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2024-2025学年山西省长治一中高二（下）期末数学试卷（B卷）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B.
C. D. ，
2.曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
3.已知、，则“”是“”的条件．
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要
4.已知圆锥的底面半径为，且圆锥的底面积是侧面积的一半，则圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
5.投掷均匀的骰子，每次投得的点数为或时得分，投得的点数为，，，时得分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是( )
A. 投掷次骰子，最终得分的期望为
B. 设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则
C. 设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则
D. 设最终得分为分的概率为，则
6.某厂年的产值为万元，预计产值每年以递增，则该厂到年的产值万元是( )
A. B. C. D.
7.已知过抛物线焦点的直线与该抛物线交于，两点，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.过点向曲线：为正整数引斜率为的切线，切点为，则下列结论不正确的是( )
A. B.
C. D. 数列的前项和为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量，满足：，则，相互独立
B. 已知随机变量，若，则
C. 在线性回归分析中，样本相关系数的值越大，变量间的线性相关性越强
D. 一组数据，，，，的经验回归方程为，则当时，残差为
10.在中，内角，，所对的边分别为，，，则( )
A. 若，则
B. 若为钝角，则
C. 当时，若：：：：，且是钝角三角形，则
D. 若，则满足条件的三角形有两个
11.若函数，则下列结论正确的是( )
A. 是的极大值点
B. 当时，有两个零点
C. 若且，则
D. 若且，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.袋中有个红球，个黄球，个绿球现从中任取两个球，记取出的红球数为，若取出的两个球都是红球的概率为，一红一黄的概率为，则 ______．
13.设向量，，，其中为坐标原点，，，若、、三点共线，则的最小值为______．
14.已知为坐标原点，双曲线：的右焦点为，左顶点为，过作的一条渐近线的垂线，垂足为若，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知在中，、、分别为角、、的对边，且．
求角的值；
若，设角，周长为，求的最大值．
16.本小题分
某学校高一年级学生某次考试成绩进行统计，从全体高一学生中抽出名学生的数学成绩和物理成绩，数据经过处理后，得到一些统计数据和数据关系：，，，其中、分别表示学生的数学成绩和物理成绩，其中，，，通过计算得到与的相关系数．
求与的线性回归方程；
已知同学甲的此次数学成绩为分，根据回归方程估计其物理成绩是否会超过分？
参考公式：，；相关系数．
17.本小题分
已知函数．
若，求曲线在处的切线方程；
求函数的单调增区间；
若存在极大值点，求证：．
18.本小题分
如图，在正方体中，，点为棱上的动点不含端点，点为上一点，直线交平面于点．
求证平面．
若，
(ⅰ)求证平面；
(ⅱ)当为何值时，直线与平面所成角的正弦值为．
19.本小题分
已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为．
求双曲线的标准方程；
若，求直线的方程；
若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
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4.
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10.
11.
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13.
14.
15.解：由已知可得，
结合正弦定理可得，
，
又，．
由，．
及正弦定理得，
，，
故，
由，得，
当，即时，．
16.由题中数据可得，，
由，可得：
，
所以，
所以与的线性回归方程为；
由可知，
所以当时，，
所以同学甲物理成绩不会超过分．
17.若，则，
故，，
所以曲线在处切线的斜率，
所以曲线在处的切线方程为；
定义域为，因为，
所以，
当时，令，得或，
所以函数的单调增区间为和；
当时，，当且仅当取“”，
所以函数的单调增区间为；
当时，令，得或，所以函数的单调增区间为和．
综上，当时，增区间为和，
当时，增区间为，
当时，增区间为和；
证明：由可知，当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为；
当时，函数在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，
由于，所以，从而，故，
当时，在单调递增，此时无极值，不合题意，
综上，若存在极大值点，则．
18.证明：，，，，四点共面，
平面平面，平面平面，
平面平面，
，
平面，平面，
平面；
证明：连接，
平面，平面，，
又，，平面，，
平面，
平面，
，
又，，平面，，
平面；
(ⅱ)解：设，作交于点，
，，，，平面，
平面，
即为所求，
平面，
，
平面，平面，
，，
设直线与平面所成角为，
则，
整理可得，解得，
当时，直线与平面所成角的正弦值为．
19.因为当直线的斜率为时，的面积为．
所以的面积为，
由对称性得，点坐标为，
则，
结合，
得，，
所以双曲线的标准方程为．
因为双曲线的左顶点为，则，
因为直线斜率不存在时不满足题意，
所以设直线，，的斜率分别为，，，
直线的方程为，则，
双曲线，即，
所以，
则，
所以，
即，
所以，
设，，
则．
若，则，
所以，
则直线的方程为，
即．
直线：，
令，得，则，同理可得，
假设存在点满足题设，
则为定值，
所以，所以，且，
即存在定点，使得为定值．
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