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2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第六讲 实际问题与一元二次方程（一）
知识点梳理
知识点1 传播问题
传播问题
传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数．
即：传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数
要点诠释：
（1）在传播问题中，如病毒传播、信息传播等，学生容易混淆增长率与增长量的概念。增长率是变化的比率，而增长量是增长的绝对数量。
（2）忽视初始条件：在建立方程时，学生可能忽视初始的传播量或基数，导致方程设置错误。
（3）在增长率问题中，注意增长率公式通常为：m=（n2-n1）÷n1×100%，其中 n1 是原始数量，n2是增长后的数量，(m) 是增长率。学生容易在计算时忽略分母n1或错误地将其替换为其他值。在涉及多年增长率的问题中，学生可能未正确考虑时间间隔对最终数量的影响。
知识点2 计数问题
单双循环问题：单循环：＝总数；
双循环：＝总数。（表示参与数量）
要点诠释：
在计数问题中，正确区分单循环、双循环是解题关键。
单循环 ：每个参赛者与主体与其他所有参与主体各进行一次互动，双循环 ：每个参赛者与主体与其他参与主体各进行两次互动。
知识点3 数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位
数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
　　如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
题型1 传播、传染问题
【例1】．某种电脑病毒的传播速度非常快，若有2台电脑被感染，则经过两轮传播后会有288台电脑被感染．
(1)每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？
(2)若病毒得不到有效控制，三轮传播后，被感染的电脑共有多少台？
针对训练1
1．“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
2．若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？
3．鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同．
(1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？
(2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？
4．有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感．
(1)每轮传染中平均一人传染了几人？
(2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？
生长
题型2 树木生长问题
【例2】．某个植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总是133．
若设每个支干长出x个小分支，
(1)分析：根据问题中的数量关系，填空：
①主干的数目为______；
②从主干中长出的枝干的数目为______（用含x的式子表示）；
③又从上述枝干中长出的小分支的数目为______（用含x的式子表示）．
(2)完成问题的求解．
针对训练2
1．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数．
2．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
x（主干长出支干的个数） 2 3 4
主干、支干和小分支的总数
(2)填空（用含x的代数式表示）：
①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是；
②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为；
③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为；
(3)请继续完成本题的解答：
3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？
4．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？
题型3 循环问题
【例3】．今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次方程解决）
针对训练3
1．区教育局要组织辖区内学校进行足球友谊赛，赛制为单循环形式，即每两所学校之间都赛一场，计划安排28场比赛，应邀请多少所学校参加比赛
2．随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？
3．某教育局组织教职工男子篮球比赛．
(1)本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少支队参加比赛
(2)在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是400平方米，求每个正方形的边长．
4．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
5．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．
(1)若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次；
(2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数；
(3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论；
(4)小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值．
题型4 增长率问题
【例4】．
背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送．
素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元．
素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元．
问题解决
任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率．
任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价．
任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由．
针对训练4
1．今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月的月平均增长率．
(2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
2．随着我国社会保障机制的进一步完善，越来越多的单位更多的在工资方面体现出对职工的全面关怀，并且工资水平也在逐年提高、某公司实行年工资制，职工的年工资由基础工资、住房补贴和医疗费三项组成，具体规定如下：
项目 第一年的工资（万元） 一年后的计算方法
基础工资 每年的增长率相同
住房补贴 每年增加
医疗费 固定不变
(1)如果设基础工资每年的增长率为，那么用含的代数式表示第三年的基础工资为_____万元；
(2)某人在公司工作了3年，他算了一下这3年拿到的住房补贴和医疗费正好是这3年基础工资总额的18%，问基础工资每年的增长率是多少？
3．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
4．第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚．
(1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率；
(2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？
5．随着我国汽车产业的飞速发展，家用汽车正在进入普及阶段．某汽车销售公司销售燃油车和新能源车两种不同类型的汽车，2022年该汽车销售公司销售汽车数量为800辆，2024年该汽车销售公司销售汽车数量为1152辆，假设该汽车销售公司2023年和2024年销售汽车数量的增长率相同．
(1)求该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是多少？
(2)若该汽车销售公司销售一辆燃油车的利润大约为2万元，销售一辆新能源车的利润大约为2.2万元，且预计该汽车销售公司2025年的汽车销售数量的增长率比2024年的增长率大，要使2025年的销售利润不低于3050万元，新能源车至少要销售多少辆？
题型5 数字问题
【例5】．已知实数、满足，试求的值．
解：设，则原方程可化为，即，
解得：，
∵，
∴，
上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂问题简单化．
根据以上阅读材料，解决下列问题：
(1)已知实数、满足，求的值；
(2)若四个连续正整数的积为，求这四个正整数．
针对训练5
1．数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论：．他们继续研究下面用“※”和“”组成的图案中“※”和“”的个数问题：
【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“※”的个数为__________；
（2）第n个图案中“”的个数为__________；
【规律应用】
（3）结合图案中“※”和“”的排列方式及上述规律，求第几个图案中“”的个数比“※”的个数多77．
2．如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题．
(1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）．
(2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数．
3．第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份．
(1)请把八进制数换算成十进制数；
(2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）．
4．【观察思考】
【规律发现】
（1）若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形个数记作，，图中小正方形个数记作，则______，______；（用含的式子表示）
【规律应用】
（2）结合上述规律，试说明是否存在正整数，使得等于的4倍？
5．阅读与思考：下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成任务．
求为正整数）方法欣赏在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求为正整数）的值”这个问题的两种解法供大家欣赏．方法1：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2 ．．．．．．．．① 则．．．．．．②①+②得 即：∴．方法2：“递归法”（设．由完全平方公式可得，．我们列出特殊情况：；；；…．两边分别相加可得，．．
任务：
(1)计算：　　；
(2)我们知道：；；；则 ；
(3)列方程解答问题：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？”
能力提升 创新拓展
1．对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“方积数”．例如：，因为，所以484是“方积数”．
(1)请通过计算判断263是不是“方积数”，并直接写出最小的“方积数”．
(2)已知一个“方积数”（，其中，，为自然数），若是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，且，求满足条件的所有的值．
2．为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧：
主题：双皮奶销售方案制定问题
素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶
素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份．
素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份．
问题解决
任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？
任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？
3．近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元．
(1)求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率
(2)该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？
2025年新九年级数学人教版暑假大讲堂
第六讲 实际问题与一元二次方程（一）（解析版）
知识点梳理
知识点1 传播问题
传播问题
传染源第一轮被传染的第二轮被传染的第二轮传染后的总数．
即：传播、传染问题：原病例数×（1＋传播数）传播轮数＝总病例数
要点诠释：
（1）在传播问题中，如病毒传播、信息传播等，学生容易混淆增长率与增长量的概念。增长率是变化的比率，而增长量是增长的绝对数量。
（2）忽视初始条件：在建立方程时，学生可能忽视初始的传播量或基数，导致方程设置错误。
（3）在增长率问题中，注意增长率公式通常为：m=（n2-n1）÷n1×100%，其中 n1 是原始数量，n2是增长后的数量，(m) 是增长率。学生容易在计算时忽略分母n1或错误地将其替换为其他值。在涉及多年增长率的问题中，学生可能未正确考虑时间间隔对最终数量的影响。
知识点2 计数问题
单双循环问题：单循环：＝总数；
双循环：＝总数。（表示参与数量）
要点诠释：
在计数问题中，正确区分单循环、双循环是解题关键。
单循环 ：每个参赛者与主体与其他所有参与主体各进行一次互动，双循环 ：每个参赛者与主体与其他参与主体各进行两次互动。
知识点3 数字问题
(1)任何一个多位数都是由数位和数位上的数组成.数位从右至左依次分别是：个位、十位、百位、 千位……，它们数位上的单位从右至左依次分别为：1、10、100、1000、……，数位上的数字只能是0、1、2、……、9之中的数，而最高位上的数不能为0.因此，任何一个多位数，都可用其各数位上的数字与其数位上的单位的积的和来表示，这也就是用多项式的形式表示了一个多位
数.如：一个三位数，个位上数为a，十位上数为b，百位上数为c，则这个三位数可表示为： 100c+10b+a.
(2)几个连续整数中，相邻两个整数相差1.
　　如：三个连续整数，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1.
　　几个连续偶数(或奇数)中，相邻两个偶数(或奇数)相差2.
　　如：三个连续偶数(奇数)，设中间一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2.
题型1 传播、传染问题
【例1】．某种电脑病毒的传播速度非常快，若有2台电脑被感染，则经过两轮传播后会有288台电脑被感染．
(1)每轮传播中平均一台电脑会感染几台电脑？
(2)若病毒得不到有效控制，三轮传播后，被感染的电脑共有多少台？
【答案】(1)每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑
(2)三轮传播后，被感染的电脑共有3456台
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是本题的关键．
（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则有，再解方程求出满足条件的x的值即可；
（2）将代入中计算即可．
【详解】（1）解：设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑，
根据题意得：，即，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：每轮传播中平均一台电脑会感染11台电脑；
（2）解：由题意可知，，
由（1）知，
则（台），
答：三轮传播后，被感染的电脑共有3456台．
针对训练1
1．“埃博拉”病毒是一种能引起人类和灵长类动物产生“出血热”的烈性传染病毒，传染性极强．一个美国人在非洲旅游时不慎感染了“埃博拉”病毒，经过两轮传染后，共有64人受到感染．
(1)每轮传染中平均一个人传染了几个人？
(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7个人
(2)第三轮将又有448人被传染
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据经过两轮传染后共有64人受到感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）第三轮被传染人数就是用第二轮感染的64人乘以每人每轮的传染人数7即可．
【详解】（1）解∶设每轮传染中平均每人传染了x人，根据题意得
，
解得或(舍)．
答∶每轮传染中平均一个人传染了7个人．
（2）由（1）可知每轮传染中平均一个人传染7个人，经过两轮传染后有64人感染．
那么第三轮被传染的人数为人．
答：第三轮将又有448人被传染．
2．若一人患上流感，经过两轮传染后，共有144人被传染上流感，这时引起有关部门注意，加以控制，以后每轮传染少5人，问第四轮传染后共有多少人患流感？
【答案】第四轮传染后共有7056人患流感
【分析】设每轮传染中平均每人传染了x人，根据经过两轮传染后共有144人患了流感，可求出x，进而求出第四轮过后，又被感染的人数．
本题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键．
【详解】解：设每轮传染中平均每人传染了x人，依题意有：，
故，
∴或，
∴，（不合题意，舍去），
（人）．
答：第四轮传染后共有7056人患流感．
3．鸡瘟是一种传播速度很强的传染病，一轮传染为一天时间，红发养鸡场某日发现一例两天后发现共有169只鸡患有这种病，若每例病鸡传染健康鸡的只数均相同．
(1)求每轮传染中平均每只病鸡传染了多少只健康鸡？
(2)如果不及时控制，三轮传染后，患病的鸡共有多少只？
【答案】(1)12只
(2)2197只
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找出题目中的等量关系式．
（1）平均每只病鸡传染了x只健康鸡，则第一天有x只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，所以经过两天的传染后感染患病的鸡共有：只，根据经过两天的传染后使鸡场感染患病的鸡169，为等量关系列出方程求出符合题意的值即可；
（2）根据经过三轮传染后患病的鸡＝经过两轮传染后患病的鸡数+经过两轮传染后患病的鸡数，即可求出结论．
【详解】（1）解：设每只病鸡传染了x只健康鸡，由题意得：
，
解，得，，(不符合题意舍去)，
答：每只病鸡传染健康鸡12只；
（2）解：，
答：三轮传染后，患病的鸡共有2197只．
4．有一个人患了某种流感，经过两轮传染后共有100人患了此流感．
(1)每轮传染中平均一人传染了几人？
(2)如果此流感未得到及时控制，按照这样的传染速度，经过三轮传染后一共有多少人患此流感？
【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染9个人
(2)1000人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于读懂题意，设出合适的未知数，找出等量关系，列方程求解．
（1）设第一个人传染了人，根据两轮传染后共有100人患了流感；列出方程，即可求解；
（2）根据题意，求出三轮之后患流感的人数．
【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染个人，
由题意得：，即：
解得：，，
，
不合题意，舍去，
，
答：每轮传染中平均一个人传染9个人．
（2）第一轮的患病人数为：人，
第二轮的患病人数为：人，
则，第三轮的患病人数为：人．
生长
题型2 树木生长问题
【例2】．某个植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总是133．
若设每个支干长出x个小分支，
(1)分析：根据问题中的数量关系，填空：
①主干的数目为______；
②从主干中长出的枝干的数目为______（用含x的式子表示）；
③又从上述枝干中长出的小分支的数目为______（用含x的式子表示）．
(2)完成问题的求解．
【答案】(1)①1；②x；③
(2)见解析
【分析】（1）①主干为1；
②由于每个枝干长出x个小分支，故主干共长出x个分支；
③由于每个枝干长出x个小分支，故x个枝干共长出个小分支；
（2）根据总数=主干+枝干+小分支列方程即可解决．
【详解】（1）解：①由于主干只有1个，
故答案为：1；
②∵每个枝干长出x个分支，
∴从主干上共长出个分支，
故答案为：x；
③∵每个枝干长出x个分支，
∴从x个枝干上共长出个小分支，
故答案为：；
（2）解：由题意有：，
解得：，（舍），
∴每个枝干长出11个小分支．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，找准数量关系，正确列出一元二次方程是解决问题的关键．
针对训练2
1．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若该植物的一个主干及其上面的支干和小分支的总数是57，求这种植物每个支干长出的小分支个数．
【答案】这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设这种植物每个支干长出的小分支个数是，根据主干、支干和小分支的总数是57，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是，
根据题意，可得，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
答：这种植物每个支干长出的小分支个数是7．
2．某种树木的主干长出若干支干，假设每个支干又长出同样数目的小分支，若此时主干、支干和小分支的总数是111．求每个支干长出多少小分支？设主干长出了x个支干．请根据相关信息，解答下列问题：
(1)填表：
x（主干长出支干的个数） 2 3 4
主干、支干和小分支的总数
(2)填空（用含x的代数式表示）：
①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是；
②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为；
③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为；
(3)请继续完成本题的解答：
【答案】(1)7，13，21
(2)
(3)10个
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，还涉及有理数的计算，列代数式，正确理解题意是解题的关键．
（1）分别求出主干、支干和小分支的总数填表即可；
（2）①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：；
（3）由题意得，再解方程即可．
【详解】（1）解：主干长出支干的个数为2时，则主干、支干和小分支的总数为；
主干长出支干的个数为3时，则主干、支干和小分支的总数为；
主干长出支干的个数为4时，则主干、支干和小分支的总数为；
则填表为：
x（主干长出支干的个数） 2 3 4
主干、支干和小分支的总数 7 13 21
（2）解：①在小分支没有长出之前，主干和支干的总数是：；
②在每个支干又长出了数目相同的小分支后，小分支的个数为：；
③在每个支干又长出了数目相同的小分支后，主干、支干和小分支的总数可以表示为：；
（3）解：由题意得，，
解得：，（不合题意，舍去）
答：每个支干长出10个小分支．
3．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数量的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，每个支干长出多少小分支？
【答案】每个支干长出8个小分支
【分析】此题考查了一元二次方程的应用．
由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个,每个小分支又长出x个分支,则又长出个分支,则共有个分支,即可列方程求得x的值．
【详解】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：，
解得：或（不合题意，应舍去），
∴
答：每支支干长出8个小分支．
4．某校“生物研学”活动小组在一次野外研学实践时，发现某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支．若主干、支干和小分支的总数是73，求这种植物每个支干长出的小分支个数是多少？
【答案】8
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，根据主干、支干和小分支的总数是73，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出答案．
【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是，
根据题意，可得，
整理得，
解得，（不合题意，舍去），
答：这种植物每个支干长出的小分支个数是8．
题型3 循环问题
【例3】．今天是个特别的日子，我们班有好多人都在今天过生日，为庆祝生日，凡是今天过生日的都要制作生日贺卡相互赠送，结果一共赠送了56个生日贺卡，那么，谁知道我们班一共有多少人今天过生日？（用一元二次方程解决）
【答案】一共有8个人过生日．
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做个生日贺卡，即共做个．根据一共赠送了56个生日贺卡列方程求解即可．
【详解】解：设一共有x人过生日，由已知，每个过生日的人要做个生日贺卡，即共做个．由题意得
整理可得
解得（舍）
答：一共有8个人过生日．
针对训练3
1．区教育局要组织辖区内学校进行足球友谊赛，赛制为单循环形式，即每两所学校之间都赛一场，计划安排28场比赛，应邀请多少所学校参加比赛
【答案】应邀请8所学校参加比赛
【分析】设应邀请x所学校参加比赛，根据列一元二次方程，求解即可．
【详解】解：设应邀请x所学校参加比赛，
由题意得：，
解得：，（不符合题意舍去），
答：应邀请8所学校参加比赛．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，正确理解题意列出一元二次方程是解题的关键．
2．随着通信事业的日益发达，信息传播越来越快捷，如果有一个人收到一条信息后，转发了此信息，收到转发的信息的人中有会将其再转发给其他没有此信息的人，经过两轮转发后，共有169人收到此信息，请问平均每人每轮转发给几个人？
【答案】21
【分析】设平均每人每轮转发给个人，根据题意列出一元二次方程并求解，即可获得答案．
【详解】解：设平均每人每轮转发给个人，
根据题意可得，，
解得 ，（不合题意，舍去），
答：平均每人每轮转发给21个人．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键．
3．某教育局组织教职工男子篮球比赛．
(1)本次比赛采用单循环赛制（参赛的每两支队之间要比赛一场），共安排了28场比赛，问：有多少支队参加比赛
(2)在比赛场地边，东南西北四个角落分别划分一个大小一样的正方形观众席，已知观众席的总面积是400平方米，求每个正方形的边长．
【答案】(1)有8支队参加比赛
(2)每个正方形的边长为米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，算术平方根的意义；
（1）设有支队参加比赛，根据采用单循环赛制，共安排了28场比赛列方程求解即可；
（2）先求出每个正方形的面积，再根据算术平方根的意义求出每个正方形的边长．
【详解】（1）解：设有支队参加比赛，
由题意得：，
解得：，（舍去），
答：有8支队参加比赛；
（2）每个正方形的面积是平方米，
则每个正方形的边长为米．
4．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有91人有此短信．
(1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？
(2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？
【答案】(1)这个短信要求收到短信的人必须转发给9人
(2)从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，含乘方的有理数混合计算的实际应用：
（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可；
（2）根据（1）所求列式求解即可．
【详解】（1）解：设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，
由题意得，，
整理得，
解得或（舍去），
答：这个短信要求收到短信的人必须转发给9人；
（2）解：人，
答：从小王开始计算，三轮后会有820人有此短信．
5．在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且握手1次．
(1)若参加聚会的人数为3，则共握手____________次；若参加聚会的人数为5，则共握手____________次；若参加聚会的人数为n（n为正整数），则共握手____________次；
(2)若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数；
(3)嘉嘉由握手问题想到了一个数学问题：若线段上共有m个点（不含端点A，B），线段总数为多少呢？请直接写出结论；
(4)小明想到另一个数学问题：若n边形的边数增加1，对角线总数增加9，求边数n的值．
【答案】(1)3；10；
(2)8人
(3)
(4)10
【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；根据各数量之间的关系，列出代数式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）将线段数当成人握手次数来解决问题,（4）根据题意列出方程求解即可．
（1）由握手总数=参加聚会的人数参加聚会的人数，即可求出结论；由参加聚会的人数为n（n为正整数），可知每人需跟人握手，即可求出握手总数；
（2）由（1）的结论结合共握手28次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（3）将线段数当成人握手次数，结合（1）即可得出结论．
（4）根据题意列出方程求解即可．
【详解】（1）解：，．
解：∵参加聚会的人数为n（n为正整数），
∴每人需跟人握手，
∴共握手次．
故答案为：3；10；
（2）解：依题意，得：，
整理，得：，
解得：（不合题意，舍去）．
答：参加聚会的人数为8人．
（3）解：∵线段上共有m个点（不含端点A，B），
∴可当成共有个人握手，
∴线段总数为．
（4）解：根据题意得，，
解得．即边数n的值为10．
题型4 增长率问题
【例4】．
背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送．
素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元．
素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元．
问题解决
任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率．
任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价．
任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由．
【答案】任务1：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；任务2：下调后每个手办的售价为50元；任务3：不能
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键．
任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，，然后根据题意可得方程，进而问题可求解；
任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，根据题意得到，进而问题可求解．
任务3：假设平均每天能获利2100元，设此时下调后每个手办的售价为元，列出方程求解即可．
【详解】解：任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；
任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又 ∵要尽量减少库存，
，
答：下调后每个手办的售价为50元．
任务3：设下调后每个手办的售价为元，
则，
整理得：，
，
故平均每天不能获利2100元．
针对训练4
1．今年某超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．
(1)求四、五这两个月的月平均增长率．
(2)从六月份起，商场为了减少库存，从而采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场月获利4250元？
【答案】(1)四、五这两个月的月平均增长率；
(2)当商品降价5元时，商场月获利4250元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设四月，五月的月平均增长率为x，根据题意，得，解方程即可；
（2）设降价m元，商场月获利4250元，根据题意，得，解方程即可．
【详解】（1）解：设四月，五月的月平均增长率为x，
根据题意，得，
解得，（舍去），
答：四、五这两个月的月平均增长率；
（2）解：设降价m元，商场月获利4250元，
根据题意，得
，
解得，（舍去），
答：当商品降价5元时，商场月获利4250元．
2．随着我国社会保障机制的进一步完善，越来越多的单位更多的在工资方面体现出对职工的全面关怀，并且工资水平也在逐年提高、某公司实行年工资制，职工的年工资由基础工资、住房补贴和医疗费三项组成，具体规定如下：
项目 第一年的工资（万元） 一年后的计算方法
基础工资 每年的增长率相同
住房补贴 每年增加
医疗费 固定不变
(1)如果设基础工资每年的增长率为，那么用含的代数式表示第三年的基础工资为_____万元；
(2)某人在公司工作了3年，他算了一下这3年拿到的住房补贴和医疗费正好是这3年基础工资总额的18%，问基础工资每年的增长率是多少？
【答案】(1)
(2)基础工资每年的增长率是
【分析】本题主要考查了一元二次方程是实际应用——增长率问题，解题的关键是掌握：增长率问题中可以设基数为a，平均增长率为x，增长的次数为n，则增长后的结果为；而增长率为负数时，则降低后的结果为．
（1）根据“第一年工资为1万元，又因为每年增长率相同”，即可解答；
（2）先计算出这3年拿到的住房补贴和医疗费，再根据“这3年拿到的住房补贴和医疗费正好是这3年基础工资总额的”，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵第一年工资为1万元，又因为每年增长率相同，
∴第三年的基础工资为：，
故答案为：；
（2）解：∵住房补贴每年增长万元，
∴三年的住房补贴为：（万元）；
∵医疗费固定不变，
∴三年的医疗费为：（万元）；
根据题意可得：，
整理得：，
解得：（舍去），
答：基础工资每年的增长率是．
3．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率；
(2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为
(2)该品牌头盔的实际售价应定为元/个
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键：
（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：，
解得：或（舍去）；
答：该品牌头盔销售量的月增长率为；
（2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得：
，
解得：，
∵尽可能让顾客得到实惠，
∴；
答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个．
4．第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在我国冰城哈尔滨胜利召开．徽章作为亚冬会第一批特许商品早于2024年2月4日开售，并深受大家的喜爱．某商店以每枚45元的价格购进某款亚冬会徽章，以每枚68元的价格出售，经统计，2024年2月份的销售量为256枚，2024年4月份的销售量为400枚．
(1)求该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率；
(2)从4月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款徽章每降价1元，月销售量就会增加20枚，当该款徽章降价多少元时，月销售利润达8400元？
【答案】(1)该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为；
(2)当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意列出方程是解题的关键．
（1）设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，根据2月份到4月份销售量从256变成400建立方程求解即可；
（2）设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，根据总利润为8400元建立方程求解即可．
【详解】（1）解：设该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为x，
根据题意，得．
解得（不合题意，舍去）．
答：该款徽章2024年2月份到4月份销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该款徽章降价m元，则每枚的利润为元，月销售量为枚，
根据题意，得，
整理得，
解得m1=8，m2=-5（不合题意，舍去）．
答：当该款徽章降价8元时，月销售利润达8400元．
5．随着我国汽车产业的飞速发展，家用汽车正在进入普及阶段．某汽车销售公司销售燃油车和新能源车两种不同类型的汽车，2022年该汽车销售公司销售汽车数量为800辆，2024年该汽车销售公司销售汽车数量为1152辆，假设该汽车销售公司2023年和2024年销售汽车数量的增长率相同．
(1)求该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是多少？
(2)若该汽车销售公司销售一辆燃油车的利润大约为2万元，销售一辆新能源车的利润大约为2.2万元，且预计该汽车销售公司2025年的汽车销售数量的增长率比2024年的增长率大，要使2025年的销售利润不低于3050万元，新能源车至少要销售多少辆？
【答案】(1)该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是
(2)新能源车至少要销售850辆
【分析】本题主要考查了一元二次方程及一元一次不等式的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是x，由题意可得，进而求解即可；
（2）由题意易得2025年的汽车销售数量为1440辆，设新能源车要销售m辆，则燃油车要销售辆，由题意易得，进而求解即可．
【详解】（1）解：设该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是x，由题意得：
，
解得：（不符合题意，舍去）；
答：该汽车销售公司2024年的汽车销售数量的增长率是．
（2）解：由（1）可知：2025年的汽车销售数量为（辆），
设新能源车要销售m辆，则燃油车要销售辆，由题意得：
，
解得：；
答：新能源车至少要销售850辆．
题型5 数字问题
【例5】．已知实数、满足，试求的值．
解：设，则原方程可化为，即，
解得：，
∵，
∴，
上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂问题简单化．
根据以上阅读材料，解决下列问题：
(1)已知实数、满足，求的值；
(2)若四个连续正整数的积为，求这四个正整数．
【答案】(1)
(2)这四个正整数为，，，
【分析】本题考查了解一元二次方程，根据换元法解一元二次方程即可求解；
（1）令，则原方程为：，结合可得答案；
（2）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解．
【详解】（1）解：令，
∴化为：，
解得：或，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设最小的数为，则，
∴，
设，则，
解得：，，
∵是正整数，
∴，
解得：，(舍去)，
∴这四个正整数为，，，．
针对训练5
1．数学兴趣小组运用数形结合的思想研究出结论：．他们继续研究下面用“※”和“”组成的图案中“※”和“”的个数问题：
【观察思考】
【规律发现】
请用含n的式子填空：
（1）第n个图案中“※”的个数为__________；
（2）第n个图案中“”的个数为__________；
【规律应用】
（3）结合图案中“※”和“”的排列方式及上述规律，求第几个图案中“”的个数比“※”的个数多77．
【答案】（1）
（2）
（3）第10个图案中“”的个数比“※”的个数多77
【分析】本题主要考查图形的变化规律，一元二次方程的应用，解答的关键是由所给的图形总结出存在的规律．
（1）根据前四个图形中所求图案的个数总结规律即可；
（2）根据前四个图形中所求图案的个数总结规律即可；
（3）根据题意列出一元二次方程即可解答．
【详解】解：（1）由图得第1个图案中“※”的个数为个，
第2个图案中“※”的个数为个，
第3个图案中“※”的个数为个，
第个图案中“※”的个数为个；
故答案为：
（2）由图得第1个图案中“”的个数为个，
第2个图案中“”的个数为个，
第3个图案中“”的个数为个，
第个图案中“”的个数为个；
故答案为：；
（3）由题意可得，
解得（舍去），
故第10个图案中“”的个数比“※”的个数多77．
2．如图，这是2024年12月的月历表，用虚线方框按如图所示的方法任意圈出四个数，设这四个数从小到大依次为a，b，c，d，请解答下列问题．
(1)若用表示最小的数，则 ， ， （用含的式子表示）．
(2)若虚线方框中的最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，求最小的数．
【答案】(1)
(2)最小的数为20
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列方程是解题的关键．
（1）观察日历表即可推出；
（2）根据最大数与最小数的乘积与这四个数的和为656，列出方程即可推理．
【详解】（1）解：观察图形可得，
故答案为：；
（2）解：设最小的数为，则．
由题意可得，整理得，
解得（舍去），
最小的数为20．
3．第十四届国际数学教育大会会徽的主题图案有着丰富的数学元素，展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数八进制是以作为进位基数的数字系统，有共个基本数字，八进制数换算成十进制数是，表示的举办年份．
(1)请把八进制数换算成十进制数；
(2)小华设计了一个进制数，换算成十进制数是，求的值（为正整数）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的混合运算，解题关键是根据题意找到进制转化的方法．
（1）根据题意，从个位数字起，将八进制的每一位数分别乘以，，，，再把所得的结果相加即可；
（2）根据进制数和十进制数的计算方法得到关于的方程，解方程即可．
【详解】（1）
．
故答案为：；
（2）依题意有：，
解得，负值舍去．
故的值是．
4．【观察思考】
【规律发现】
（1）若图1中小正方形个数记作，图2中小正方形个数记作，，图中小正方形个数记作，则______，______；（用含的式子表示）
【规律应用】
（2）结合上述规律，试说明是否存在正整数，使得等于的4倍？
【答案】（1），；（2）存在，理由见解析．
【分析】本题主要考查了图形规律探索以及一元二次方程的应用．
（1）根据图形规律总结出规律并表示出来即可，并计算出结果．
（2）根据题意列出关于n的一元二次方程，解方程即可得出答案．
【详解】解：（1）图1中小正方形的数量是：（个）
图2中小正方形的数量是：（个）
图3中小正方形的数量是：（个）
…
图n中小正方形的数量是：个，
，
故答案为：，
（2）存在，理由如下：
根据题意：，
整理得：，
即，
∴，（舍去）
故时，使得等于的4倍．
5．阅读与思考：下面是小宇同学整理的一篇数学日记，请仔细阅读并完成任务．
求为正整数）方法欣赏在学习一元二次方程时，数学老师组织同学们进行了一次数学活动“三角形点阵中前行的点数计算”．老师给出了提示：．课后我们小组收集了“求为正整数）的值”这个问题的两种解法供大家欣赏．方法1：把式子的加数顺序倒过来写在原始式子的下面，上下的加数加起来再除以2 ．．．．．．．．① 则．．．．．．②①+②得 即：∴．方法2：“递归法”（设．由完全平方公式可得，．我们列出特殊情况：；；；…．两边分别相加可得，．．
任务：
(1)计算：　　；
(2)我们知道：；；；则 ；
(3)列方程解答问题：阿拉伯数学著作《算术之钥》书中，记载着一道数学题：“一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比前面那个人多摘一个石榴，这群人刚好把果园的石榴全部摘下来了，如果平均分配，每个人可以得到6个石榴，问这群人共有多少人？”
【答案】(1)20706
(2)
(3)这群人共有11人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用及数字的变化规律
（1）根据方法1：“头尾相加法”，即可解答；
（2）根据方法2：“递归法”计算即可；
（3）设这群人共有人，根据等差数列求和公式和平均数公式得到关于梨子个数的方程，解方程求解即可解答．
【详解】（1），
故答案为：20706；
（2）令 ..... ①，
....................②
②①：有，
故答案为：；
（3）设这群人共有人，
由题意，得，
即，
解方程，得（舍去），，
答：这群人共有11人．
能力提升 创新拓展
1．对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“方积数”．例如：，因为，所以484是“方积数”．
(1)请通过计算判断263是不是“方积数”，并直接写出最小的“方积数”．
(2)已知一个“方积数”（，其中，，为自然数），若是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，且，求满足条件的所有的值．
【答案】(1)263不是方积数，121
(2)121，242，363，484
【分析】（1）由题意代入验证即可解答；
（2）求出m与n互为倒数，又m＋n＝ 2，得出m＝ 1，n＝ 1，求出b＝a＋c，a＝c，结合方积数的定义即可得出答案
【详解】（1）∵62＝36，4×2×3＝24，36≠24
∴263不是方积数；
∵各个数位上的数字都不为零，百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，
∴十位上的数字的平方最小为4，
∵22＝4，4×1×1＝4，
∴最小的“方积数”是121；
（2）∵k＝100a＋10b＋c是方积数，
∴b2＝4ac，即b2﹣4ac＝0，
∵x＝m是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，x＝n是一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的一个根，
∴am2＋bm＋c＝0，cn2＋bn＋a＝0，
将cn2＋bn＋a＝0两边同除以n2得：a（）2＋b（）＋c＝0，
∴将m、看成是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，
∵b2﹣4ac＝0，
∴方程ax2＋bx＋c有两个相等的实数根，
∴m＝，即mn＝1，
∵m＋n＝﹣2，
∴m＝﹣1，n＝﹣1，
∴a﹣b＋c＝0，
∴b＝a＋c，
∵b2＝4ac，
∴（a＋c）2＝4ac，
解得：a＝c，
∴满足条件的所有k的值为121，242，363，484．
【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是弄清方积数的定义．
2．为了更好推广顺德美食——双皮奶，让我们一起制定销售方案吧：
主题：双皮奶销售方案制定问题
素材1 卡通财神双皮奶 缤纷双皮奶
素材2 经统计，该甜品店5月份“卡通财神双皮奶”销售量为480份，7月份销售量为750份；而“缤纷双皮奶”7月份销售量为600份．
素材3 为了尽快减少库存，决定8月份对“缤纷双皮奶”作降价促销，已知每份“缤纷双皮奶”的成本为9元．经试验，发现该款双皮奶每降价1元，月销售量就会增加100份．
问题解决
任务1 求该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是多少？
任务2 为了使该店8月份“缤纷双皮奶”的总利润达到6300元，求该双皮奶应该降价多少元？
【答案】任务1：该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；任务：该双皮奶应该降价元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键．
任务1：设该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解；
任务：设该双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得解．
【详解】解：任务1：设该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是，
由题意可得：，
解得：或（不符合题意，舍去），
∴该甜品店“卡通财神双皮奶”5月份到7月份销售量的月平均增长率是；
任务：设该双皮奶应该降价元，则每杯的利润为元，月销售量为杯，
由题意可得：，
解得：或，
∵为了减少库存，
∴，
∴该双皮奶应该降价元．
3．近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元．
(1)求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率
(2)该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？
【答案】(1)集体经济收入的年平均增长率为10%
(2)每千克甜瓜应涨价5元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可；
（2）设每千克甜瓜应涨价y元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【详解】（1）解：设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，
，
解之得(不合题意，舍去)，
答∶集体经济收入的年平均增长率为；
（2）解：设每千克甜瓜应涨价y元，
，
解之得，
∵要使顾客得到实惠，
∴，
答∶每千克甜瓜应涨价5元．
典例精讲 1
典例精讲 2
典例精讲 3
典例精讲 4
典例精讲 5
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典例精讲 4
典例精讲 5
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