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4.4　等腰三角形
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并证明等腰三角形的判定定理,并能进行有关的计算和证明 抽象能力、几何直观、推理能力
2.认识等边三角形的判定定理并会解决相关问题 几何直观、推理能力、应用意识
基础主干落实　　起步起势 向上向阳 　
新知要点 对点小练
1.等腰三角形的判定定理 (1)文字语言:有两个角相等的三角形是等腰三角形(可简写为“等角对等边”) (2)符号语言:因为∠B=∠C, 所以AB=AC. 1.在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,能判定△ABC是等腰三角形的是(B) A.∠A=50°,∠B=70° B.∠A=70°,∠B=40° C.∠A=30°,∠B=90° D.∠A=80°,∠B=60°
2.等边三角形的判定定理 三个角都相等的三角形是等边三角形. 2.有两个角等于60°的三角形是等边三角形.
重点典例研析　　学贵有方 进而有道
【重点1】等腰三角形的判定定理(几何直观、推理能力)
【典例1】如图,已知∠AOB,作∠AOB的平分线OC,将直尺DEMN如图所示摆放,使EM边与OB边重合,顶点D落在OA边上,DN边与OC交于点P.判断△DOP是否为等腰三角形,如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由.
【自主解答】△DOP为等腰三角形,证明如下:已知:∠AOB中,OC平分∠AOB,
所以∠DOP=∠BOP=∠AOB,
由题意可知:DN∥EM,所以∠DPO=∠BOP,所以∠DOP=∠DPO,
所以OD=PD,所以△DOP为等腰三角形.
【举一反三】
(2024·武汉期中)如图,在△ABC中,D在BC边的延长线上,∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E,已知∠B=30°,∠E=40°,求证:AE=CE.
【证明】因为∠B=30°,∠E=40°,
所以∠ECD=∠B+∠E=70°.
因为CE平分∠ACD,
所以∠ACE=∠ECD=70°,
在△AEC中,∠ACE+∠E+∠CAE=180°,
所以∠CAE=180°-∠ACE-∠E=180°-70°-40°=70°,
所以∠ACE=∠CAE,
所以AE=CE.
【重点2】等边三角形的判定定理
【典例2】如图,在△ABC中,D为AB边上一点,DF⊥BC于点F,延长FD,CA交于点E.若∠E=30°,AD=AE.
求证:△ABC为等边三角形.
【证明】因为AD=AE,
所以∠E=∠ADE=30°,
所以∠CAB=∠E+∠ADE=30°+30°=60°,
因为DF⊥BC,
所以∠EFC=90°,
所以∠C=90°-∠E=60°,
所以∠B=180°-∠C-∠CAB=180°-60°-60°=60°,
所以∠C=∠B=∠CAB,
所以△ABC为等边三角形.
【举一反三】
如图,在△ABC中,∠B=60°,过点C作CD∥AB,若∠ACD=60°,求证:△ABC是等边三角形.
【证明】因为CD∥AB,
所以∠A=∠ACD=60°,
因为∠B=60°,
所以在△ABC中,
∠ACB=180°-∠A-∠B=60°,
所以∠A=∠B=∠ACB.
所以△ABC是等边三角形.
素养当堂测评　　(10分钟·15分)
1.(4分·几何直观)如图,BD平分∠ABC,若∠2=∠3,则下列不正确的结论是(D)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.∠1=∠2 B.AD∥BC
C.AB=AD D.CD=BC
2.(4分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点,AD⊥AB交BE延长线于点D,CF平分∠ACB交BD于点F,连接CD.下面结论不一定成立的是(D)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.AD∥CF　 B.AD=CF
C.DC=DF　 D.CE=CF
3.(7分·推理能力、几何直观)如图,已知D为BC边的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F为垂足,且BE=CF,∠BDE=30°,求证:△ABC是等边三角形.
【证明】因为D是BC的中点,
所以BD=CD,
因为DE⊥AB,DF⊥AC,
所以△BED和△CFD都是直角三角形,
在Rt△BED和Rt△CFD中,
所以Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
所以∠B=∠C,
因为∠BDE=30°,DE⊥AB,
所以∠B=60°,
所以∠C=60°,
所以∠A=60°,
所以∠A=∠B=∠C,
所以△ABC是等边三角形.
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第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并证明等腰三角形的判定定理,并能进行有关的计算和证明 抽象能力、几何直观、推理能力
2.认识等边三角形的判定定理并会解决相关问题 几何直观、推理能力、应用意识
基础主干落实　　起步起势 向上向阳 　
新知要点 对点小练
1.等腰三角形的判定定理 (1)文字语言:有两个角相等的三角形是等腰三角形(可简写为“ ”) (2)符号语言:因为∠B=∠C, 所以AB=AC. 1.在△ABC中,∠A和∠B的度数如下,能判定△ABC是等腰三角形的是() A.∠A=50°,∠B=70° B.∠A=70°,∠B=40° C.∠A=30°,∠B=90° D.∠A=80°,∠B=60°
2.等边三角形的判定定理 三个角都相等的三角形是等边三角形. 2.有两个角等于60°的三角形是 三角形.
重点典例研析　　学贵有方 进而有道
【重点1】等腰三角形的判定定理(几何直观、推理能力)
【典例1】如图,已知∠AOB,作∠AOB的平分线OC,将直尺DEMN如图所示摆放,使EM边与OB边重合,顶点D落在OA边上,DN边与OC交于点P.判断△DOP是否为等腰三角形,如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由.
【举一反三】
(2024·武汉期中)如图,在△ABC中,D在BC边的延长线上,∠ACD的平分线CE交BA的延长线于点E,已知∠B=30°,∠E=40°,求证:AE=CE.
【重点2】等边三角形的判定定理
【典例2】如图,在△ABC中,D为AB边上一点,DF⊥BC于点F,延长FD,CA交于点E.若∠E=30°,AD=AE.
求证:△ABC为等边三角形.
【举一反三】
如图,在△ABC中,∠B=60°,过点C作CD∥AB,若∠ACD=60°,求证:△ABC是等边三角形.
素养当堂测评　　(10分钟·15分)
1.(4分·几何直观)如图,BD平分∠ABC,若∠2=∠3,则下列不正确的结论是()
　　　　　　　　　　　　　　　
A.∠1=∠2 B.AD∥BC
C.AB=AD D.CD=BC
2.(4分·几何直观、推理能力)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,E为AC边的中点,AD⊥AB交BE延长线于点D,CF平分∠ACB交BD于点F,连接CD.下面结论不一定成立的是()
　　　　　　　　　　　　　　　
A.AD∥CF　 B.AD=CF
C.DC=DF　 D.CE=CF
3.(7分·推理能力、几何直观)如图,已知D为BC边的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,点E,F为垂足,且BE=CF,∠BDE=30°,求证:△ABC是等边三角形.

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