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5.1　勾股定理及其逆定理
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并证明勾股定理的逆定理;边长满足a2+b2=c2的三角形是直角三角形,进一步发展学生的推理能力 几何直观、运算能力、推理能力
2.能运用勾股定理的逆定理判断已知三边长度的三角形是不是直角三角形 模型观念、应用意识
基础主干落实　　九层之台 起于累土 　
新知要点
勾股定理的逆定理
文字 描述 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形
图示
几何 语言 因为AC2+BC2=AB2, 所以△ABC是直角三角形且∠C=90°
对点小练
下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是(D)
A.AB2+BC2=AC2
B.AB2-BC2=AC2
C.∠A+∠B=∠C
D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
重点典例研析　　循道而行 方能致远
【重点1】勾股定理的逆定理(几何直观、运算能力)
【典例1】在△ABC中,已知AB=12 cm,AC=9 cm,BC=15 cm,则△ABC的面积等于　54 cm2　.
【举一反三】
1.如图,在长度为1的正方形组成3×4的网格图中有a,b,c,d四条线段,下列能构成一个直角三角形三边的线段是(A)
A.a,b,c　 B.b,c,d
C.a,b,d　 D.a,c,d
2.一个三角形三边分别满足下列条件,判断这个三角形是否是直角三角形.
(1)(a+b)2-c2=2ab;
(2)n2+1,n2-1,2n(n>1).
【解析】(1)因为(a+b)2-c2=2ab,即a2+b2+2ab-c2=2ab,
所以a2+b2=c2,
所以这个三角形是直角三角形;
(2)因为(n2+1)2=n4+1+2n2,
(n2-1)2+(2n)2=n4+1+2n2,
所以(n2-1)2+(2n)2=(n2+1)2,
所以三边长分别为n2+1,n2-1,2n(n>1)构成直角三角形.
【重点2】勾股定理的逆定理的应用(几何直观、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P127练习T2变式)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=10,点D是线段AB上一点,BD=6,连接CD,CD=8.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)求△ABC的周长.
【自主解答】(1)在△BDC中,BC=10,BD=6,CD=8,因为BD2+CD2=62+82=102=BC2,所以△BDC是直角三角形,且∠BDC=90°,所以CD⊥AB;
(2)因为CD⊥AB,所以△ADC是直角三角形,所以AD2+CD2=AC2,即AD2+82=(AD+6)2,解得AD=,所以AC=6+=,所以△ABC的周长是++10=.
【举一反三】
“三农”问题是关系国计民生的根本性问题,实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措.如图,某村有一块三角形空地ABC,现计划将这块三角形空地进行新的规划,点D是BC边上的一点,过点D作垂直于AC的小路DE.经测量,AB=13米,AD=12米,AC=15米,BD=5米.
(1)求DC的长;
(2)求小路DE的长.
【解析】(1)因为AB=13米,AD=12米,BD=5米,所以AB2=BD2+AD2,所以∠ADB=90°,所以∠ADB=∠ADC=90°,
因为AC=15米,所以CD=9米;
(2)因为DE⊥AC,所以=AD·CD=AC·DE,
所以DE===(米),
故小路DE的长为米.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·运算能力)(多选)下列条件中,能判断△ABC是直角三角形的是(BCD)
A.三角形三条边的比为2∶3∶4
B.三角形三条边满足关系式AB2=BC2-AC2
C.三角形三条边的比为1∶1∶
D.三角形三个内角满足关系式∠B+∠C=∠A
2.(4分·几何直观、运算能力)如图所示的网格是正方形网格,则∠ABC=　45　°(点A,B,C是网格线交点).
3.(4分·推理能力、模型观念)如图,△ABC中,AC=9,BC=12,AB=15,AD为△ABC的角平分线,则CD=　4.5　.
4.(8分·几何直观、运算能力)已知:如图,四边形ABCD中,∠ACB=90°,
AB=15,BC=9,AD=5,DC=13.
(1)求∠CAD的度数;
(2)求四边形ABCD的面积.
【解析】(1)在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AB=15,BC=9,所以AC2=AB2-BC2=144,
所以AC=12.
因为AD=5,CD=13,
所以AD2+AC2=169,CD2=169,
所以CD2=AD2+AC2,
所以△ACD是直角三角形,且∠CAD=90°;
(2)S△ACD=AD·AC
=×5×12
=30;
S△ABC=AC·BC
=×12×9
=54,
所以30+54=84,
所以四边形ABCD的面积为84.5.1　勾股定理及其逆定理
第2课时
课时学习目标 素养目标达成
1.探索并证明勾股定理的逆定理;边长满足a2+b2=c2的三角形是直角三角形,进一步发展学生的推理能力 几何直观、运算能力、推理能力
2.能运用勾股定理的逆定理判断已知三边长度的三角形是不是直角三角形 模型观念、应用意识
基础主干落实　　九层之台 起于累土 　
新知要点
勾股定理的逆定理
文字 描述 如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形
图示
几何 语言 因为AC2+BC2= , 所以△ABC是 三角形且∠ =90°
对点小练
下列条件中不能判断△ABC是直角三角形的是()
A.AB2+BC2=AC2
B.AB2-BC2=AC2
C.∠A+∠B=∠C
D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
重点典例研析　　循道而行 方能致远
【重点1】勾股定理的逆定理(几何直观、运算能力)
【典例1】在△ABC中,已知AB=12 cm,AC=9 cm,BC=15 cm,则△ABC的面积等于 .
【举一反三】
1.如图,在长度为1的正方形组成3×4的网格图中有a,b,c,d四条线段,下列能构成一个直角三角形三边的线段是()
A.a,b,c　 B.b,c,d
C.a,b,d　 D.a,c,d
2.一个三角形三边分别满足下列条件,判断这个三角形是否是直角三角形.
(1)(a+b)2-c2=2ab;
(2)n2+1,n2-1,2n(n>1).
【重点2】勾股定理的逆定理的应用(几何直观、运算能力)
【典例2】(教材再开发·P127练习T2变式)如图,在△ABC中,AB=AC,BC=10,点D是线段AB上一点,BD=6,连接CD,CD=8.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)求△ABC的周长.
【举一反三】
“三农”问题是关系国计民生的根本性问题,实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措.如图,某村有一块三角形空地ABC,现计划将这块三角形空地进行新的规划,点D是BC边上的一点,过点D作垂直于AC的小路DE.经测量,AB=13米,AD=12米,AC=15米,BD=5米.
(1)求DC的长;
(2)求小路DE的长.
素养当堂测评　　(10分钟·20分)
1.(4分·运算能力)(多选)下列条件中,能判断△ABC是直角三角形的是(BCD)
A.三角形三条边的比为2∶3∶4
B.三角形三条边满足关系式AB2=BC2-AC2
C.三角形三条边的比为1∶1∶
D.三角形三个内角满足关系式∠B+∠C=∠A
2.(4分·几何直观、运算能力)如图所示的网格是正方形网格,则∠ABC= °(点A,B,C是网格线交点).
3.(4分·推理能力、模型观念)如图,△ABC中,AC=9,BC=12,AB=15,AD为△ABC的角平分线,则CD= .
4.(8分·几何直观、运算能力)已知:如图,四边形ABCD中,∠ACB=90°,
AB=15,BC=9,AD=5,DC=13.
(1)求∠CAD的度数;
(2)求四边形ABCD的面积.

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