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4.4　等腰三角形
第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并掌握等腰三角形的轴对称性、三线合一、等边对等角等性质,并能利用等腰三角形的性质解决相关问题 几何直观、推理能力、应用意识
2.理解并会证明等边三角形的性质定理 几何直观、应用意识
基础主干落实　　博观约取 厚积薄发 　
新知要点 对点小练
1.等腰三角形的性质 轴对 称性等腰三角形是轴对称图形,对称轴是底边的垂直平分线性质 定理1文字语言等腰三角形的两个底角相等符号语言因为AB=AC,所以∠B=∠C性质 定理2文字语言等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合符号语言因为AB=AC,AD⊥BC,所以BD=CD,∠BAD=∠CAD图示
1.(1)若等腰三角形的顶角为50°,则它的一个底角的度数为(C) A.65°或50°　 B.50° C.65°　 D.75° (2)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,∠B=54°,则∠DAC等于(A) A.36°　 B.45°　 C.54°　 D.72°
2.等边三角形的性质定理 等边三角形的各角都等于60°. 2.已知△ABC为等边三角形,则∠A=60°.
重点典例研析　　精钻细研 学深悟透
【重点1】等边对等角性质的应用(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P112练习T3变式)如图,D,E分别是△ABC边BC,AC上的点,若AB=AC,AD=AE,∠CDE=20°,求∠BAD的度数.
【自主解答】因为AB=AC,
所以∠B=∠ACB,
因为AD=AE,所以∠ADE=∠AED,
因为∠ADC是△ABD的外角,
所以∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+20°.
因为∠AED是△EDC的外角,
所以∠AED=∠ACB+20°,
所以∠BAD=∠ADE+20°-∠B=∠ACB+20°+20°-∠B=40°.
所以∠BAD的度数为40°.
【举一反三】
1.(2024·淄博张店质检)等腰三角形一个角为30°,其他两个角的度数是(A)
A.75°,75°或30°,120° B.30°,75°或30°,45°
C.30°,65°或30°,45° D.30°,55°或30°,75°
2.如图,BE是△ABC的角平分线,在AB上取点D,使DB=DE.
(1)求证:DE∥BC.
(2)若∠A=65°,∠AED=45°,求∠EBC的度数.
【解析】(1)因为BE平分∠ABC,
所以∠ABE=∠EBC.
因为DB=DE,
所以∠ABE=∠BED,
所以∠BED=∠EBC,
所以DE∥BC.
(2)因为∠A=65°,∠AED=45°,
所以∠ADE=180°-∠A-∠AED=70°.
因为DE∥BC,所以∠ABC=∠ADE=70°.
因为BE平分∠ABC,
所以∠EBC=∠ABC=35°,
即∠EBC=35°.
【重点2】等腰三角形的三线合一(几何直观、推理能力)
【典例2】如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,P是AD上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F.
(1)求证:PE=PF;
(2)求证:PD平分∠BPC.
【证明】(1)因为AB=AC,D是BC边的中点,
所以AD平分∠BAC,
又因为PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,所以PE=PF.
(2)因为AB=AC,D是BC边的中点,所以AD⊥BC,
所以线段PD在BC的垂直平分线上,所以PB=PC,
所以PD平分∠BPC.
【举一反三】
如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是(C)
A.∠ADC=90° B.DE=DF
C.AD=BC D.BD=CD
素养当堂测评　　(10分钟·16分)
1.(4分·几何直观)如图,一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边△ABC上,若∠1=24°,则∠2的度数为(B)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.24° B.36° C.48° D.56°
2.(4分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若BC=8,S△ABD=8,则AD=　4　.
3.(8分·推理能力)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;
(2)求证:FB=FE.
【解析】(1)因为AB=AC,
所以∠C=∠ABC,
因为∠C=36°,所以∠ABC=36°,
因为D为BC边上的中点,
所以AD⊥BC,
所以∠BAD=90°-∠ABC=90°-36°=54°;
(2)因为BE平分∠ABC,
所以∠ABE=∠EBC,
又因为EF∥BC,
所以∠EBC=∠BEF,
所以∠EBF=∠FEB,
所以BF=EF.
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第1课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并掌握等腰三角形的轴对称性、三线合一、等边对等角等性质,并能利用等腰三角形的性质解决相关问题 几何直观、推理能力、应用意识
2.理解并会证明等边三角形的性质定理 几何直观、应用意识
基础主干落实　　博观约取 厚积薄发 　
新知要点 对点小练
1.等腰三角形的性质 轴对 称性等腰三角形是轴对称图形,对称轴是底边的垂直平分线性质 定理1文字语言等腰三角形的两个底角相等符号语言因为AB=AC,所以∠B=∠C性质 定理2文字语言等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线及底边上的高互相重合符号语言因为AB=AC,AD⊥BC,所以BD=CD,∠BAD=∠CAD图示
1.(1)若等腰三角形的顶角为50°,则它的一个底角的度数为() A.65°或50°　 B.50° C.65°　 D.75° (2)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,∠B=54°,则∠DAC等于() A.36°　 B.45°　 C.54°　 D.72°
2.等边三角形的性质定理 等边三角形的各角都等于 . 2.已知△ABC为等边三角形,则∠A= .
重点典例研析　　精钻细研 学深悟透
【重点1】等边对等角性质的应用(几何直观、推理能力)
【典例1】(教材再开发·P112练习T3变式)如图,D,E分别是△ABC边BC,AC上的点,若AB=AC,AD=AE,∠CDE=20°,求∠BAD的度数.
【举一反三】
1.(2024·淄博张店质检)等腰三角形一个角为30°,其他两个角的度数是()
A.75°,75°或30°,120° B.30°,75°或30°,45°
C.30°,65°或30°,45° D.30°,55°或30°,75°
2.如图,BE是△ABC的角平分线,在AB上取点D,使DB=DE.
(1)求证:DE∥BC.
(2)若∠A=65°,∠AED=45°,求∠EBC的度数.
【重点2】等腰三角形的三线合一(几何直观、推理能力)
【典例2】如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,P是AD上任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F.
(1)求证:PE=PF;
(2)求证:PD平分∠BPC.
【举一反三】
如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是点E,F,则下列结论错误的是()
A.∠ADC=90° B.DE=DF
C.AD=BC D.BD=CD
素养当堂测评　　(10分钟·16分)
1.(4分·几何直观)如图,一束太阳光线平行照射在放置于地面的等边△ABC上,若∠1=24°,则∠2的度数为()
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.24° B.36° C.48° D.56°
2.(4分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,若BC=8,S△ABD=8,则AD= .
3.(8分·推理能力)如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边上的中点,连接AD,BE平分∠ABC交AC于点E,过点E作EF∥BC交AB于点F.
(1)若∠C=36°,求∠BAD的度数;
(2)求证:FB=FE.

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