D,E,BE=5,则CE的长是()
　　　　　　　　　　　　　　　
A.3 B.4 C.5 D.6
2.如图,在四边形ABCD中,AC垂直平分BD,垂足为E,若∠BAC=36°,则∠DAC的度数是 .
【技法点拨】
线段的垂直平分线的性质的应用
利用线段的垂直平分线的性质可以证明两线段相等,在证明相等时只需直线满足垂直、平分线段即可得到到两端点的距离相等,不用再证三角形全等然后证明线段相等.
【重点2】最短路径问题(推理能力、几何直观)
【典例2】如图,在正方形网格中有E,F两点,在直线l上求一点P,使PE+PF最短,则点P应选在()
A.A点 B.B点
C.C点 D.D点
【举一反三】
如图,四边形ABCD中,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别有一动点M,N,当△AMN周长最小时,∠AMN+∠ANM=140°,则∠C的度数为()
A.70° B.60°
C.50° D.40°
素养当堂测评　　(10分钟·15分)
1.(4分·几何直观)如图,已知AB是线段CD的垂直平分线,E是AB上的一点,若EC=2 cm,则ED的长为()
　　　　　　　　　　　　　　　
A.1 cm B.1.5 cm C.2 cm D.2.5 cm
2.(4分·推理能力、运算能力)如图,在△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,垂足为D,交AC于E,△BCE的周长为20,BC的长为8,则AB的长为()
A.8 B.10 C.12 D.14
3.(7分·几何直观、应用意识)如图,要在燃气管道l上修建一个泵站,分别向A,B两城镇供气,泵站修在管道的什么位置可使所用的输气管线最短

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