资源简介

4.3　角的平分线
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并理解角平分线的性质定理和判定定理,并能进行有关的计算和证明 几何直观、推理能力、应用意识
2.会用尺规作一个角的平分线 模型观念、应用意识
基础主干落实　　九层之台 起于累土 　
新知要点 对点小练
1.角平分线的性质定理 文字语言:角平分线上的点到角的两边的距离相等. 符号语言:因为OC平分∠AOB,PE⊥OB,PD⊥OA, 所以PD=PE. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,若DE=5,则DF的值是(C) A.2.5 B.10 C.5 D.4
2.角平分线的判定 文字语言:角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 符号语言:因为PE⊥OB,PD⊥OA,PD=PE, 所以OC平分∠AOB. 2.如图,点D为BG上任意一点,且DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DF=DE,若∠ABC=40°,则∠ABD=20°.
3.尺规作图 作已知角的平分线. 3.如图的尺规作图是作(D) A.线段的垂直平分线 B.一个角等于已知角 C.一条直线的平行线 D.一个角的平分线
重点典例研析　　循道而行 方能致远
【重点1】角平分线的性质定理(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P108例题变式)如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD的延长线上,PM⊥AD,PN⊥CD,M,N分别是垂足,求证:PM=PN.
【证明】因为BD是∠ABC的平分线,
所以∠ABD=∠CBD,
在△ABD和△CBD中,
所以△ABD≌△CBD(SAS).
所以∠ADB=∠CDB.
所以∠ADP=∠CDP.
即DP平分∠ADC.
因为PM⊥AD,PN⊥CD,
所以PM=PN.
【举一反三】
如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,若CD=3,AB=10,则△ABD的面积是(A)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.15 B.24
C.12 D.10
【技法点拨】
应用角的平分线的性质的两点注意
1.应用角的平分线的性质时,角的平分线、角的平分线上的点到角的两边的距离两个条件缺一不可,不能错用为角的平分线上的点到角两边任意点距离相等.
2.由角的平分线的性质可以不用证全等直接得线段相等,这是证线段相等的一个简便方法.
【重点2】角平分线的判定(推理能力、模型观念)
【典例2】如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P,过点P作PD⊥AC于点D,PH⊥BA,交BA的延长线于点H,连接AP.求证:AP平分∠HAD.
【证明】如图,过点P作PF⊥BE于点F.
因为BP平分∠ABC,PH⊥BA,PF⊥BE,
所以PH=PF.
因为CP平分∠ACE,PD⊥AC,PF⊥CE,所以PD=PF,所以PD=PH.
又因为PH⊥AH,PD⊥AC,
所以AP平分∠HAD.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·几何直观、推理能力)如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为(B)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.3　 B.2　 C.1　 D.1.5
2.(4分·几何直观、运算能力)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=40°,D是AC上一点,且DE⊥AB于点E,连接DB,若CD=ED=3 cm,则∠DBC=　25°　.
3.(6分·几何直观、应用意识)如图,四边形区域是音乐广场的一部分,现在要在这一区域内建一个喷泉,要求喷泉到两条道路OA,OB的距离相等,且到入口A,C的距离相等请确定喷泉的位置P.
【解析】如图所示,P点即为所求.
4.(6分·几何直观、推理能力)如图,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:AD垂直平分EF.
【证明】因为AD是∠BAC的平分线,所以∠BAD=∠CAD,
因为DE⊥AB,DF⊥AC,所以∠DEA=∠DFA=90°,所以DE=DF,
在△DEA和△DFA中,
所以△DEA≌△DFA(AAS),所以AE=AF,
因为DE=DF,所以AD垂直平分EF.
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课时学习目标 素养目标达成
1.探索并理解角平分线的性质定理和判定定理,并能进行有关的计算和证明 几何直观、推理能力、应用意识
2.会用尺规作一个角的平分线 模型观念、应用意识
基础主干落实　　九层之台 起于累土 　
新知要点 对点小练
1.角平分线的性质定理 文字语言:角平分线上的点到角的两边的距离 . 符号语言:因为OC平分∠AOB,PE⊥OB,PD⊥OA, 所以PD=PE. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,若DE=5,则DF的值是() A.2.5 B.10 C.5 D.4
2.角平分线的判定 文字语言:角的内部到角两边距离 的点在角的平分线上. 符号语言:因为PE⊥OB,PD⊥OA,PD=PE, 所以OC平分∠AOB. 2.如图,点D为BG上任意一点,且DE⊥AB于点E,DF⊥BC于点F,DF=DE,若∠ABC=40°,则∠ABD= .
3.尺规作图 作已知角的平分线. 3.如图的尺规作图是作() A.线段的垂直平分线 B.一个角等于已知角 C.一条直线的平行线 D.一个角的平分线
重点典例研析　　循道而行 方能致远
【重点1】角平分线的性质定理(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P108例题变式)如图,BD是∠ABC的平分线,AB=BC,点P在BD的延长线上,PM⊥AD,PN⊥CD,M,N分别是垂足,求证:PM=PN.
【举一反三】
如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,若CD=3,AB=10,则△ABD的面积是()
　　　　　　　　　　　　　　　
A.15 B.24
C.12 D.10
【技法点拨】
应用角的平分线的性质的两点注意
1.应用角的平分线的性质时,角的平分线、角的平分线上的点到角的两边的距离两个条件缺一不可,不能错用为角的平分线上的点到角两边任意点距离相等.
2.由角的平分线的性质可以不用证全等直接得线段相等,这是证线段相等的一个简便方法.
【重点2】角平分线的判定(推理能力、模型观念)
【典例2】如图,在△ABC中,∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点P,过点P作PD⊥AC于点D,PH⊥BA,交BA的延长线于点H,连接AP.求证:AP平分∠HAD.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·几何直观、推理能力)如图,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,点Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为()
　　　　　　　　　　　　　　　
A.3　 B.2　 C.1　 D.1.5
2.(4分·几何直观、运算能力)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=40°,D是AC上一点,且DE⊥AB于点E,连接DB,若CD=ED=3 cm,则∠DBC= .
3.(6分·几何直观、应用意识)如图,四边形区域是音乐广场的一部分,现在要在这一区域内建一个喷泉,要求喷泉到两条道路OA,OB的距离相等,且到入口A,C的距离相等请确定喷泉的位置P.
4.(6分·几何直观、推理能力)如图,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.求证:AD垂直平分EF.

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