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2024-2025学年山东省威海市高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.是( )
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2.已知角的终边经过点，则( )
A. B. C. D.
3.已知，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.已知曲线：，，则( )
A. 把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线
B. 把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线
C. 把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向左平移个单位长度，得到曲线
D. 把上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，再把得到的曲线上的所有点向右平移个单位长度，得到曲线
6.一个圆台上、下底面的半径分别为，，母线所在直线与轴的夹角为，则该圆台的侧面积为( )
A. B. C. D.
7.记的内角，，的对边分别为，，，若，则角( )
A. B. C. D.
8.已知是所在平面内一点，满足，若，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，为非零向量，则( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则，为锐角
D. 若，则
10.已知函数，则( )
A. 的图象关于直线对称
B. 在上单调递增
C. 的图象关于点对称
D. 当时，曲线与的交点个数为
11.在正三棱柱中，，，分别为棱，上的动点，则( )
A. 的周长为定值 B. 三棱锥的体积为定值
C. 若，则 D. 若平面，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，，若，则 ______．
13.函数的部分图象如图所示，则 ______．
14.已知三棱锥的各顶点都在表面积为的球面上，平面，，，，则该三棱锥的体积为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
求的单调递减区间；
当时，求的最值．
16.本小题分
如图，在三棱锥中，侧面是边长为的等边三角形，，，分别为，的中点．
证明：平面；
证明：平面平面；
若，二面角的大小为，求．
17.本小题分
如图，在五面体中，平面平面，，，，，．
证明：；
若直线与平面所成角的正切值为，求直线与所成角的余弦值．
18.本小题分
在平行四边形中，为的中点，点，满足，．
用，表示，；
若，求；
若，求的取值范围．
19.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，是内一点，且，，，，，为垂足，记，，．
若，，，，的延长线交于点，求；
若，，，求及；
证明：，当且仅当且时，等号成立．
参考答案
1.
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14.
15.
，
由题意知，，解得，
所以的单调递减区间为，；
设，则，因为，
所以，
所以，所以的最小值为，最大值为．
16.证明：因为，分别为，的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面；
证明：因为，为的中点，所以，
因为，，所以，
又，所以平面，
因为平面，
所以平面平面；
因为，，
所以为二面角的平面角，
则，
由题意知，，，
在中，，
所以，
可得，
在直角中，，
又因为，，，
所以，所以，
即，
因为为的中点，
所以．
17.证明：因为，平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以；
因为，所以为直线与所成的角，
因为，，所以为平行四边形，所以，
因为平面平面，平面平面，，所以平面，
所以平面，
连接，则为直线在平面内的射影，所以为直线与平面所成的角，
则，可得，
因为，所以，
因为，所以，
可得，
所以直线与所成角的余弦值为．
18.已知在平行四边形中，为的中点，点，满足，．
则，；
若，
则，
所以，
可得，
即，
所以；
设，，
因为，
所以
，
令，
则，，
因为，，
可得
所以的取值范围是．
19.因为，，，为垂足，记，，
又因为，可得为角的角平分线，
因为，所以，
因为，
所以，
解得；
因为，，
所以，，
因为，由正弦定理可得：，
即，
即，
即，
因为，所以，
可得，
，
在中，，
所以；
证明：因为
，
所以，当且仅当时等号成立，
同理，当且仅当时等号成立，
，当且仅当时等号成立，
所以，
因为
，
当且仅当时等号成立，
所以，当且仅当且时，等号成立．
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