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2024-2025学年黑龙江省大庆市高二（下）期末考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，对任意的，，且，都有，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.长方体中，，与平面所成角为，则四棱锥的体积为( )
A.
B.
C.
D.
3.个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐人，则不同的乘车方法数为( )
A. B. C. D.
4.定义符号函数，设，，若，，若有两个解，则的取值范围是．
A. B. C. D.
5.函数的定义域为，，若，，则的解集为( )
A. B. C. D.
6.若函数满足，且时，则函数的图象与函数的图象的交点的个数是( )
A. B. C. D. 多于
7.设函数，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
8.已知二次函数在区间上有最小值，则下面关系一定成立的是( )
A. 或 B.
C. 或 D. 或
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知是定义在上的奇函数，当时，，则( )
A. B. 是奇函数
C. D. 当时，
10.函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
11.已知，，且，则在以下各命题中，正确的是( )
A. 当时，的方向与的方向一定相反
B. 当时，的方向具有任意性
C.
D. 当时，的方向与的方向一定相同
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.全期望公式是条件数学期望的一个非常重要的性质全期望公式具有广泛的应用例如，小明按照如下规则扔一个骰子：如果扔到点，就再扔一次并规则不变，如果扔到其他点数则停止设为小明停止扔骰子后扔骰子的总次数，则根据全期望公式可得，解得，其中表示小明投一次点后，再投骰子停止后次数期望仍为，加上之前投的一次总次数为参考以上方法完成下列问题：
一只小白鼠陷入一个有三扇门的迷宫中，它每次都是等可能得选择其中一扇门，如选择第一扇门，小白鼠分钟后到达安全区；如选择第二扇门，小白鼠分钟后回到迷宫起点；如选择第三扇门，小白鼠分钟后回到迷宫起点设小白鼠达到安全区所需的时间为，则 ______分钟．
13.设是等比数列，且，，则 ______．
14.已知偶函数满足，当时，，方程有个根，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动竞赛共有和两类试题，每类试题各题，其中每答对道类试题得分；每答对道类试题得分，答错都不得分每位参加竞赛的同学从这两类试题中共抽出道题回答每道题抽后不放回已知某同学类试题中有道题能答对，而他答对各道类试题的概率均为．
若该同学只抽取道类试题作答，设表示该同学答这道试题的总得分，求的分布和期望；
若该同学在类试题中只抽道题作答，求他在这次竞赛中仅答对道题的概率．
16.本小题分
记数列的前项和为，已知且．
求的通项公式；
记，求数列的前项和．
17.本小题分
已知函数，．
若函数在区间上单调递增，求的取值范围；
若函数有两个不同的极值点，，求证：．
18.本小题分
短视频已成为当下宣传的重要手段，东北某著名景点利用短视频宣传增加旅游热度为调查某天南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关，该景点对当天前来旅游的名游客调查得知，南方游客有人，因收看短视频而来的名游客中南方游客有人．
Ⅰ依据调查数据完成如下列联表，根据小概率值的独立性检验，分析南北方游客来此景点旅游是否与收看短视频有关联；
单位：人
游客 短视频 合计
收看 未看
南方游客
北方游客
合计
Ⅱ为了增加游客的旅游乐趣，该景点设置一款人传球游戏，每个人得到球后都等可能地传给其余人之一现有甲、乙等人参加此游戏，球首先由甲传出．
求经过次传递后球回到甲的概率；
记前次传递中球传到乙的次数为，求的数学期望．
参考公式：，其中；
．
附表：
19.本小题分
已知函数在处的切线斜率为．
求的值；
求证：；
是否存在实数，使得恒成立？若存在，求的取值集合，若不存在说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：易知的所有可能取值为，，，，
此时，，
，，
则的分布为：
故；
记“该同学仅答对道题”为事件，
此时，
所以这次竞赛中该同学仅答对道题得概率为．
16.解：根据题意，，，则，
两式相减可得，即，
则，对也成立，
则，；
由可得，则，
．
17.解：在上连续不断，且，
由在上单调递增，因，则在上恒成立，
即在恒成立，
因在上单调递增，则，
故，即；
证明：由可知：，且，令，可得，
由函数有两个不同的极值点，，等价于有个实根，，
则，解得，由韦达定理可得，
则，
由，
因为，则，，故．
18.解：Ⅰ将所给数据进行整理，得到如下列联表：
游客 短视频 合计
收看 未看
南方游客
北方游客
合计
假设：南北方游客来此景点旅游与短视频无关联，
，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为南北方游客来此景点旅游与收看短视频有关联，此推断犯错误的概率不大于．
Ⅱ设经过次传递后回到甲的概率为，
则，
即，
又，，
所以 是首项为，公比为的等比数列，
所以 ．
(ⅱ)设第次传递时甲接到球的次数为，
则服从两点分布，，
设前次传递中球传到甲的次数为，
，
所以，
所以．
19.解：根据题意，，
；
证明：设，，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
则在上的最小值为，所以；
设，
则，
设，
则，设，
则，设，
，，时，，，
由可知，，
所以在上递增，又，
所以当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
所以在上的最小值为，即成立；
时，，
当时，，在上单调递增，
若，则当时，，
在单调递增，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以不成立；
若，因为在上单调递增且，
则存在，使得，
所以当时，，在单调递增，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
所以不成立；
时，，
时，，在上单调递增，
若，则当时，，
在单调递减，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递减，
所以，不成立；
若，因为在上单调递增且，
则存在，使得，
所以当时，，在单调递减，
当时，，在单调递减，
当时，，在单调递减，
所以，不成立，
综上所述，的取值集合为．
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