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第2章一元二次方程同步训练2025-2026学年
湘教版九年级上册
一、选择题
1.下列关于x的方程，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2.方程3x2－2x－1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3和2 B．3和－2 C．3和－1 D．3和1
3.方程x2＝4x的解是（　　）
A．x＝4 B．x＝2 C．x＝4或x＝0 D．x＝0
4.用配方法解方程x2﹣6x﹣2＝0的过程中，应将此方程化为（　　）
A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣6）2＝38 D．（x﹣6）2＝34
5.下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
6.设a，b是方程x2﹣x﹣2025＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（　　）
A．20226 B．﹣2026 C．2024 D．﹣2024
7.已知菱形ABCD的两条对角线长是方程x2-7x+12=0的两个根，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．7.5 C．10 D．12.5
8．在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，所有学生共握手231次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（　　）
A． B．2x（x﹣1）＝231
C．x（x﹣1）＝231×2 D．x（x﹣1）＝231
9.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196
C．50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196
10.如图，某小区规划在一个长40m、宽26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道， 使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为144m ，那么通道的宽x应该满足的方程为(　　)
A．(40+2x)(26+x)=40×26 B．(40-x)(26-2x)=144×6
C．144×6+40x+2×26x+2x =40×26 D．(40-2x)(26-x)=144×6
二、填空题
11.若是一元二次方程，则a＝______．
12.若是方程的一个根，则________．
13.若方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________ ．
14.已知m，n是方程x2﹣x﹣4＝0的两个根，则mn﹣m﹣n＝___．
15.一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长为_____．
16.如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为160m2，则小路的宽度为　 　m．
三、解答题
17.解方程：
（1）； （2）．
18.已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值．
19.学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同：
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由
20.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米．
（1）当y＝72时，求x的值．
（2）y的值能否为120？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．
21．“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个．为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的售价应定为每个多少元．
【答案】
一、选择题
1.下列关于x的方程，一定是一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2.方程3x2－2x－1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（ ）
A．3和2 B．3和－2 C．3和－1 D．3和1
【答案】B
3.方程x2＝4x的解是（　　）
A．x＝4 B．x＝2 C．x＝4或x＝0 D．x＝0
【答案】C
4.用配方法解方程x2﹣6x﹣2＝0的过程中，应将此方程化为（　　）
A．（x﹣3）2＝11 B．（x﹣3）2＝7 C．（x﹣6）2＝38 D．（x﹣6）2＝34
【答案】A．
5.下列一元二次方程没有实数根的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
6.设a，b是方程x2﹣x﹣2025＝0的两个实数根，则a+b﹣ab的值为（　　）
A．20226 B．﹣2026 C．2024 D．﹣2024
【答案】A
7.已知菱形ABCD的两条对角线长是方程x2-7x+12=0的两个根，则菱形ABCD的面积为（ ）
A．6 B．7.5 C．10 D．12.5
【答案】A
8．在一次九年级学生数学交流会上，每两名学生握手一次，所有学生共握手231次．若设参加此会的学生为x名，据题意可列方程为（　　）
A． B．2x（x﹣1）＝231
C．x（x﹣1）＝231×2 D．x（x﹣1）＝231
【答案】C．
9.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（　　）
A．50（1+x2）=196 B．50+50（1+x2）=196
C．50+50（1+x）+50（1+x2）=196 D．50+50（1+x）+50（1+2x）=196
【答案】C
10.如图，某小区规划在一个长40m、宽26m的长方形场地ABCD上修建三条同样宽的通道， 使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块草坪的面积都为144m ，那么通道的宽x应该满足的方程为(　　)
A．(40+2x)(26+x)=40×26 B．(40-x)(26-2x)=144×6
C．144×6+40x+2×26x+2x =40×26 D．(40-2x)(26-x)=144×6
【答案】D
二、填空题
11.若是一元二次方程，则a＝______．
【答案】
12.若是方程的一个根，则________．
【答案】
13.若方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是________ ．
【答案】
14.已知m，n是方程x2﹣x﹣4＝0的两个根，则mn﹣m﹣n＝___．
【答案】
15.一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2-6x+8=0的根，则三角形的周长为_____．
【答案】12
16.如图，某小区规划在一个长为24m、宽为10m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种草．若草坪部分的总面积为160m2，则小路的宽度为　 　m．
【答案】：2．
三、解答题
17.解方程：
（1）； （2）．
解：（1）
或
解得：
（2）
或
解得：
18.已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，求k的值．
【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝（2k+1）2﹣4×1×（k2﹣2）＝4k+9＞0，
解得：k＞﹣，
即k的取值范围是k＞﹣；
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣（2k+1），x1 x2＝k2﹣2，
∵方程的两个实数根为x1、x2，且满足x12+x22＝11，
∴（x1+x2）2﹣2x1 x2＝11，
[﹣（2k+1）]2﹣2（k2﹣2）＝11，
解得：k＝﹣3或1，
∵关于x的方程x2+（2k+1）x+k2﹣2＝0有两个不相等的实数根，
必须k＞﹣，
∴k＝﹣3舍去，
所以k＝1．
19.学校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末进馆288人次．若进馆人次的月平均增长率相同：
（1）求进馆人次的月平均增长率；
（2）因学校条件限制，图书馆月接纳能力不超过400人次．在进馆人次月平均增长率不变的前提下，学校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次？请说明理由
【解答】解：（1）设进馆人次的月增长率为x，
依题意得：128（1+x）2＝288，
解得：x1＝0.5＝50%，x2＝﹣2.5（不合题意，舍去）．
答：进馆人次的月平均增长率50%．
（2）学校图书馆不能接纳第四个月的进馆人次，理由如下：
∵进馆人次的月平均增长率50%，
∴第四个月的进馆人次为288×（1+50%）＝432（人次）．
∵432＞400，
∴学校图书馆不能接纳第四个月的进馆人次．
20.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用总长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，苗圃园的面积为y平方米．
（1）当y＝72时，求x的值．
（2）y的值能否为120？若能，求出此时x的值；若不能，说明理由．
解：（1）设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x米，则圃园与墙平行的一边长为（30-2x）米，
由题意可得，解得：6≤x＜15，
x（30-2x）=72，
即x2-15x+36=0，
解得：x1=3（舍去），x2=12，
即x的值是12；
（2）由题意题意可得x（30-2x）=120，即，
，可得方程无解，
所以y的值不能为120.
21．“一盔一带”安全守护行动在全国各地积极开展．某品牌头盔的进价为30元/个，经测算当售价为40元/个时，月销售量为300个；售价每上涨1元，则月销售量减少10个．为使月销售利润达到3960元，并尽可能让顾客得到实惠，求该品牌头盔的售价应定为每个多少元．
【解答】解：设该品牌头盔的售价定为每个y元，则每个头盔的销售利润为（y﹣30）元，月销售量为300﹣10（y﹣40）＝（700﹣10y）（个），
根据题意得：（y﹣30）（700﹣10y）＝3960，
整理得：y2﹣100y+2496＝0，
解得：y1＝48，y2＝52，
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴y＝48．
答：该品牌头盔的售价应定为每个48元．

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