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微专题4　模型构建　轴对称中的最短路径问题
【模型一】“将军饮马”型
模型
条件 A,B 位于直线l的同侧,在直线l上找一点P,使得PA+PB的值最小
结论 作点B关于l的对称点C,连接AC,与直线l交点即为点P(两点之间线段最短)
针对训练
1.如图,在等边△ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,且点P是线段AD上的一个动点,当△PCE的周长最小时,P点的位置在(D)
A.A点处　　　　 B.D点处
C.AD的中点处 D.△ABC三条高的交点处
2.如图,在边长为a的等边△ABC中,BF是AC上的中线且BF=b,点D在BF上,连接AD,在AD的右侧作等边△ADE,连接EF,则△AEF周长的最小值是(B)
　　　　　　　　　　　　　　　
A.a+b　B.a+b　C.a+b　D.b
3.如图,已知∠AOB,P是∠AOB内部的一个定点,点E,F分别是OA,OB上的动点,
(1)要使得△PEF的周长最小,试在图上确定点E,F的位置.
(2)若OP=4,要使得△PEF的周长为4,则∠AOB=　　　　.
【解析】(1)如图,作点P关于OA的对称点C,关于OB的对称点D,连接CD,交OA于点E,OB于点F.此时,△PEF的周长最小.
(2)连接OC,OD,PE,PF.
因为点P与点C关于OA对称,所以OA垂直平分PC,
所以∠COA=∠AOP,PE=CE,OC=OP,
同理,可得∠DOB=∠BOP,PF=DF,OD=OP.
所以∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠AOB,OC=OD=OP=4,所以∠COD=
2∠AOB.
又因为△PEF的周长=PE+EF+FP=CE+EF+FD=CD=4,所以OC=OD=CD=4,
所以△COD是等边三角形,所以∠COD=60°,
所以∠AOB=30°.
答案:30°
【模型二】“造桥选址”型
模型
条件 如图,A,B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥PQ.桥造在何处才能使从A到B的路径APQB最短
结论 过点A作AA'⊥l1,且AA'等于河宽,连接A'B交河岸于点Q,作QP⊥l2交l1于点P,则PQ就为桥所在的位置
针对训练
4.如图1,A,B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短 (假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
【问题解决】如图2,过点B作BB'⊥l2,且BB'等于河宽,连接AB'交l1于点M,作MN⊥l1交l2于点N,则MN就为桥所在的位置.
【类比联想】如图3,正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且AF⊥GE,求证:AF=EG.
【证明】作BH∥EG交CD,AF于点H,I,
则BH=EG.因为AF⊥EG,所以BH⊥AF,
所以∠BIF=90°,
所以∠IBF+∠AFB=90°,
又因为Rt△ABF中,∠BAF+∠AFB=90°,所以∠BAF=∠IBF,
所以在△ABF和△BCH中,
所以△ABF≌△BCH(ASA),
所以AF=BH,所以AF=EG.微专题4　模型构建　轴对称中的最短路径问题
【模型一】“将军饮马”型
模型
条件 A,B 位于直线l的同侧,在直线l上找一点P,使得PA+PB的值最小
结论 作点B关于l的对称点C,连接AC,与直线l交点即为点P(两点之间线段最短)
针对训练
1.如图,在等边△ABC中,D,E分别是BC,AC的中点,且点P是线段AD上的一个动点,当△PCE的周长最小时,P点的位置在()
A.A点处　　　　 B.D点处
C.AD的中点处 D.△ABC三条高的交点处
2.如图,在边长为a的等边△ABC中,BF是AC上的中线且BF=b,点D在BF上,连接AD,在AD的右侧作等边△ADE,连接EF,则△AEF周长的最小值是()
　　　　　　　　　　　　　　　
A.a+b　B.a+b　C.a+b　D.b
3.如图,已知∠AOB,P是∠AOB内部的一个定点,点E,F分别是OA,OB上的动点,
(1)要使得△PEF的周长最小,试在图上确定点E,F的位置.
(2)若OP=4,要使得△PEF的周长为4,则∠AOB= .
【模型二】“造桥选址”型
模型
条件 如图,A,B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥PQ.桥造在何处才能使从A到B的路径APQB最短
结论 过点A作AA'⊥l1,且AA'等于河宽,连接A'B交河岸于点Q,作QP⊥l2交l1于点P,则PQ就为桥所在的位置
针对训练
4.如图1,A,B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短 (假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
【问题解决】如图2,过点B作BB'⊥l2,且BB'等于河宽,连接AB'交l1于点M,作MN⊥l1交l2于点N,则MN就为桥所在的位置.
【类比联想】如图3,正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且AF⊥GE,求证:AF=EG.
【证明】作BH∥EG交CD,AF于点H,I,
则BH=EG.因为AF⊥EG,所以BH⊥AF,
所以∠BIF=90°,
所以∠IBF+∠AFB=90°,
又因为Rt△ABF中,∠BAF+∠AFB=90°,所以∠BAF=∠IBF,
所以在△ABF和△BCH中,
所以△ABF≌△BCH(ASA),
所以AF=BH,所以AF=EG.

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