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4.4　等腰三角形
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.认识等边三角形判定定理(等腰三角形基础上),并会解决问题 几何直观、模型观念
2.探索直角三角形的性质,并会应用解决问题 几何直观、模型观念
基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 　
新知要点 对点小练
1.等边三角形的判定定理 有一个内角为 的等腰三角形是等边三角形. 1.如图,在等腰△ABC中,AB=AC, ∠A= °,则△ABC为等边三角形.
2.在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半. 2.在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=30°,AB=4,则BC= .
重点典例研析　　启思凝智 教学相长
【重点1】等边三角形的判定定理(几何直观、推理能力)
【典例1】如图,△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上运动,且满足AD=BE=CF.求证:△DEF是等边三角形.
【举一反三】
已知,如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,BE⊥AC于点D,且DE=DB,则△CEB是 三角形.
【技法点拨】
判定等边三角形的四种方法
1.若已知三边关系,则考虑用“三条边都相等的三角形是等边三角形”来判定.
2.若已知三角关系,则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定.
3.若已知两个角是60°的三角形,则根据“两个角是60°的三角形是等边三角形”来判定.
4.若已知该三角形是等腰三角形,则根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定.
【重点2】直角三角形的性质(几何直观、模型观念)
【典例2】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,P是BC上一点,且∠BAP=90°.
(1)求证:PA=PC;
(2)若CP=10,求BP的长.
【举一反三】
1.如图,在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,则BC边上的高AD的长为()
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.3 C.4 D.5
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,DE垂直平分线段BC.
(1)求证:△ACD是等边三角形.
(2)若DE=4,求AC的长.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1. (4分·几何直观)如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OA交于点B,再以B为圆心,BO长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC,则∠O的度数为()
　　　　　　　　　　　　　　　
A.30° B.45° C.60° D.75°
2.(4分·几何直观)如图,在等边三角形ABC中,BC=8,点D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作EF⊥BC于点E,则BE的长为()
A.3 B.4 C.5 D.6
3.(4分·几何直观)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,若∠C=2∠B,AC=5,则BC的长为 .
4.(8分·几何直观、推理能力)如图,△ABD和△BCD均是等边三角形,E,F分别是AD,CD上的两个动点,且满足∠EBF=60°.
(1)求证:△ABE≌△DBF;
(2)判断△BEF的形状,并证明.4.4　等腰三角形
第3课时
课时学习目标 素养目标达成
1.认识等边三角形判定定理(等腰三角形基础上),并会解决问题 几何直观、模型观念
2.探索直角三角形的性质,并会应用解决问题 几何直观、模型观念
基础主干落实　　筑牢根基 行稳致远 　
新知要点 对点小练
1.等边三角形的判定定理 有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形. 1.如图,在等腰△ABC中,AB=AC, ∠A=60°,则△ABC为等边三角形.
2.在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半. 2.在Rt△ABC中,∠C=90°, ∠A=30°,AB=4,则BC=2.
重点典例研析　　启思凝智 教学相长
【重点1】等边三角形的判定定理(几何直观、推理能力)
【典例1】如图,△ABC是等边三角形,点D,E,F分别在边AB,BC,CA上运动,且满足AD=BE=CF.求证:△DEF是等边三角形.
【证明】因为△ABC是等边三角形,
所以∠A=∠B=∠C=60°,AB=BC=AC.
因为AD=BE=CF,
所以DB=EC=FA.
在△ADF和△BED中,
所以△ADF≌△BED(SAS),
所以FD=DE.
同理FD=EF,
所以FD=DE=EF,
所以△DEF是等边三角形.
【举一反三】
已知,如图,在△ABC中,AB=BC,∠ABC=120°,BE⊥AC于点D,且DE=DB,则△CEB是　等边　三角形.
【技法点拨】
判定等边三角形的四种方法
1.若已知三边关系,则考虑用“三条边都相等的三角形是等边三角形”来判定.
2.若已知三角关系,则根据“三个角都相等的三角形是等边三角形”来判定.
3.若已知两个角是60°的三角形,则根据“两个角是60°的三角形是等边三角形”来判定.
4.若已知该三角形是等腰三角形,则根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”来判定.
【重点2】直角三角形的性质(几何直观、模型观念)
【典例2】如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,P是BC上一点,且∠BAP=90°.
(1)求证:PA=PC;
(2)若CP=10,求BP的长.
【自主解答】(1)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,
所以∠B=∠C=(180°-∠BAC)=×(180°-120°)=30°;
因为∠BAP=90°,所以∠PAC=∠BAC-∠BAP=120°-90°=30°,
所以∠PAC=∠C=30°,所以PA=PC;
(2)因为CP=10,
由(1)可知:PA=CP=10,
在Rt△APB中,∠B=30°,
所以BP=2AP=20.
【举一反三】
1.如图,在△ABC中,AB=AC=6,∠BAC=120°,则BC边上的高AD的长为(B)
　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.2 B.3 C.4 D.5
2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,DE垂直平分线段BC.
(1)求证:△ACD是等边三角形.
(2)若DE=4,求AC的长.
【解析】(1)因为DE垂直平分线段BC,
所以DB=DC,所以∠DCE=∠B=30°,
所以∠ACD=∠ACB-∠DCE=90°-30°=60°,
因为∠A=90°-∠B=60°,
所以△ACD是等边三角形;
(2)由(1)知∠DCE=30°,△ACD是等边三角形,因为∠DEC=90°,
所以CD=2DE=2×4=8,所以AC=CD=8.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1. (4分·几何直观)如图,以O为圆心,任意长为半径画弧,与射线OA交于点B,再以B为圆心,BO长为半径画弧,两弧交于点C,画射线OC,则∠O的度数为(C)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.30° B.45° C.60° D.75°
2.(4分·几何直观)如图,在等边三角形ABC中,BC=8,点D是AB的中点,过点D作DF⊥AC于点F,过点F作EF⊥BC于点E,则BE的长为(C)
A.3 B.4 C.5 D.6
3.(4分·几何直观)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,若∠C=2∠B,AC=5,则BC的长为　10　.
4.(8分·几何直观、推理能力)如图,△ABD和△BCD均是等边三角形,E,F分别是AD,CD上的两个动点,且满足∠EBF=60°.
(1)求证:△ABE≌△DBF;
(2)判断△BEF的形状,并证明.
【解析】(1)因为△ABD和△BCD均是等边三角形,
所以AB=DB,∠A=∠ABD=∠BDF=60°,
因为∠EBF=60°,所以∠EBF=∠ABD,
所以∠EBF-∠EBD=∠ABD-∠EBD,
即∠ABE=∠DBF,
所以△ABE≌△DBF(ASA);
(2)△EBF是等边三角形,证明如下:
因为△ABE≌△DBF,所以BE=BF,
因为∠EBF=60°,所以△EBF是等边三角形.
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