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2024-2025学年河北省承德市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.在中，设，，若点满足，则( )
A. B. C. D.
3.将函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的纵坐标不变，再将得到的图象向右平移个单位，得到的图象对应的函数解析式为( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
5.若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则与所成的角为( )
A. B. C. D.
6.用斜二测画法画出的四边形的直观图如图中的四边形，其中，，，则原四边形以所在直线为旋转轴，旋转一周形成的几何体的体积为( )
A. B.
C. D.
7.在中，已知，则一定是( )
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 锐角三角形
8.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，其中底面是正方形，，，则直线与所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为 B. 是奇函数
C. 的图象关于直线对称 D. 在区间上单调递减
10.在中，内角，，的对边分别为，，，是所在平面内一点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 为的外心
C. 若，则的面积是面积的
D. 若，且，则为等边三角形
11.如图，在棱长为的正方体中，是棱上的动点，是棱上的动点，过点，，作正方体的截面，则( )
A. 存在点，使得平面
B. 三棱锥的体积是定值
C. 截面的形状为梯形
D. 当截面的面积取得最小值时，为的中点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，，若，则______．
13.已知，，则______．
14.如图，在平面四边形中，，，将沿直线翻折至，使得，则三棱锥外接球的表面积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，已知A.
求；
若，的面积为，求的周长．
16.本小题分
如图，在正四棱台中，．
求证：平面；
求点到平面的距离．
17.本小题分
如图，在长方形中，，，是边的中点，将沿直线翻折至，使得，连接，，得到四棱锥．
求证：平面平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
已知向量，，且．
求的单调递增区间；
若，且，求的值；
若函数在区间上有三个不同的零点，从小到大依次记为，，，求的值．
19.本小题分
如图，设，是平面内相交成角的两条射线，，分别为与，同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记．
若，在仿射坐标系中，，，求；
在仿射坐标系中，若，且与的夹角为，求；
如图，在仿射坐标系中，点，分别在射线、射线上均与点不重合，，，，分别为，的中点，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，
所以，
由正弦定理得，
所以，
所以；
因为，的面积为，
则，，解得，
所以的周长为．
16.证明：连接交于点，连接，，
由正四棱台的性质，可得，
又，所以，即，
所以是平行四边形，
所以，，
又平面，平面，所以平面；
由平面，
可得三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
即为三棱锥的体积，
正四棱台中，，
作于，则是正四棱台的高，
正四棱台中，，
，则，
所以，
又，是中点，所以，
由知，而，
所以，
设点到平面的距离为，则，，
所以点到平面的距离为．
17.证明：取中点，连接，，如图，
由已知，，因此，且，
中，，
又，因此，
因此，因此，
又，，平面，
因此平面，而平面，
因此平面平面；
取中点，作，且，连接，
则是平行四边形，因此，是中点，则，因此，
因为平面，平面，因此平面，即平面，
因此平面，
由知平面，平面，因此，同理，
因此，
作于点，连接，
因为，，，平面，
因此平面，而平面，因此，
又因为，，平面，因此平面，
平面，则，
因此是直线与平面所成角，
在中，，
．
因此直线与平面所成角的正弦值为．
18.因为，，
所以，
由得，
所以的单调递增区间是．
若，
因为，
所以，
所以，
所以；
由得或，
即或，
由，可得，
由得，解得；
所以在上有两个不同的解，由图知，
且，即，
所以，，
所以．
19.在仿射坐标系中，若，则记，由，则，
如图，以为原点构造直角坐标系，
在直角坐标系中，当时，记，则，
在仿射坐标系中，，，
则，；
所以；
在直角坐标系中，记，则，
在仿射坐标系中，，
，
解得舍去或，所以；
在直角坐标系中，，
设，，，，即，，
则，所以，
，分别为，的中点，
则，
，
中，由正弦定理，
设，则，
所以，，
，其中为锐角，且，
因为，则，
故当时，取得最大值，
则．
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